Boş bir hipotez kanıtlamak mümkün mü?

Sorunun belirttiği gibi - Boş hipotezi kanıtlamak mümkün mü? Benim (sınırlı) hipotez anlayışımdan cevap hayır, ama bunun için kesin bir açıklama yapamam. Sorunun kesin bir cevabı var mı?

Gerçek dünyadan bahsediyorsanız, resmi mantıktan bahsetmiyorsanız, cevap elbette. Herhangi bir şeyin ampirik yollarla "kanıtlanması", bir insanın yapabileceği çıkarımın gücüne bağlıdır; bu da, dünyanın nasıl çalıştığını (yani teori) bildiği her şey ışığında değerlendirildiği gibi, test sürecinin geçerliliği ile belirlenir. Ne zaman belirli ampirik sonuçların "boş" hipotezini reddetmeyi haklı çıkardığı kabul edildiğinde, mutlaka bu tür yargılarda bulunulması gerekir (tasarımın geçerliliği; dünya belirli şekilde çalışır), bu nedenle, sonuç çıkarımını haklı çıkarmak için gerekli olan analojik varsayımları yapmak gerekir. null " hiç sorun değil .

Peki, benzer varsayımlar nelerdir? İşte sağlık bilimlerinde ve sosyal bilimlerde yaygın olan "boşluğu kanıtlama" örneği. (1) "Null" veya "etkisiz" i pratik olarak anlamlı bir şekilde tanımlayın. Diyelim ki, biri diğerinden% 3 daha iyi bir iyileşme şansı vermediği sürece, bir hastalık için 2 tedavi, t1 ve t2 arasında anlamlı bir fark yokmuş gibi davranmam gerektiğine inanıyorum. (2) Herhangi bir etkisinin olup olmadığını test etmek için geçerli bir tasarım yapınız - bu durumda, t1 ve t2 arasında geri kazanma ihtimalinde bir fark olup olmadığı. (3) Yeterince yüksek bir olasılık oluşturmak için hangi örneklem büyüklüğünün gerekli olup olmadığını belirlemek için bir güç analizi yapın.var olduğunu varsayarsak . Genellikle insanlar, belirtilen bir alfada belirtilen bir etkiyi gözlemleme olasılığının en az 0,80 olması durumunda gücün yeterli olduğunu söyler, ancak doğru güven düzeyi gerçekten ne kadar ters davrandığınıza ilişkindir - p'yi seçtiğinizde olduğu gibi "boş değeri reddetmek" için değer eşiği (4) Ampirik testi yapın ve etkisini gözlemleyin. Belirtilen "anlamlı fark" değerinin altındaysa - örneğimde% 3 - "etkisiz" olduğunu kanıtladınız.

Bu konunun iyi bir şekilde ele alınması için bkz. Streiner, DL Unicorns Var mı: Boş Hipotezi "Kanıtlamak" Üzerine Bir Eğitim . Kanada Psikiyatri Dergisi 48, 756-761 (2003).

Matematiksel açıdan cevap: eğer ve sadece "hipotezler karşılıklı olarak tekil" ise mümkündür.

"Kanıtlamak" derken, "kabul edebilecek" bir kuralı var demektir (şunu söylemeliyim :)) sıfır olan bir hata yapma olasılığı olan, o zaman "ideal test" olarak adlandırılabilecek şeyi araştırıyorsunuz ve bu var :$H_0$

Eğer rastgele bir değişken Hava test ediyorsanız çekilir ya gelen (yani test karşı sonra ideal testi vardır) ancak ve ancak ( ve "karşılıklı tekil" dir. $X$$P_0$$P_1$$H_0: X\leadsto P_0$$H_1: X\leadsto P_1$ $P_1\bot P_0$$P_1$$P_0$

"Karşılıklı tekil" in ne anlama geldiğini bilmiyorsanız, size bir örnek verebilirim: ve ( ve ) karşılıklı olarak tekildir. Bu, test etmek istiyorsanız$\mathcal{U}[0,1]$$\mathcal{U}[3,4]$$[0,1]$$[3,4]$

$H_0: X\leadsto \mathcal{U}[0,1]$ karşı$H_1: X\leadsto \mathcal{U}[3,4]$

o zaman ideal bir test var (ne olduğunu tahmin et :)): asla yanlış olmayan bir test!

