Neg Binomial ve Jeffreys Öncesi

Negatif bir binom dağılımı için Jeffreys 'elde etmeye çalışıyorum. Nerede yanlış yaptığımı göremiyorum, bu yüzden eğer birisi bunu takdir ederse yardımcı olabilir.

Tamam, durum şu: Bir binom ve negatif bir binom kullanılarak elde edilen önceki dağılımları karşılaştıracağım, burada (her iki durumda da) deneme ve başarısı var. Binom davası için doğru cevabı alıyorum, ama negatif binom için değil. $n$ $m$

Jeffreys'den önceki . Sonra, $\pi_J(\theta)$

π_{J} (θ) \propto [I (θ)]^{1 / 2} .

$\pi_J(\theta)\propto [I(\theta)]^{1/2}.$

Düzenlilik koşulları altında (üstel aileyle uğraşırken yerine getirilir),

I (θ) = - E (\frac{\partial^{2} \log L (θ | x)}{\partial θ^{2}})

$I(\theta)=-E\left(\frac{\partial^2 \log L(\theta|x)}{\partial \theta^2}\right)$ burada yukarıdaki negatif binomial için ifade (toplam başarı sayısı sabittir, sabit değildir). Bence dağıtım,

n

$n$

x

$x$

m

$m$

n

$n$

p (m | θ) \propto θ^{m} (1 - θ)^{n - m}

$p(m|\theta)\propto\theta^m(1-\theta)^{n-m}$ çünkü başarı olasılığı olarak tanımlanır ve başarıların sayısıdır. Bu da olabilir, çünkü bir vektör değil, bir skalerdir. Bu nedenle,

θ

$\theta$

m

$m$

m

$m$

L (θ | n) \propto θ^{m} (1 - θ)^{n - m} \log L (θ | n) = m \log θ + (n - m) \log (1 - θ) \frac{\partial \log L (θ | n)}{\partial θ} = \frac{m}{θ} - \frac{n - m}{1 - θ} \frac{\partial^{2} \log L (θ | n)}{\partial θ^{2}} = - \frac{m}{θ^{2}} - \frac{n - m}{(1 - θ)^{2}}

$L(\theta|n)\propto\theta^m(1-\theta)^{n-m}\\ \log L(\theta|n)=m\log\theta +(n-m)\log (1-\theta)\\ \frac{\partial\log L(\theta|n)}{\partial \theta}=\frac{m}{\theta}-\frac{n-m}{1-\theta}\\ \frac{\partial^2\log L(\theta|n)}{\partial \theta^2}=-\frac{m}{\theta^2}-\frac{n-m}{(1-\theta)^2}$ böylece Fisher bilgisi

I (θ) = - E (\frac{\partial^{2} \log L (θ | n)}{\partial θ^{2}}) = \frac{m}{θ^{2}} + \frac{E (n) - m}{(1 - θ)^{2}} = \frac{m}{θ^{2}} + \frac{\frac{m θ}{1 - θ} - m}{(1 - θ)^{2}} = \frac{m (1 - θ)^{2} + \frac{m θ^{3}}{(1 - θ)} - m θ^{2}}{θ^{2} (1 - θ)^{2}} = \frac{m (1 - 2 θ) + \frac{m θ^{3}}{(1 - θ)}}{θ^{2} (1 - θ)^{2}} = \frac{m (1 - 2 θ) (1 - θ) + m θ^{3}}{θ^{2} (1 - θ)^{3}} = \frac{m (1 - 3 θ + 2 θ^{2} + θ^{3})}{θ^{2} (1 - θ)^{3}} \propto \frac{1 - 3 θ + 2 θ^{2} + θ^{3}}{θ^{2} (1 - θ)^{3}}

$I(\theta)=-E\left(\frac{\partial^2\log L(\theta|n)}{\partial \theta^2}\right)=\frac{m}{\theta^2}+\frac{E(n)-m}{(1-\theta)^2}=\frac{m}{\theta^2}+\frac{\frac{m\theta}{1-\theta}-m}{(1-\theta)^2}\\ =\frac{m(1-\theta)^2+\frac{m\theta^3}{(1-\theta)}-m\theta^2}{\theta^2(1-\theta)^2}=\frac{m(1-2\theta)+\frac{m\theta^3}{(1-\theta)}}{\theta^2(1-\theta)^2}\\ =\frac{m(1-2\theta)(1-\theta)+m\theta^3}{\theta^2(1-\theta)^3}=\frac{m(1-3\theta+2\theta^2+\theta^3)}{\theta^2(1-\theta)^3}\\ \propto\frac{1-3\theta+2\theta^2+\theta^3}{\theta^2(1-\theta)^3}$

Ancak bu bana doğru cevabı vermiyor. Doğru cevap

π_{J} (θ) \propto \frac{1}{θ (1 - θ)^{1 / 2}}

$\pi_J(\theta)\propto \frac{1}{\theta(1-\theta)^{1/2}}$ bu, elde ettiğim bilgilerin olması gerektiği anlamına gelir

I (θ) = \frac{1}{θ^{2} (1 - θ)}

$I(\theta)=\frac{1}{\theta^2(1-\theta)}$ çünkü önceki bilgilerin bilgilerin kare kökü ile orantılı olmalıdır.

Herhangi biri hata bulabilir mi? Dağıtımın kurulumuyla ilgili bir şeyi berbat etsem şaşırmazdım (başarıları kendi olasılıkları ile başarısızlıklar vs).

Wikipedia'dan beklenen değeri kullandım ve buradan doğru cevabı biliyorum (sayfa 3) .

— hejseb
kaynak

Sorun, negatif binom dağılımı farklı şekilde formüle edilebildiği için ortaya çıkar. Sonuç olarak, beklentiler farklı formülasyonlar için farklılık gösterir. Negatif binom dağılımını belirttiğiniz şekilde, beklentisi olan (örneğin bkz burada 3. sayfada). Bununla Fisher bilgileri $n$ $E(n) = m/\theta$

I (θ) = m (\frac{1}{θ^{2} (1 - θ)})

$I(\theta) = m\left(\frac{1}{\theta^2(1-\theta)}\right)$

Böylece Jeffreys

π_{J} (θ) = | I (θ) |^{1 / 2} \propto θ^{- 1} (1 - θ)^{- 1 / 2}

$\pi_{J}(\theta) = |I(\theta)|^{1/2}\propto \theta^{-1}(1-\theta)^{-1/2}$

daha önce de belirttiğin gibi.

— COOLSerdash
kaynak

Müthiş! Bu çok yararlı ve aynı zamanda mükemmel bir referans olarak mücadele ettiğim problemden geçiyor. Teşekkür ederim!

— hejseb

Başka bir formülasyon kullanan bir çözüm buldum, buraya bakın . Yardımcı olduğuma sevindim. Rica ederim.

— COOLSerdash