FDR'yi kontrol etmek neden FWER'i kontrol etmekten daha az katıdır?

Ben FDR kontrol Wikipedia gibi FWER kontrol daha az sıkı okudum :

FDR kontrol prosedürleri, ailevi hata oranı (FWER) prosedürlerine (Bonferroni düzeltmesi gibi) kıyasla yanlış keşif üzerinde daha az sıkı bir kontrol uygular. Bu, tip I hata oranını artırma pahasına gücü arttırır, yani kabul edilmesi gerektiğinde etkisiz sıfır hipotezini reddeder.

Ama bunun matematiksel olarak nasıl doğru gösterildiğini merak ediyordum?

FDR ve FWER arasında bir ilişki var mı?

hypothesis-testing multiple-comparisons false-discovery-rate

— Tim
kaynak

Orijinal makaleyi okudun mu? Bir istatistik gazetesinde ümit edebilecek en çok şey: Tek bir temel fikir, açık ve özlü bir hikaye, faydalı bir örnek ve (kısa!) Doğru kanıtlar.

— kardinal

Gerçekten de @cardinal, kağıdın olabildiğince açık olması konusunda oldukça haklıdır. Yani, değerinde, makaleye erişiminiz yoksa, Benjamini – Hochberg'in nasıl tartıştığının biraz ayrıntılı bir versiyonu:

FDR , yanlış reddetme tüm reddetme oranının beklenen değeridir . Şimdi, açıkça, yanlış ve doğru reddetmelerin toplamıdır; İkincisi çağrı . $Q_e$ $v$ $r$ $r$ $s$

Özetle, (rastgele değişkenler için büyük harfler ve gerçekleşen değerler için küçük harfler kullanılarak),

Q_{e} = E (\frac{V}{R}) = E (\frac{V}{V + S}) =: E (Q) .

$Q_e=E\left(\frac{V}{R}\right)=E\left(\frac{V}{V+S}\right)=:E\left(Q\right).$

ise biri alır . $Q=0$ $R=0$

Şimdi, iki olasılık vardır: ya tüm nulls doğruysa ya da sadece bunlardan doğrudur. İlk durumda, doğru reddetmeler olamaz, bu nedenle . Dolayısıyla, herhangi bir ret ( ) varsa, , aksi takdirde . Bu nedenle, $m$ $m_0<m$ $r=v$ $r\geq 1$ $q=1$ $q=0$

F D R = E (Q) = 1 \cdot P (Q = 1) + 0 \cdot P (Q = 0) = P (Q = 1) = P (V \geq 1) = F W E R

$\newcommand{\FDR}{\mathrm{FDR}}\newcommand{\FWER}{\mathrm{FWER}}\FDR=E(Q)=1\cdot P(Q=1)+0\cdot P(Q=0)=P(Q=1)=P(V \geq 1)=\FWER$

Bu nedenle, , önemsiz bir şekilde kontrol eden herhangi bir prosedür de kontrol eder ve bunun tersi de geçerlidir. $\FDR=\FWER$ $\FDR$ $\FWER$

İkinci durumda olan ise, , biz açıkça sahip (bu da bu da bir kısmını (böylece en az bir yanlış red var ise) bu payda olarak) . Bu, en az bir yanlış reddetme varsa 1 değerini alan gösterge fonksiyonunun, asla , az olmayacağı anlamına gelir . Şimdi, eşitsizliğin her iki tarafında, tekdüzeliği ile $m_0<m$ $v>0$ $v$ $v/r\leq 1$ $\mathbf 1_{V\geq 1}$ $Q$ $\mathbf 1_{V\geq 1}\geq Q$ $E$ eşitsizliği olduğu gibi bırakır,

E (1_{V \geq 1}) \geq E (Q) = F D R

$E(\mathbf 1_{V\geq 1})\geq E(Q)=\FDR$

Bir gösterge fonksiyonunun beklenen değeri, göstergedeki olayın olasılığıdır, yine olan . $E(\mathbf 1_{V\geq 1})=P(V\geq 1)$ $\FWER$

Böylece, kontrol bir prosedür olduğunda anlamında olduğu , o olmalıdır . $\FWER$ $\FWER\leq \alpha$ $\FDR\leq\alpha$

Bunun aksine, sahip olan bazı kontrolü esasen daha büyük bir gelebilir . Sezgisel olarak, yanlış ret bir sıfırdan farklı bir tahmin fraksiyonu (kabul çok yüksek bir olasılık anlamına gelebilir test hipotezlerin potansiyel olarak büyük bir toplam) üzerinden en az bir yanlış reddi ( ). $\FDR$ $\alpha$ $\FWER$ $\FDR$ $\FWER$

Bu nedenle, sadece kontrolü istendiğinde bir prosedürün daha az katı olması gerekir , bu da güç için iyidir. Bu, herhangi bir temel hipotez testinde olduğu gibi aynı fikirdir:% 5 düzeyinde test yaptığınızda, sadece daha küçük bir kritik değere sahip olduğunuz için% 1 seviyesinde test yaptığınızdan daha sık reddedersiniz (hem doğru hem de yanlış null'lar). $\FDR$

— Christoph Hanck
kaynak

(+1) İyi açıklama. Açıkçası, ilk durumda FWER kontrolünün FDR kontrolünü (söz konusu olan) ifade ettiğini de söyleyebiliriz. Ayrıca, FDR'nin kontrolü için orijinal belgede verilen prosedürün aksine, bu özelliğin test istatistiklerinde herhangi bir dağıtım varsayımı (örneğin bağımsızlık) olmadan belirtilmesi faydalı olabilir.

— kardinal