K korelasyonlu rastgele değişkenlerin ürün varyansı

ilişkili rasgele değişkenlerin çarpımı nedir? $k$

variance random-variable

— Jafar Mansouri
kaynak

Yanıtlar:

Bu konu hakkında muhtemelen ihtiyaç duyduğunuzdan daha fazla bilgi Goodman (1962): "K Rastgele Değişkenlerin Ürününün Varyansı" , hem bağımsız rasgele değişkenler hem de potansiyel olarak ilişkili rasgele değişkenler için formüller ve bazı tahminler ile bulunabilir. Daha önceki bir makalede ( Goodman, 1960 ), tam olarak iki rastgele değişkenin ürünü için formül elde edildi, bu da biraz daha basit (yine de oldukça gnarly olsa da), bu yüzden türetmeyi anlamak istiyorsanız başlamak için daha iyi bir yer olabilir .

Bütünlük için olsa da, böyle gider.

İki değişken

Aşağıdakileri varsayalım:

$x$ ve iki rastgele değişkendir $y$
$X$ ve (sıfır olmayan) beklentileridir $Y$
$V(x)$ ve varyanslarıdır $V(y)$
$\delta_x = (x-X)/X$ (ve aynı şekilde ) $\delta_y$
$D_{i,j} = E \left[ (\delta_x)^i (\delta_y)^j\right]$
$\Delta_x = x-X$ (ve aynı şekilde ) $\Delta_y$
$E_{i,j} = E\left[(\Delta_x)^i (\Delta_y)^j\right]$
$G(x)$ kare varyasyon katsayısıdır: (aynı şekilde ) $V(x)/X^2$ $G(Y)$

Sonra: veya eşdeğeri:

V (x y) = (X Y)^{2} [G (y) + G (x) + 2 D_{1, 1} + 2 D_{1, 2} + 2 D_{2, 1} + D_{2, 2} - D_{1, 1}^{2}]

$V(xy) = (XY)^2[G(y) + G(x) + 2D_{1,1} + 2D_{1,2} + 2D_{2,1} + D_{2,2} - D_{1,1}^2]$

V (x y) = X^{2} V (y) + Y^{2} V (x) + 2 X Y E_{1, 1} + 2 X E_{1, 2} + 2 Y E_{2, 1} + E_{2, 2} - E_{1, 1}^{2}

$V(xy) = X^2V(y) + Y^2V(x) + 2XYE_{1,1} + 2XE_{1,2} + 2YE_{2,1} + E_{2,2} - E_{1,1}^2$

İkiden fazla değişken

1960 makalesi bunun okuyucu için bir alıştırma olduğunu öne sürüyor (1962 belgesini motive ettiği anlaşılıyor!).

Gösterim, birkaç uzantıyla benzer:

veyerine rastgele değişkenler olabilir $(x_1, x_2, \ldots x_n)$ $x$ $y$
$M = E\left( \prod_{i=1}^k x_i \right)$
$A = \left(M / \prod_{i=1}^k X_i\right) - 1$
$s_i$ için = 0, 1 veya 2 $i = 1, 2, \ldots k$
$u$ = $(s_1, s_2, \ldots s_k)$
$m$ = 2 sayısı $(s_1, s_2, \ldots s_k)$
$D(u,m) = 2^u - 2$ için ve için , $m=0$ $2^u$ $m>1$
$C(s_1, s_2, \ldots, s_k) = D(u,m) \cdot E \left( \prod_{i=1}^k \delta_{x_i}^{s_i} \right)$
$\sum_{s_1 \cdots s_k}$ toplamını gösterir setleri burada $3^k - k -1$ $(s_1, s_2, \ldots s_k)$ $2m + u > 1$

Sonra, sonunda:

V (\prod_{i = 1}^{k} x_{i}) = \prod X_{i}^{2} (\sum_{s_{1} \dots s_{k}} C (s_{1}, s_{2} \dots s_{k}) - A^{2})

$V\left(\prod_{i=1}^k x_i\right) = \prod X_i^2 \left( \sum_{s_1 \cdots s_k} C(s_1, s_2 \ldots s_k) - A^2\right)$

Ayrıntılar ve biraz daha izlenebilir yaklaşımlar için makalelere bakın!

— Matt Krause
kaynak

Matt Krause'un yukarıdaki cevabının makalenin yanı sıra bir hata içerdiğini lütfen unutmayın. C (s1, ..., sk) fonksiyonunun tanımında toplam yerine bir ürün olmalıdır.

— Nicolas Gisler

Biraz daha ayrıntı verebilir misiniz ..? "Çünkü ben - internetten anonim bir kişi - öyle söyle" gerçekten bir cevap değil ...

— Tim

Bağımsız rasgele değişkenler için varyans var (x * y) elde etmeye çalışırsanız, rastgele k formülünü kullanarak toplamın değil sadece bir ürünün size doğru cevabı verdiğini görebilirsiniz. Ayrıca, kağıda bakarsanız, onu da görebilirsiniz, kağıdın 59. sayfasında (en azından benim versiyonumda) toplam yerine bir ürün kullandı.

— Nicolas Gisler

İki rastgele değişken söz konusu olduğunda, iki korelasyonlu rastgele değişkenin ürününün varyansı için okunması daha kolay bir formül bu cevapta @macro tarafından bulunabilir. Bu cevap ayrıca

viz.,Gösterim çalılıkları, cov

veya eklem hakkında yeterliolmadıkça değeri belirlenemeyen terimler olduğu gerçeğini gizler.iki rastgele değişkenin yoğunluğu bu miktarı belirlemek için.

