Çok değişkenli standart normal dağılım ve Gauss kopula arasındaki fark

Çok değişkenli standart normal dağılım ile Gaussian kopula arasındaki farkın ne olduğunu merak ediyorum çünkü yoğunluk fonksiyonuna baktığımda benim için aynı görünüyorlar.

Benim sorunum Gaussian kopula'nın neden tanıtıldığı veya Gaussian kopula'nın ne fayda sağladığı veya Gaussian kopula çok değişkenli standart normal fonksiyondan başka bir şey olmadığında üstünlüğünün ne olduğudur.

Ayrıca, kopulada olasılık integral dönüşümünün arkasındaki kavram nedir? Yani bir kopula'nın tekdüze değişkenli bir fonksiyon olduğunu biliyoruz. Neden tek tip olması gerekiyor? Neden çok değişkenli normal dağılım gibi gerçek verileri kullanmıyor ve korelasyon matrisini bulmuyorsunuz? (Normalde iki varlık getirisini ilişkilerini göz önünde bulundurarak çizeriz, ancak kopula olduğunda bunun yerine olasılıkları olan Bize işaretleriz.)

Başka bir soru. MVN'den gelen korelasyon matrisinin kopuladakiler gibi parametrik olmayan veya yarı parametrik olup olmadığından şüpheliyim (kopula parametresi için kendall's tau, vb. Olabilir)

Bu alanda yeni olduğum için yardımlarınız için çok minnettar olurum. (ama birçok makale okudum ve anlamadığım tek şey bunlar)

normal-distribution copula

— user26979
kaynak

"Yoğunluk fonksiyonuna nasıl bakıyorsunuz?" Yeterince hassas bir yöntem kullanmıyor olabilirsiniz. Örneğin, marjinaller normal olmadığında yoğunluk elbette çok değişkenli normal değildir! Bir bir Gauss copula kullanılarak bu deneyin çok modlu böyle bir Beta olarak, dağıtım

(1 / 2, 1 / 2)

$(1/2,1/2)$ : O kararlılıkla olmayan normal bakmaya gerek!

— whuber

denklem (6) iki değişkenli Gauss kopula CDF'dir iopscience.iop.org/2041-8205/708/1/L9/fulltext/… , açıklama bölümünün ilk denklemi iki değişkenli standart normal CDF roguewave.com/portals/0/products/ imsl-numerical-library /… ve bunları karşılaştırdığımızda, fonksiyonel form çok benzer. benim için tamamen aynı.

— user26979

Haklısın: Bu yüzden rastgele İnternet referanslarına, özellikle kötü tanımlanmış terimlere ve korkunç dizgilere sahip olanlara güvenmemelisin. Nelson'a danışın (ilk bağlantınız için kaynaklardan biri ve son derece okunabilir).

— whuber

öyleyse, yukarıda belirtilenlerden bahsetmiyorsanız, görüşünüzdeki fark nedir?

— user26979

Teknik makalelerle ilgili genel bir kural, özellikle de Web'de bulunanlar , içlerinde sunulan herhangi bir istatistiksel veya matematiksel tanımın güvenilirliğinin, makalenin başlığında belirtilen ilişkisiz istatistiksel olmayan konuların sayısıyla ters orantılı olarak değişmesidir. Sunulan ilk referanstaki sayfa başlığı (soruya yapılan bir yorumda) "Finanstan Kozmolojiye: Büyük Ölçekli Yapının Kopulası" dır. Hem "finans" hem de "kozmoloji" belirgin bir şekilde ortaya çıktığında, bunun kopulalar hakkında iyi bir bilgi kaynağı olmadığından emin olabiliriz!

Bunun yerine , temel tanımlamalar için standart ve çok erişilebilir bir ders kitabına, Roger Nelsen'in Copulas'a Giriş'e (İkinci Baskı, 2006) dönelim .

... her kopula [kapalı birim aralığı üzerinde eşit kenar boşlukları olan bir eklem dağılım işlevidir . $[0,1]]$

[S. 23, altta.]

Copulae hakkında bir fikir edinmek için, kitabın ilk teoremine, Sklar Teoremine dönün :

, ve kenar boşluklarına sahip bir ortak dağıtım işlevi olsun . Daha sonra, bir bağ vardır bu şekilde tüm [genişletilmiş reel sayı] olarak, $H$ $F$ $G$ $C$ $x,y$
$H (x, y) = C (F (x), G (y)) .$ $H(x,y) = C(F(x),G(y)).$

[Sayfa 18 ve 21'de belirtilmiştir.]

