Bayesanlar dağılımları nasıl karşılaştırırlar?

Dolayısıyla, frekansçı olasılık ve istatistiksel analizin temellerini (ve ne kadar kötü kullanılabileceğini) iyi bir şekilde kavradığımı düşünüyorum. Sık sık dünyada, bu dağılımın bu dağılımdan farklı olduğu şeklinde bir soru sormak mantıklıdır, çünkü dağılımların gerçek, nesnel ve değişmez olduğu varsayılır (en azından belirli bir durum için) ve Bir numunenin, başka bir numuneye benzeyen bir dağılımdan çekilmesinin ne kadar muhtemel olduğunu ortaya çıkarın.

Bayes dünya görüşünün, biz yalnızca ne umurumda biz (Ben hala bu bölümünde biraz belirsiz değilim, ama Bayes güncelleme kavramını) geçmiş deneyimler göz önüne alındığında, görmeyi bekliyoruz. Öyleyse, bir Bayesian nasıl "bu veri kümesi bu veri kümesinden farklı" diyebilir?

Bu sorunun amaçları için, istatistiksel olarak önemini ya da benzerlerini, sadece farkı nasıl ölçeceklerini umursamıyorum. Parametrik ve parametrik olmayan dağılımlarla aynı derecede ilgileniyorum.

İfadenizi bir Frequentist olarak düşünün ve önce onu daha belirgin hale getirin. Bir Frequentist daha fazla açıklama yapmadan “A veri setinin B veri setinden farklı olduğunu” söyleyemez.

Öncelikle, "farklı" ile ne demek istediğinizi belirtmeniz gerekir. Belki de "farklı ortalama değerlere sahipsin" demek istiyorsun. Sonra tekrar, "farklı değişikliklerin olması" anlamına gelebilir. Ya da belki başka bir şey?

Ardından, ne tür bir test kullanacağınızı belirtmeniz gerekir; bu, verilerle ilgili geçerli varsayımlar olduğuna inandığınıza bağlıdır. Veri setlerinin her ikisinin de normal olarak bazı yöntemler hakkında dağıtıldığını düşünüyor musunuz? Yoksa ikisinin de Beta dağıtılmış olduğuna mı inanıyorsun? Veya başka bir şey?

Şimdi ikinci kararın Bayesian istatistiklerinde öncekiler gibi olduğunu görebiliyor musunuz? Bu sadece "geçmiş deneyimim" değil, inandığım ve akranlarımın inanacağına inandığım şey verilerim hakkında makul varsayımlar. (Ve Bayesanlar, Frequentist hesaplamalara doğru işleri zorlayan üniforma önceliklerini kullanabilirler.)

EDIT: Yorumunuza cevap olarak: bir sonraki adım, bahsettiğim ilk kararda yer almaktadır. İki grubun araçlarının farklı olup olmadığına karar vermek istiyorsanız, bu dağılımın bir miktar güven düzeyinde sıfır içerip içermediğini görmek için iki grubun araçlarının arasındaki farkın dağılımına bakarsınız. Tam olarak sıfıra ne kadar yakın olduğunuzu ve kullandığınız (arka) dağılımın hangi kısmını tam olarak sizin tarafınızdan ve arzu ettiğiniz güven seviyesine göre belirler.

Bu fikirlerin bir tartışma bulunabilir Kruschke bir yazıda da çok okunabilir kitap yazdı, Bayes Veri Analizi Yapma "Farklı Gruplar Eşit musunuz?", Sayfalarında 307-309 üzerinde bir örneğini kapsar. (İkinci baskı: s. 468-472.) Ayrıca konuyla ilgili bazı soru ve cevapların bulunduğu bir blog yazısı var .

DAHA FAZLA KURULUŞ: Bayesian işleminizle ilgili açıklamanız da doğru değil. Bayesliler, verilerden bağımsız olarak bildiklerimizin ışığında, yalnızca bize ne söylediğini önemsiyorlar. (Kruschke'nin belirttiği gibi, önceliğin mutlaka veriden önce gerçekleşmesi gerekmez. İfadenin ima ettiği şey budur, ancak bazı veriler hariç, sadece bizim bilgimizdir.) Belirli bir veri kümesinden bağımsız olarak bildiklerimiz belirsiz veya belirli olabilir. ve altında yatan veri üretme sürecinin bir modeli olan fikir birliğine dayalı olabilir veya sadece başka bir (zorunlu olarak önceden değil) deneyin sonucunu içerebilir.

Bu makale ilgi çekici olabilir: http://arxiv.org/pdf/0906.4032v1.pdf

İki örnek problemine sık ve bazı Bayesci yaklaşımların güzel bir özetini verir ve hem parametrik hem de parametrik olmayan durumları tartışır.

$\mathbf{x}$$\mathbf{y}$$x_i$$y_j$$0$$1$$x_i\sim Bern(p)$$y_i\sim Bern(q)$

$\mathcal{H}_0: \: \: p=q$

$\mathcal{H}_1: \: \: p,q$

Her bir durumda verinin olasılığı:

$\mathcal{H}_0$$L_0(p) = f(\mathbf{x},\mathbf{y};p) = \prod_i p^i (1-p)^{1-i} \prod_j p^j(1-p)^{1-j}$

$\mathcal{H}_1$$L_1(p,q) = f(\mathbf{x},\mathbf{y};p,q) = \prod_i p^i (1-p)^{1-i} \prod_j q^j(1-q)^{1-j}$

$\mathcal{H}_0 \:\: q=p$

$W = -2\log\left\{ \frac{L_0(p_{max})}{L_1(p_{max},q_{max})}\right\},$

$p_{max},q_{max}$$p$$q$$p_{max}$$p_{max}$$W$$\chi^2_1$$\mathcal{H}_0$

$p\sim \pi_0$$\mathcal{H}_0$$p,q\sim \pi_1$$\mathcal{H}_1$

$BF = \frac{ f(\mathbf{x},\mathbf{y}|\mathcal{H}_0) }{f(\mathbf{x},\mathbf{y}|\mathcal{H}_1)} = \frac{ \int_0^1 L_0(p)\pi_0(p)dp}{\int_0^1 \int_0^1 L_1(p,q)\pi_1(p,q)dpdq}$

$\mathcal{H}_0$$\mathcal{H}_1$$\mathcal{H}_0$$\mathcal{H}_1$ $p(\mathcal{H}_0)=p(\mathcal{H}_1) = 1/2$

$\frac{p(\mathcal{H}_0|\mathbf{x},\mathbf{y})}{p(\mathcal{H}_1|\mathbf{x},\mathbf{y})} = BF \times \frac{p(\mathcal{H}_0)}{p(\mathcal{H}_1)} = BF \times \frac{1/2}{1/2} = BF.$

$>1$$\mathcal{H}_0$$\mathcal{H}_1$$\mathcal{H}_0$

$\mathcal{H}_1$

Yayınlanan diğer cevaplarla birlikte yardımcı olacağını umuyorum.

Veriler göz önüne alındığında, 2 grubun aynı popülasyondan gelmediğine inanıyoruz. (H_1: aynı popülasyondan değil, H_0: aynı popülasyondan geliyorlar). Bu bir Bayesian t-testi ile yapılabilir.

Karmaşıklık, önceliğin bir hipotezle ne kadar örtüşdüğünü bulmak için kullanılır. Fit, posteriorun bir hipotezle ne kadar üst üste geldiğini bulmak için kullanılır. Kombine olarak, hipotezleri karşılaştırabilir ve aynı popülasyondan gelip gelmediğine ilişkin arkadaki inancınızı ifade edebilirsiniz.