Eğer ve karşılıklı tekil değildir, o zaman bu ( "sadece kısmen eğer" bu sonuçları) yok!$P_1$$P_0$

Olmayan matematiksel anlamda size null adlı kanıtlayabilirim bu araçlar ancak ve kanıt, varsayımlar zaten yalnızca (yani eğer ve hipotez seçmiş yalnızca ve tek gözlem böylece farklı identifyed edilemez biri olarak ve bunun tersi). $H_0$$H_1$$H_0$$H_1$

Evet kesin bir cevap var. Bu cevap: Hayır, boş bir hipotez kanıtlamanın bir yolu yok. Yapabileceğimin en iyisi, bildiğim kadarıyla, tahminin etrafına güven aralıklarını atmak ve etkinin aslında varolmayan olabileceği kadar küçük olduğunu göstermek.

Benim için karar teorik çerçevesi "sıfır hipotezi" ni anlamanın en kolay yolunu sunuyor. Temel olarak en az iki alternatifin olması gerektiğini söylüyor: Boş hipotezi ve en az bir alternatif. O zaman "karar sorunu" alternatiflerden birini kabul etmek ve diğerlerini reddetmektir (her ne kadar hipotezi "kabul ederek" ve "reddederek" derken neyi kastettiğimiz konusunda kesin olmamız gerekir). "Boş hipotezi ispatlayabilir miyiz?" Sorusunu görüyorum. "Her zaman doğru kararı verebilir miyiz?" e benzer. Karar teorisi açısından bakıldığında cevap açıkça evet olur.

1) karar verme sürecinde belirsizlik yoktur, çünkü o zaman doğru kararın ne olduğunu anlamak matematiksel bir uygulamadır.

2) sorunun diğer bütün varsayımlarını / varsayımlarını kabul ediyoruz. En kritik olanı (sanırım) aramızda karar verdiğimiz hipotezin ayrıntılı olması ve bunlardan birinin (ve sadece birinin) doğru olması ve diğerlerinin yanlış olması gerektiğidir.

Daha felsefi bir bakış açısına göre, “kanıt” ın tamamen “bu kanıt” ile sonuçlanan varsayımlara / aksiyomlara bağlı olduğu anlamında “hiçbir şeyi” kanıtlamak mümkün değildir. Kanıtın, eğer yanlış ise, buna yol açan varsayımların da yanlış olduğu anlamında bir "gerçek" veya "gerçek" değil, bir tür mantıksal denklik olarak görüyorum.

Bunu "boş hipotezi kanıtlamak" a uygulamak, bunun doğru olduğunu varsaymakla ya da belirli koşulların yerine getirilmesi durumunda (bir istatistiğin değeri gibi) doğru olduğunu varsayarak doğru olduğunu kanıtlayabilirim.