Nelsen bunu böyle adlandırmasa da , bir örnekte Gauss kopulasını tanımlar :

... eğer standart (tek değişkenli) normal dağılım fonksiyonunu ve standart iki değişkenli normal dağılım fonksiyonunu (Pearson'un ürün-moment korelasyon katsayısı ) gösteriyorsa, o zaman ... $\Phi$ $N_\rho$ $\rho$
$C (u, v) = \frac{1}{2 π \sqrt{1 - ρ^{2}}} \int_{- \infty}^{Φ^{- 1} (u)} \int_{- \infty}^{Φ^{- 1} (v)} \exp [\frac{- (s^{2} - 2 ρ s t + t^{2})}{2 (1 - ρ^{2})}] d s d t$ $C(u,v) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}(u)}\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}(v)}\exp\left[\frac{-\left(s^2-2\rho s t + t^2\right)}{2\left(1-\rho^2\right)}\right]dsdt$

[s. 23, denklem 2.3.6]. Gösterimde itibaren bu o anlıktır gerçekten ortak dağıtım ne zaman $C$ $(u,v)$ İki değişkenli Normal. Şimdi dönüp olabiliryeni değişkenli dağılımını oluşturmakarzu edilen herhangi bir (devamlı), marjinal dağılımlarına sahip ve bu hangi sadece bu oluşumları değiştirerek bağ olduğu, ile ve $(\Phi^{-1}(u), \Phi^{-1}(v))$ $F$ $G$ $C$ $\Phi$ $F$ :buözel yukarıdaki kopulaların karakterizasyonunda alın. $G$ $C$

Dolayısıyla evet, son derece iki değişkenli normal dağılım için formülleri bu görünüş, bunun nedeni olduğu dönüştürülmüş değişkenler için, normal değişkenli . ve zaten (tek değişkenli) Normal CDF'ler olmadığında bu dönüşümler doğrusal olmayacağından , sonuçta ortaya çıkan dağılım (bu durumlarda) iki değişkenli normal değildir. $(\Phi^{-1}(F(x)),\Phi^{-1}(G(y)))$ $F$ $G$

Misal

$F$ $(4,2)$ $X$ $G$ $(2)$ $Y$ $H$ $F$ $G$ $x$ $y$

Plot

$0\le x \le 1$ $0 \le y$

Simetri eksikliği açıkça normal olmayan (ve normal kenar boşlukları olmadan) yapar, ancak yine de inşaat ile Gauss bir kopula vardır. FWIW'ın bir formülü var ve çirkin, aynı zamanda iki değişkenli Normal değil:

\frac{1}{\sqrt{3}} 2 (20 (1 - x) x^{3}) (e^{- y} y) tecrübe (w (x, y))

$\frac{1}{\sqrt{3}}2 \left(20 (1-x) x^3\right) \left(e^{-y} y\right) \exp \left(w(x,y)\right)$

$w(x,y)$

{erfc}^{- 1} (2 (Q (2, 0, y))^{2} - \frac{2}{3} {(\sqrt{2} {erfc}^{- 1} (2 (Q (2, 0, y))) - \frac{{erfc}^{- 1} (2 (I_{x} (4, 2)))}{\sqrt{2}})}^{2}) .

$\text{erfc}^{-1}\left(2 (Q(2,0,y))^2-\frac{2}{3} \left(\sqrt{2} \text{erfc}^{-1}(2 (Q(2,0,y)))-\frac{\text{erfc}^{-1}(2 (I_x(4,2)))}{\sqrt{2}}\right)^2\right).$

( $Q$ is a regularized Gamma function and $I_x$ is a regularized Beta function.)

— whuber
kaynak

Thanks for the edit, @Cardinal: I'm embarrassed about misspelling Nelsen's name, especially when I was looking right at it on the front of the book! (In my defense, I had first noticed it in the bibliography of the OP's referenced paper, where it is also misspelled: that must have stuck with me. :-)

— whuber

It was such a minor thing, I figured I'd just go ahead and make the edits. The spelling is unusual (at least in English!), especially compared to the more common variant. :-)

— cardinal