V (x y) = X^{2} V (y) + Y^{2} V (x) + 2 X Y E_{1, 1} + 2 X E_{1, 2} + 2 Y E_{2, 1} + E_{2, 2} - E_{1, 1}^{2},

$V(xy) = X^2V(y) + Y^2V(x) + 2XYE_{1,1} + 2XE_{1,2} + 2YE_{2,1} + E_{2,2} - E_{1,1}^2,$

(x^{2}, y^{2})

$(x^2,y^2)$

— Dilip Sarwate

Gerçekten bir yorum olması gereken bir düzenleme önerisi, orijinal makalenin bir toplamın ve ürünün karıştırıldığı bir yazım hatası içerdiğini ve bu cevabın değiştirilmesi gerektiğini önerdi. Bkz stats.stackexchange.com/review/suggested-edits/83662

— Silverfish

Matt Krause'un harika cevabına eklemek için (aslında oradan kolayca türetilebilir). Eğer x, y bağımsız ise,

\begin{aligned} E_{1, 1} & = E [(x - E [x]) (y - E [y])] = C Ö v (x, y) = 0 \\ E_{1, 2} & = E [(x - E [x]) (y - E [y])^{2}] \\ = E [x - E (x)] E [(y - E [y])^{2}] \\ = (E [x] - E [x]) E [(y - E [y])^{2}] = 0 \\ E_{2, 1} & = 0 \\ E_{2, 2} & = E [(x - E [x])^{2} (y - E [y])^{2}] \\ = E [(x - E [x])^{2}] E [(y - E [y])^{2} \\ = V [x] V [y] \\ V [x y] & = E [x]^{2} V [y] + E [y]^{2} V [x] + V [x] V [y] \end{aligned}

$\begin{equation*} \begin{split} E_{1,1} &= E[(x-E[x])(y-E[y])] = Cov(x,y) = 0\\ E_{1,2} &= E[(x-E[x])(y-E[y])^2] \\ &= E[x-E(x)]E[(y-E[y])^2] \\ &= (E[x]-E[x])E[(y-E[y])^2]=0\\ E_{2,1} &= 0\\ E_{2,2} &= E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]\\ &= E[(x-E[x])^2]E[(y-E[y])^2\\ &= V[x]V[y]\\ V[xy] &= E[x]^2 V[y] + E[y]^2 V[x] + V[x]V[y] \end{split} \end{equation*}$

— Ananda
kaynak

bağımsız rasgele değişken vakasının sonucu burada tartışılmıştır .

n

$n$

— Dilip Sarwate

Matt tarafından verilen genel formüle ek olarak, sıfır ortalama Gauss rasgele değişkenleri için biraz daha açık bir formül olduğunu belirtmek gerekir. Bu, Isserlis teoreminden gelir , ayrıca bkz . Merkezli çok değişkenli normal dağılım için daha yüksek momentler .

Varsayalım ki ortalama 0 ile kovaryans matrisi ile çok değişkenli normal dağılım şöyle . değişkenlerinin sayısı tek ise, ve burada $(x_1, \ldots, x_k)$ $\Sigma$ $k$ $E\left(\prod_i x_i\right) = 0$

V (\prod_{i} x_{i}) = E (\prod_{i} x_{i}^{2}) = \sum \prod {\tilde{Σ}}_{i, j}

$V\left(\prod_i x_i\right) = E\left( \prod_i x_i^2\right) = \sum \prod \tilde{\Sigma}_{i,j}$

tüm bölümler üzerinden toplamı anlamına gelir

içine

ayrık çiftleri

her terim karşılık gelen bir ürün olmak

'nin, ve

için kovaryans matrisidir

Σ \prod

$\Sigma \prod$

{1, \dots, 2 k}

$\{1, \ldots, 2k\}$

k

$k$

{i, j}

$\{i, j\}$

k

$k$

{\tilde{Σ}}_{i, j}

$\tilde{\Sigma}_{i,j}$

\tilde{Σ} = (\begin{array}{cc} Σ & Σ \\ Σ & Σ \end{array})

$\tilde{\Sigma} = \left( \begin{array}{cc} \Sigma & \Sigma \\ \Sigma & \Sigma \end{array} \right)$

. Eğer

bile, bir

Durumda

elde ederiz

(x_{1}, \dots, x_{k}, x_{1}, \dots, x_{k})

$(x_1, \ldots, x_k, x_1, \ldots, x_k)$

k

$k$

V (\underset{ben}{Π} x_{ben}) = Σ Π {\tilde{Σ}}_{ben, j} - {(Σ Π Σ_{ben, j})}^{2} .

$V\left(\prod_i x_i\right) = \sum \prod \tilde{\Sigma}_{i,j} - \left(\sum \prod \Sigma_{i,j}\right)^2.$

k = 2

$k = 2$

Eğer

elde ederiz

toplam 15 koşulları bulunur.

V (x_{1} x_{2}) = Σ_{1, 1} Σ_{2, 2} + 2 (Σ_{1, 2})^{2} - Σ_{1, 2}^{2} = Σ_{1, 1} Σ_{2, 2} + (Σ_{1, 2})^{2} .

$V(x_1x_2) = \Sigma_{1,1} \Sigma_{2,2} + 2 (\Sigma_{1,2})^2 - \Sigma_{1,2}^2 = \Sigma_{1,1} \Sigma_{2,2} + (\Sigma_{1,2})^2.$

k = 3

$k = 3$

V (x_{1} x_{2} x_{3}) = Σ Σ_{ben, j} Σ_{k, l} Σ_{r, t},

$V(x_1x_2x_3) = \sum \Sigma_{i,j}\Sigma_{k,l}\Sigma_{r,t},$

setpartspartitions $k = 8$ $k = 9$ $k = 10$

$k = 2$ $k$

— NRH
kaynak

O (3^{k})

$O(3^k)$