Rüzgar hızı verileri için Weibull dağılım parametreleri ve

Merhaba aynı değiştirilmiş maksimum olabilirlik yöntemi için şekil ve ölçek parametresi elde etmek için gösterilebilir

@Zaynah, verilerin bir Weibull dağılımını izlediği düşünülen yorumlarda yer aldığından, MLE (Maksimum olasılık tahmini) kullanarak böyle bir dağılımın parametrelerini nasıl tahmin edeceğime dair kısa bir eğitim vereceğim. Bir yoktur benzer sonrası rüzgar hızları ve sitede Weibull dağılımı hakkında.

1. Indirin ve yükleyinR , ücretsiz
2. İsteğe bağlı: Sözdizimi vurgulama ve daha fazlası gibi bir dizi yararlı işlev sağlayan R için harika bir IDE olan RStudio'yu indirin ve yükleyin .
3. Paketlerin Kurulumu MASSve caryazarak: install.packages(c("MASS", "car")). Bunları yazarak yükleyin: library(MASS)ve library(car).
4. Verilerinizi içine aktarınR . Eğer sınırlandırılmış metin dosyası (.txt) olarak kendilerine tasarrufu örneğin Excel verilerinizi, sahip ve bunları içe aktarırsanız Rile read.table.
5. İşlevini kullanın fitdistrsenin weibull dağılımının maksimum olabilirlik tahminlerini hesaplamak için: fitdistr(my.data, densfun="weibull", lower = 0). Tamamen çalışılmış bir örneği görmek için cevabın altındaki bağlantıya bakın.
6. Verilerinizi Weibull dağılımı ile 5. noktada tahmin edilen ölçek ve şekil parametreleriyle karşılaştırmak için bir QQ-Grafiği oluşturun: qqPlot(my.data, distribution="weibull", shape=, scale=)

Vito Ricci öğretici ile dağılıma uydurmak üzerine Rkonuda iyi bir başlangıç noktasıdır. Ve bu sitede konuyla ilgili çok sayıda gönderi var ( bu gönderiye de bakınız ).

Nasıl kullanılacağına dair tam olarak çalışılmış bir örnek görmek için bu gönderiyefitdistr bir göz atın .

Aşağıdaki örneklere bakalım R:

# Load packages

library(MASS)
library(car)

# First, we generate 1000 random numbers from a Weibull distribution with
# scale = 1 and shape = 1.5

rw <- rweibull(1000, scale=1, shape=1.5)

# We can calculate a kernel density estimation to inspect the distribution
# Because the Weibull distribution has support [0,+Infinity), we are truncate
# the density at 0

par(bg="white", las=1, cex=1.1)
plot(density(rw, bw=0.5, cut=0), las=1, lwd=2,
xlim=c(0,5),col="steelblue")

# Now, we can use fitdistr to calculate the parameters by MLE
# The option "lower = 0" is added because the parameters of the Weibull distribution need to be >= 0

fitdistr(rw, densfun="weibull", lower = 0)

     shape        scale   
  1.56788999   1.01431852 
 (0.03891863) (0.02153039)

Maksimum olasılık tahminleri rastgele sayıların oluşturulmasında keyfi olarak belirlediğimiz tahminlere yakındır. Varsayımsal Weibull dağılımına sahip bir QQ-Plot kullanarak verilerimizi tahmin ettiğimiz parametrelerle karşılaştıralım fitdistr:

qqPlot(rw, distribution="weibull", scale=1.014, shape=1.568, las=1, pch=19)

Noktalar çizgi üzerinde ve çoğunlukla% 95 güven zarfında hizalanmıştır. Verilerimizin bir Weibull dağılımı ile uyumlu olduğu sonucuna varacağız. Elbette, değerlerimizi Weibull dağılımından örneklediğimiz için bu bekleniyordu.

MLE'siz bir Weibull dağılımının (şekil) ve (ölçek) tahmini$k$$c$

Bu makale , rüzgar hızları için bir Weibull dağılımının parametrelerini tahmin etmek için beş yöntem listelemektedir. Burada üçünü açıklayacağım.

Ortalamalardan ve standart sapmadan

Şekil parametresi olarak tahmin edilmektedir: ve ölçü parametresi olarak tahmin edilmektedir: ile ortalama bir rüzgar hızı ve bir standart sapma ve olan Gamma fonksiyonu .$k$

Gözlenen dağılıma uyan en küçük kareler

Gözlemlenen rüzgar hızları hız aralığına , sıklık ve kümülatif frekanslar , o zaman formunun değerlerine doğrusal bir regresyonu sığdırabilirsiniz Weibull parametreleri ve doğrusal katsayıları ile ile ilişkilidir$n$$0-V_{1},V_{1}-V_{2},\ldots, V_{n-1}-V_{n}$$f_{1}, f_{2},\ldots,f_{n}$$p_{1}=f_{1}, p_{2}=f_{1}+f_{2}, \ldots, p_{n}=p_{n-1}+f_{n}$$y=a+bx$

Ortalama ve çeyrek rüzgar hızları

Gözlemlenen tam rüzgar hızlarına sahip değilseniz, ancak medyan ve çeyrekler ve , o zaman ve ilişkileri hesaplanabilmektedir $V_{m}$$V_{0.25}$$V_{0.75}$ $\left[p(V\leq V_{0.25})=0.25, p(V\leq V_{0.75})=0.75\right]$$c$$k$

