Fisher bilgi matrisinin varlığı için koşullar

Farklı ders kitapları, Fisher bilgi matrisinin varlığı için farklı koşullardan bahseder. Aşağıda, "Fisher bilgi matrisi" tanımlarının her birinde olmasa da bazılarında görülen bu gibi koşullar aşağıda listelenmiştir.

1. Standart, minimal bir koşul kümesi var mı?
2. Aşağıdaki 5 koşuldan hangisi ile ortadan kaldırılabilir?
3. Koşullardan biri ortadan kaldırılabilirse, neden ilk etapta yer aldığını düşünüyorsunuz?
4. Koşullardan biri ortadan kaldırılamıyorsa, bunu belirtmeyen ders kitaplarının hatalı veya en azından eksik bir tanım verdiği anlamına mı gelir?

1. Zacks, İstatistiksel Çıkarım Teorisi (1971), s. 194.
   matrisi tüm için pozitif . $\mathcal{I}\left(\theta\right)$$\theta\in\Theta$
2. Schervish, İstatistik Teorisi (1997, düzeltilmiş 2. baskı), Tanım 2.78, s. 111
   kümesi tüm için aynıdır . $C=\left\{x:f\left(x;\theta\right)>0\right\}$$\theta$
3. Borovkov, Matematiksel İstatistikler (1998). s. 147 wrt ile sürekli olarak ayırt edilebilir .
   $f\left(x;\theta\right)$$\theta_i$
4. Borovkov, Matematiksel İstatistikler (1998). s. 147 sürekli ve ters çevrilebilir.
   $\mathcal{I}\left(\theta\right)$
5. Gourieroux & Monfort, İstatistik ve Ekonometrik Modeller, Cilt I (1995). Tanım (a), s. 81-82 mevcut
   $\frac{\partial^2}{\partial\theta_i\partial\theta_j}f\left(x;\theta\right)$

Buna karşılık, Lehman & Cassella koşulların tam listesi . Nokta Tahmini Teorisi (1998). s. 124 :

1. $\Theta$ açık bir aralıktır (sonlu, sonsuz veya yarı sonsuz)
2. kümesi tüm için aynıdır . $C=\left\{x:f\left(x,\theta\right)>0\right\}$$\theta\in\Theta$
3. $\frac{\partial f\left(x;\theta\right)}{\partial\theta_i}$ var ve sonlu.

Ve burada Barra, Notions fondamentales de statistique mathematique (1971) koşullarının tam listesi . Tanım 1, s. 35 :

Skor için tanımlandığı tüm , bileşenlerinin her bir kare-integrallenebilirdir ve entegre sahiptir . $\theta\in\Theta$$=0$

Ne Lehman & Cassella ne de Barra nin her biri , Anket yaptığım diğer ders kitaplarının çoğunda meydana gelen durum. $\int f\left(x;\theta\right)\space \mu\left(dx\right)$$\theta_i$

Tüm referanslara erişimim yok, ancak bazı noktalarınız hakkında birkaç söz belirtmek istiyorum:

• Borovkov, Matematiksel İstatistikler (1998). s. 140, oldukça güçlü olan başka bir varsayım olan Koşul (R) sunar. Bu koşul, olduğunu varsayar . Daha sonra, yazar temel olarak Fisher bilgi matrisinin (FIM) her girişinin iyi tanımlandığını varsayar.$E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]<\infty$

• İntegral ve türev operatörler varsayımlar çift türevlenebilirlik ve değiştirme kapasitesi eşitliği anlamak için kullanılır . Bu eşitlik genellikle yararlıdır, ancak kesinlikle gerekli değildir.$E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]=-E[\partial^2\log f(x;\theta)/\partial\theta^2]$

• FIM'in gerçekte var olduğu bazı modelleri atmadan FIM'in varlığı için genel koşullar oluşturmak zordur. Örneğin, farklılaşma koşulu, FIM'in varlığı için gerekli bir koşul değildir. Bunun bir örneği çift üstel veya Laplace modelidir. Karşılık gelen FIM iyi tanımlanmıştır, ancak yoğunluk modda iki kere ayırt edilemez. İki kat farklılaşabilen diğer bazı modellerde kötü davranışlı FIM vardır ve bazı ek koşullar gerektirir ( bu makaleye bakın ).

Çok genel yeterli koşullar bulmak mümkündür, ancak bunlar çok katı olabilir. FIM'in varlığı için gerekli koşullar tam olarak araştırılmamıştır. O zaman, ilk sorunuzun cevabı basit olmayabilir.