Günlüğün beklenen değeri ve varyansı (a)

Ben normal bir dağıtılmış olduğu bir rastgele değişken . ve hakkında ne söyleyebilirim ? Bir yaklaşım da faydalı olacaktır. $X(a) = \log(a)$ $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ $E(X)$ $Var(X)$

— rocksportrocker
kaynak

Ben soru log-normal "ters" hakkında olduğunu, yani normal bir rv A log-normal X = exp (A) yol açtığı, soru soran X = log (A) dağılımı hakkında soruyordu tanımlanmamıştır (bazen negatif bir sayının günlüğünü gerektirdiği için). Kesik bir normal için bazı sonuçlar olabilir, ancak dağınık olmaları muhtemeldir.

— Martin O'Leary

@Martin O'Leary'nin işaret ettiği gibi rocksportrocker, böyle bir değişkenine sahip olmak matematiksel olarak mümkün değildir , çünkü negatif değerler için tanımlanmamıştır. En azından negatif olmayan değerde kısaltmanız gerekir . Eğer iman niye bize söyleyebilir misiniz normal olabilir?

X

$X$

\log (a)

$\log(a)$

a

$a$

a

$a$

— whuber

"Yaklaşımı" oldukça genel anlamda düşünürsek, bir yere gidebiliriz.

Gerçek bir normal dağılımımız olduğunu varsaymamalıyız, ancak yoğunluk dışında yaklaşık normal olan bir şey 0 mahallesinde sıfır olamaz.

Yani diyelim "yaklaşık olarak normal" dir (ve ortalama * yakınında konsantre) biz ilgili endişeleri uzak handwave ki bir anlamda gelecek anları 0 (ve daha sonraki darbe yakın , çünkü '0'a inmez'), ancak belirtilen normal dağılımla aynı düşük dereceli momentlerle , dönüştürülmüş rastgele değişkenin momentlerini yaklaşık olarak tahmin etmek için Taylor serisini kullanabiliriz . $a$ $a$ $\log(a)$ $a$

Bazı dönüşümler bu, Taylor dizisi olarak genişletmeyi içerir (düşünün burada ' $g(X)$ $g(\mu_X + X-\mu_X)$ $g(x+h)$ $\mu_X$ $x$ ' and $X-\mu_X$ takes the role of ' $h$ ') and then taking expectations and then either computing the variance or the expectation of the square of the expansion (from which can be obtained the variance).

The resulting approximate expectation and variance are:

$\text{E}\left[g(X)\right]\approx g(\mu_X) +\frac{g''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$ and

$\text{Var}\left[g(X)\right]\approx \left(g'(\mu_X)\right)^2\sigma^2_X$

and so (if I didn't make any errors), when $g() = \log()$ :

E [\log (a)] \approx l o g (μ_{a}) - \frac{σ_{a}^{2}}{2 μ_{a}^{2}}

$\text{E}\left[\log(a)\right]\approx log(\mu_a) -\frac{\sigma_a^2}{2\mu_a^2}$

Var [\log (a)] \approx σ_{a}^{2} / μ_{a}^{2}

$\text{Var}\left[\log(a)\right]\approx \sigma^2_a/\mu_a^2$

* For this to be a good approximation you generally want the standard deviation of $a$ to be quite small compared to the mean (low coefficient of variation).

— Glen_b -Reinstate Monica
kaynak

Because the Taylor series for log has a relatively small radius of convergence, caution is advised in applying these approximations.

— whuber

@whuber for an expansion around the mean, I think this would correspond to the advice that the "standard deviation of

a

$a$ should be quite small compared to the mean" that my answer ends with -- if I am missing some further issue that that advice doesn't cover I should fix my answer.

— Glen_b -Reinstate Monica

The approximation for the mean works pretty well for

μ / σ > 1.5

$\mu/\sigma \gt 1.5$ and that for the variance works pretty well for

μ / σ > 2.5

$\mu/\sigma \gt 2.5$ or so.

— whuber

In any case it is certainly worth being clear that we're indirectly relying on the convergence of

\ln (1 + x)

$\ln(1+x)$ (since

\ln (μ + y - μ) = \ln [μ {1 + (y - μ) / μ}] = \ln (μ) + \ln [1 + (y - μ) / μ]

$\ln(\mu + y-\mu) = \ln[\mu\{1 + (y - \mu)/\mu\}] = \ln(\mu) + \ln[1 + (y - \mu)/\mu]$ ). Thanks also for the suggested explicit values; if anything perhaps I am slightly overcautious when I use it. Two valuable comments.

— Glen_b -Reinstate Monica