Dört yöntemin karşılaştırılması

RDört yöntemi karşılaştırmaya bir örnek :

library(MASS)  # for "fitdistr"

set.seed(123)
#-----------------------------------------------------------------------------
# Generate 10000 random numbers from a Weibull distribution
# with shape = 1.5 and scale = 1
#-----------------------------------------------------------------------------

rw <- rweibull(10000, shape=1.5, scale=1)

#-----------------------------------------------------------------------------
# 1. Estimate k and c by MLE
#-----------------------------------------------------------------------------

fitdistr(rw, densfun="weibull", lower = 0)
shape         scale   
1.515380298   1.005562356 

#-----------------------------------------------------------------------------
# 2. Estimate k and c using the leas square fit
#-----------------------------------------------------------------------------

n <- 100 # number of bins
breaks <- seq(0, max(rw), length.out=n)

freqs <- as.vector(prop.table(table(cut(rw, breaks = breaks))))
cum.freqs <- c(0, cumsum(freqs)) 

xi <- log(breaks)
yi <- log(-log(1-cum.freqs))

# Fit the linear regression
least.squares <- lm(yi[is.finite(yi) & is.finite(xi)]~xi[is.finite(yi) & is.finite(xi)])
lin.mod.coef <- coefficients(least.squares)

k <- lin.mod.coef[2]
k
1.515115
c <- exp(-lin.mod.coef[1]/lin.mod.coef[2])
c
1.006004

#-----------------------------------------------------------------------------
# 3. Estimate k and c using the median and quartiles
#-----------------------------------------------------------------------------

med <- median(rw)
quarts <- quantile(rw, c(0.25, 0.75))

k <- log(log(0.25)/log(0.75))/log(quarts[2]/quarts[1])
k
1.537766
c <- med/log(2)^(1/k)
c
1.004434

#-----------------------------------------------------------------------------
# 4. Estimate k and c using mean and standard deviation.
#-----------------------------------------------------------------------------

k <- (sd(rw)/mean(rw))^(-1.086)
c <- mean(rw)/(gamma(1+1/k))
k
1.535481
c
1.006938

Tüm yöntemler çok benzer sonuçlar verir. Maksimum olabilirlik yaklaşımı, Weibull parametrelerinin standart hatalarının doğrudan verilmesi avantajına sahiptir.

PDF veya CDF'ye noktasal güven aralıkları eklemek için bootstrap kullanma

Tahmini Weibull dağılımının PDF ve CDF'si etrafında noktasal güven aralıkları oluşturmak için parametrik olmayan bir önyükleme kullanabiliriz. İşte bir Rsenaryo:

#-----------------------------------------------------------------------------
# 5. Bootstrapping the pointwise confidence intervals
#-----------------------------------------------------------------------------

set.seed(123)

rw.small <- rweibull(100,shape=1.5, scale=1)

xs <- seq(0, 5, len=500)


boot.pdf <- sapply(1:1000, function(i) {
  xi <- sample(rw.small, size=length(rw.small), replace=TRUE)
  MLE.est <- suppressWarnings(fitdistr(xi, densfun="weibull", lower = 0))  
  dweibull(xs, shape=as.numeric(MLE.est[[1]][13]), scale=as.numeric(MLE.est[[1]][14]))
}
)

boot.cdf <- sapply(1:1000, function(i) {
  xi <- sample(rw.small, size=length(rw.small), replace=TRUE)
  MLE.est <- suppressWarnings(fitdistr(xi, densfun="weibull", lower = 0))  
  pweibull(xs, shape=as.numeric(MLE.est[[1]][15]), scale=as.numeric(MLE.est[[1]][16]))
}
)   

#-----------------------------------------------------------------------------
# Plot PDF
#-----------------------------------------------------------------------------

par(bg="white", las=1, cex=1.2)
plot(xs, boot.pdf[, 1], type="l", col=rgb(.6, .6, .6, .1), ylim=range(boot.pdf),
     xlab="x", ylab="Probability density")
for(i in 2:ncol(boot.pdf)) lines(xs, boot.pdf[, i], col=rgb(.6, .6, .6, .1))

# Add pointwise confidence bands

quants <- apply(boot.pdf, 1, quantile, c(0.025, 0.5, 0.975))
min.point <- apply(boot.pdf, 1, min, na.rm=TRUE)
max.point <- apply(boot.pdf, 1, max, na.rm=TRUE)
lines(xs, quants[1, ], col="red", lwd=1.5, lty=2)
lines(xs, quants[3, ], col="red", lwd=1.5, lty=2)
lines(xs, quants[2, ], col="darkred", lwd=2)
#lines(xs, min.point, col="purple")
#lines(xs, max.point, col="purple")

#-----------------------------------------------------------------------------
# Plot CDF
#-----------------------------------------------------------------------------

par(bg="white", las=1, cex=1.2)
plot(xs, boot.cdf[, 1], type="l", col=rgb(.6, .6, .6, .1), ylim=range(boot.cdf),
     xlab="x", ylab="F(x)")
for(i in 2:ncol(boot.cdf)) lines(xs, boot.cdf[, i], col=rgb(.6, .6, .6, .1))

# Add pointwise confidence bands

quants <- apply(boot.cdf, 1, quantile, c(0.025, 0.5, 0.975))
min.point <- apply(boot.cdf, 1, min, na.rm=TRUE)
max.point <- apply(boot.cdf, 1, max, na.rm=TRUE)
lines(xs, quants[1, ], col="red", lwd=1.5, lty=2)
lines(xs, quants[3, ], col="red", lwd=1.5, lty=2)
lines(xs, quants[2, ], col="darkred", lwd=2)
lines(xs, min.point, col="purple")
lines(xs, max.point, col="purple")