nasıl hesaplayabilirim


41

Varsayalım ve Φ ( ) yoğunluk fonksiyonu ve standart normal dağılımın dağılım işlevi vardır.ϕ()Φ()

Bir integral nasıl hesaplanır:

Φ(wab)ϕ(w)dw

5
Her şey yolunda. Bunu içeren daha genel bir sonuca yapılan erken bir referans Ellison'dur (1964, J.Am.Stat.Assoc, 59, 89-95); bkz. Teorem 2'nin Corollary 1'i

Yanıtlar:


48

Daha geleneksel bir gösterim

y(μ,σ)=Φ(xμσ)ϕ(x)dx=Φ(μ1+σ2).

Bu, integrali ve σ'ye göre farklılaştırarak, kapalı biçimde ifade edilebilen temel integraller üreterek bulunabilir:μσ

yμ(μ,σ)=12πσ2+1e12μ2σ2+1,

yσ(μ,σ)=μσ2π(σ2+1)3/2e12μ2σ2+1.

Bu sistem , verilen çözeltiyi elde etmek için (farklılaşarak kolayca kontrol edilir) , başlangıç ​​koşulu = Φ ( x ) ϕ ( x ) d x = 1 / 2'den başlayarak entegre edilebilir .y(0,1)Φ(x)ϕ(x)dx1/2


4
Cevabı sayısal entegrasyon ile iki kez kontrol ettim ve oranları , 0 < σ 2 için şekillendirdim : bu aralık boyunca on bir anlamlı rakam olacaktı. 2μ20<σ2
whuber

vay, zekice bir çözüm.
Cam.Davidson.Pilon

2
Sanırım bu neredeyse teftişle yapılabiliyor. İntegralin altındaki ilk terim, tek biçimli [0,1] rastgele bir değişkendir. Normal pdf simetrik olduğundan, integral 1 olmalıdır12
soakley

1
@soakley Yaklaşımınız , ancak y'nin diğer argümanlarına nasıl uygulanacağı belli değil . y(0,1)y
whuber

1
@whuber Anlamadığım için üzgünüm, ancak türev ve ilk koşul için iki kapalı formumuz olduğunda, oradan nihai çözüme nasıl gideriz? Başka bir deyişle, türevler ve ilk koşul için kapalı form ifadeleri ile ne yaptınız?
user106860

63

ve Y'nin X N ( a , b 2 ) ve Y ile standart normal rastgele değişken olan bağımsız normal rastgele değişkenler olmasına izin verin . Ardından, P { X Y Y = w } = P { X w } = Φ ( w - aXYXN(a,b2)YYani, toplam olasılık teorisini kullanarak, biz olsun o P{XY}=- P{XY|Y=w}cp(w)

P{XYY=w}=P{Xw}=Φ(wab).
Şimdi, P { X Y } = P { X - Y 0 } cinsinden ifade edilebilir cp ( ) belirterek olduğu X - Y ~ N ( a , b , 2 + 1 ) , ve böylece elde ∞ iken - Φ ( w - a
P{XY}=P{XYY=w}ϕ(w)dw=Φ(wab)ϕ(w)dw.
P{XY}=P{XY0}Φ()XYN(a,b2+1) whuber cevabındaki sonuçla aynıdır.
Φ(wab)ϕ(w)dw=Φ(ab2+1)

2

Burada başka bir çözümdür: Biz tanımlamak

I(γ)=Φ(ξx+γ)N(x|0,σ2)dx,
γ=ξμI(γ)I(0)=0γ
dIdγ=N((ξx+γ)|0,1)N(x|0,σ2)dx=12πexp(12(ξx+γ)2)12πσ2exp(x22σ2)dx.
(ξx+γ)2+x2σ2=(ξ2+σ2)=ax2+2γξ=bx+γ2=c=a(xb2a)2+(cb24a)(cb24a)=γ24γ2ξ24(ξ2+σ2)=γ2(1ξ2ξ2+σ2)=γ2(11+ξ2σ2)
dIdγ=12πσexp(12(cb24a))2πaa2πexp(12a(xb2a)2)dx=12πσexp(12(cb24a))2πa=12πσ2aexp(12(cb24a))=12π(1+σ2ξ2)exp(12γ21+ξ2σ2)

I(γ)=γ12π(1+σ2ξ2)exp(12z21+ξ2σ2)dz=Φ(γ1+ξ2σ2)

Hangi ima

Φ(ξx)N(x|μ,σ2)dx=I(ξμ)=Φ(ξμ1+ξ2σ2).

Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.