Evet, boş değeri kanıtlamak mümkündür - aynı anlamda boş değer için herhangi bir alternatifi kanıtlamak mümkündür. Bir Bayesian analizinde, önerilen alternatiflerden herhangi birinin keyfi olarak büyük olması için sıfırın lehine olasılıklar mükemmel bir şekilde mümkündür. Üstelik, yukarıdaki cevapların bazılarının iddia ettiği gibi, yalnızca alternatifleri birbirinden farklı olduğu takdirde (null ile çakışma) null olduğunu ispat edebileceğini iddia etmek yanlıştır. Bir Bayes analizinde her hipotezin daha önce bir olasılık dağılımı vardır. Bu dağıtım, önerilen alternatifler üzerine önceden bir olasılık birimi birimini yayar. Boş hipotez önceki tüm olasılıkları tek bir alternatife yerleştirir. Prensip olarak, null'a alternatifler, null olmayan bazı alternatiflere (başka bir "noktaya") önceki tüm olasılıkları verebilir ama bu nadirdir. Genel olarak, alternatifler hedge, yani, aynı olasılık kitlesini, başka alternatiflere, ya boş alternatifin dışlanmasına ya da daha genel olarak boş alternatif de dahil olmak üzere, diğer olasılıklara yayarlar. Ardından soru, deney verilerinin gerçekte düşme ihtimaline en çok hangi hipotezi koyduğunu gösterir. Veriler, boş değerin düşmesi gerektiğini söylediği yerlere sıkıca düşerse, o zaman, olasılıkları (önerilen hipotezler arasında), BUNLARA AİT OLMAYANLARA DAHİLDİR İç içe geçmiş bir alternatifin iç içe geçmiş kümeden daha muhtemel olmasının mümkün olmadığına inanılması, olasılık ile olasılık arasında ayrım yapamamaktadır. Bir kümenin bir bileşeninin tüm kümeden daha az olası olması imkansız olsa da, bir dizi hipotezin bir bileşeninin posterior olasılığının, kümenin posterior olasılığından daha büyük olması tamamen mümkündür. Bir hipotezin posterior olasılığı, olasılık fonksiyonunun ürünü ve hipotezin öngördüğü önceki olasılık dağılımıdır. Bir hipotez önceki tüm olasılıkları doğru yere koyarsa (örneğin, boş), o zaman önceki olasılıkların bazılarını yanlış yere koyan bir hipotezden daha yüksek bir posterior olasılığına sahip olacaktır. Bir hipotezin posterior olasılığı, olasılık fonksiyonunun ürünü ve hipotezin öngördüğü önceki olasılık dağılımıdır. Bir hipotez önceki tüm olasılıkları doğru yere koyarsa (örneğin, boş), o zaman önceki olasılıkların bazılarını yanlış yere koyan bir hipotezden daha yüksek bir posterior olasılığına sahip olacaktır. Bir hipotezin posterior olasılığı, olasılık fonksiyonunun ürünü ve hipotezin öngördüğü önceki olasılık dağılımıdır. Bir hipotez önceki tüm olasılıkları doğru yere koyarsa (örneğin, boş), o zaman önceki olasılıkların bazılarını yanlış yere koyan bir hipotezden daha yüksek bir posterior olasılığına sahip olacaktır.

Teknik olarak, hayır, boş bir hipotez kanıtlanamaz. Herhangi bir sabit, sonlu örneklem büyüklüğü için, her zaman istatistiksel testinizin neredeyse hiç gücü olmayan küçük ama sıfır olmayan bir etki büyüklüğü olacaktır. Daha pratik olarak, yine de, boş hipotezin bazı küçük epsilonları içinde olduğunuzu kanıtlayabilirsiniz, öyle ki bu epsilondan daha az sapmalar pratik olarak anlamlı değildir.

Bir kanıtın mümkün olduğu bir durum var. Bir okulunuz olduğunu ve boş hipotezinizin, erkek ve kız sayısının eşit olduğunu varsayalım. Örneklem büyüklüğü arttıkça, tüm öğrenci popülasyonu örneklendiğinde erkeklerin kızlara oranındaki belirsizlik azalmaya meyillidir ve sonunda kesinliğe ulaşır (ispatla demek istediğin budur).

Ancak, sınırlı bir popülasyonunuz yoksa veya yerine koyma ile örnekleme yapıyorsanız ve örneklenen bireyleri tespit edemiyorsanız, belirsizliği sonlu bir örnekle sıfıra indiremezsiniz.

Burada, bir çok kullanıcının kafasının karıştığı bir noktaya değinmek istiyorum. Null Hipotezinin H0: p = 0 ifadesinin asıl anlamı nedir? P parametresinin sıfır olup olmadığını belirlemeye mi çalışıyoruz? Tabii ki hayır, böyle bir hedefe ulaşmak için bir yol yoktur.

Belirlemek istediğimiz, veri kümesi göz önüne alındığında, değerlendirilen parametre değerinin sıfırdan ayırt edilemez olduğudur. NHST'nin alternatif hipotezlere karşı "haksız" olduğunu unutmayın: boş değer% 95 Güven Seviyesi ve alternatifine sadece% 5'dir. Sonuç olarak, “anlamlı olmayan” bir sonuç, H0’nin tuttuğu anlamına gelmez, sadece alternatifin muhtemel olduğuna dair yeterli kanıt bulamadık anlamına gelir.