Neyman-Pearson lemması, basit null ve alternatifin aynı dağıtım ailesine ait olmadığı durumlar için geçerli olabilir mi?

Neyman-Pearson lemması, basit bir boş ve basit bir alternatifin aynı dağıtım ailesine ait olmadığı durumlar için geçerli olabilir mi? Kanıtından, neden yapamadığını anlamıyorum.

Örneğin, basit null normal dağılım ve basit alternatif üstel dağılım olduğunda.
Mı olabilirlik oran testi , her iki dağılımların farklı aileler aittir kompozit alternatife karşı kompozit null adlı test etmek için iyi bir yoldur?

Teşekkürler ve saygılar!

hypothesis-testing mathematical-statistics

— Tim
kaynak

Şimdi bu iyi bir soru.

— Glen_b -Monica'yı geri kazan

Soruda dediğiniz gibi, kanıt iki dağılımın şekli hakkında herhangi bir varsayımda bulunmaz. Matematiğe güvenin.

— Camgöbeği

@Cyan: Olasılık oranı testi , farklı dağıtım ailesine ait kompozit null ve kompozit alternatif için iyi bir yol mu?

— Tim

Daha önceki yorumumu netleştirmek için: Sık sık insanların "hayır" dediğini görüyorum - aslında gazetelerde bile görünüyor : - "[Olabilirlik Oranı Testleri] ... verilerin dağılımının fonksiyonel formu hakkında çıkarımlarda bulunmak için kullanılamaz. " Bu tür iddiaların çok sık cevapsız kalmaması hoş olurdu.

— Glen_b -Monica'yı geri kazan

Çünkü bu olmayan bir soru herhangi iki farklı dağılımları

bir sürekli tek parametre ailesinin bir parçası olan

F

$F$

G

$G$

{p F + (1 - p) G},

$\{pF + (1-p)G\},$

0 \leq p \leq 1

$0\le p \le 1$

— whuber

Yanıtlar:

Evet Neyman Pearson Lemma, basit null ve basit alternatifin aynı dağıtım ailesine ait olmadığı durumlara başvurabilir.

Biz bir çoğu güçlü (MP) testi inşa etmek isteyen olsun karşı boyutuna. $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1 : X\sim \text{Exp}(1)$

Belirli bir için Neyman Pearson lemmasının kritik fonksiyonumuz $k$

ϕ (x) = {\begin{cases} 1, & \frac{f_{1} (x)}{f_{0} (x)} > k \\ 0, & Otherwise \end{cases}

$\phi(x) =\begin{cases} 1,&\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}>k \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$

bir MP test karşı boyutuna. $H_0$ $H_1$

Burada

r (x) = \frac{f_{1} (x)}{f_{0} (x)} = \frac{e^{- x}}{\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}} = \sqrt{2 π} e^{(\frac{x^{2}}{2} - x)}

$r(x)=\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}=\dfrac{e^{\displaystyle -x}}{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\displaystyle -x^2/2}}=\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}$

olduğuna dikkat edin Şimdiin resmini çizerseniz[Cevapta nasıl bir resim oluşturacağımı bilmiyorum], grafikten

r^{'} (x) = \sqrt{2 π} e^{(\frac{x^{2}}{2} - x)} (x - 1) {\begin{cases} < 0, & x < 1 \\ > 0, & x > 1 \end{cases}

$r'(x) =\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}(x-1)\\ \begin{cases}<0 ,& x<1\\>0 ,& x>1 \end{cases}$

r (x)

$r(x)$

r (x) > k ⟹ x > c

$r(x)>k \implies x>c$

Bu yüzden, bir particualr için bir MP test karşı boyutuna. $c$

ϕ (x) = {\begin{cases} 1, & x > c \\ 0, & Otherwise \end{cases}

$\phi(x) =\begin{cases} 1,&x>c \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$

H_{o}

$H_o$

H_{1}

$H_1$

Test edebilirsiniz

1. karşı $H_0:X\sim N(0,\dfrac{1}{2})$ $H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
2. karşı $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
3. karşı $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1:X\sim \text{Double Exponential}(0,1)$

Neyman Pearson lemması tarafından.

$\mathbb{\theta}$

Hepsi benden.

— AD
kaynak

S2. Olabilirlik oranı yeterince makul bir test istatistiğidir, ancak (a) Neyman-Pearson Lemma kompozit hipotezler için geçerli değildir, bu nedenle LRT zorunlu olarak en güçlü olmayacaktır; & (b) Wilks Teoremi sadece iç içe hipotezler için geçerlidir, bu nedenle bir aile diğerinin özel bir durumu değilse (örn. üstel / Weibull, Poisson / negatif binom), olasılık oranının sıfırın altındaki dağılımını bilmezsiniz, asimptotik olarak bile.

— Scortchi - Monica'yı eski durumuna döndürün
kaynak

“... asemptotik olarak bile olabilirlik oranının sıfırın altındaki dağılımını bilmiyorsunuz.” Bu, sıfırın altında bir simülasyonu 20 satırdan daha az R ile kodlayabileceğiniz bir dünyada büyük bir endişe değil

— Cyan

@Cyan: Bu 20 satırı yazmak biraz düşünmeyi gerektirebilir. Unutmayın, bileşik bir sıfırdır, genel olarak pivotlarımız olmayacaktır ve LR'nin yaklaşık bir pivot olacağını düşünmüyorum. Ben LR öğrenci olabilir sanırım ...

— Scortchi - Monica eski durumuna

Kesinlikle haklısın. Genel resim şudur: Bize belirli bir önem düzeyinde maksimum güç veren bir test istatistiği istiyoruz $\alpha$ . Başka bir deyişle, bir değeri hesaplamanın bir yolu $\phi$ böylece parametre alanının $\phi$ aşıyor $\alpha^\mathrm{th}$ altında kantil $H_0$ mümkün olan en az ağırlığa sahip olmak $H_1$ . Neyman-Pearson lemması, istatistiğin olasılık oranı olduğunu göstermektedir.
Neyman & Pearson's original paper also discusses composite hypotheses. In some cases the answer is straightforward -- if there is a choice of particular distributions in each family whose likelihood ratio is conservative when applied the the whole family. This is what often happens, for instance, for nested hypotheses. It's easy for this not to happen, though; this paper by Cox discusses what to do further. I think a more modern approach here would be to approach it in a Bayesian way, by putting priors over the two families.

— petrelharp
kaynak

Orada büyük bir referans - Cox kağıdı.

— Scortchi - Monica'yı eski durumuna döndürün