Kare olmayan entegre işlevler için Monte Carlo Entegrasyonu

Daha uygun bir foruma taşımak için çekinmeyin değilse, bu sormak için doğru yer olduğunu umuyoruz.

Bir süredir Monte Carlo Entegrasyonu ile kare olmayan entegre fonksiyonların nasıl ele alınacağını merak ediyorum . MC'nin hala doğru bir tahmin verdiğini biliyorum ama bu tür fonksiyonlar için hata mantıksız (ıraksak?).

Bizi bir boyutla sınırlayalım. Monte Carlo entegrasyonu, integrali yaklaşık olarak

ben = \int_{0}^{1} d x f (x)

$I = \int_0^1 \mathrm{d}x \, f(x)$

tahmini kullanmak

E = \frac{1}{N-} Σ_{ben = 1}^{N-} f (x_{ben})

$E = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N f(x_i)$

ile $x_i \in [0,1]$ düzgün dağılmış rastgele noktalar. Büyük sayılar kanunu, $E \approx I$ . Örnek varyansı

S^{2} = \frac{1}{N- - 1} Σ_{ben = 1}^{N-} (f (x_{ben}) - E)^{2}

$S^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (f (x_i) - E)^2$

varyansı yaklaşıklaştırır $\sigma^2$ neden olduğu dağılımın $f$ . Ancak, $f$ kare entegre edilemez, yani kare fonksiyonunun integrali ayrışır, bu

σ^{2} = \int_{0}^{1} d x {(f (x) - ben)}^{2} = \int_{0}^{1} d x f^{2} (x) - {ben}^{2} ⟶ \infty

$\sigma^2 = \int_0^1 \mathrm{d} x \, \left( f(x) - I \right)^2 = \int_0^1 \mathrm{d} x \, f^2(x) - I^2 \longrightarrow \infty$

yani varyans da ayrışır.

Basit bir örnek fonksiyon

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

hangisi için $I = \int_0^1 \mathrm{d}x \, \frac{1}{\sqrt{x}} = 2$ ve $\sigma^2 = \int_0^1 \mathrm{d}x \, \left( \frac{1}{x} - 2 \right) = \left[ \ln x - 2x \right]_0^1 \rightarrow \infty$ .

Eğer $\sigma^2$ sonlu, ortalamanın hatasını tahmin edebilir $E$ tarafından $\frac{S}{\sqrt{N}} \approx \frac{\sigma}{\sqrt{N}}$ , ama ya $f(x)$ kare ile entegre edilemez mi?

monte-carlo numerical-integration

— cschwan
kaynak

Anlamadım: hiçbirinin

E_{i}

$E_i$ bir varyansı vardır ve daha sonra ortalamalarının varyansının makul bir tahmincisi olup olmadığını sorun - o var olmayan varyans! Yoksa bu soruyu yanlış mı yazıyorum: "istatistiksel olarak bağımsız tahminler" ile, integralin aklından farklı (belki de sağlam) bir tahmin ediciniz var mı?

— whuber

Söylemedim

E

$E$ bir varyansı yok, sadece onun için bir varyans tanımlayamıyorum

S^{2}

$S^2$ . Sorusu bir hata tanımlayabilirsiniz olup olmadığıdır Yani hiç ve eğer

{\bar{S}}^{2}

$\bar{S}^2$ makul bir adaydır. İstatistiksel olarak bağımsız olarak

E_{i}

$E_i$ farklı rasgele sayılar kullanılarak elde edilir, örneğin farklı tohumlanmış rasgele sayı üreteçleri kullanarak (umarım o zaman doğru terim budur).

— cschwan

Lütfen bunun için bir sapma tanımlayamayarak ne demek istediğinizi açıklayın

S^{2}

$S^2$ "Standart varyans tanımlarını kullanarak bunu anlayamıyorum ve

S^{2}

$S^2$ .

— whuber

İşlev, kare ile entegre edilemez, bu yüzden yanılmıyorsam,

S^{2}

$S^2$ gerektiğini sapmak . Bu durumda

S^{2}

$S^2$ ilk etapta hiçbir anlamı yok, değil mi? Ancak merkezi limit teoremi sayesinde,

E

$E$ hala integralin gerçek değerine yakınsayacaktır, ancak hatasız bu değer tek başına hiçbir anlam ifade etmez (bu sonuç ne kadar 'iyi'?).

— cschwan

Özür dilerim, elbette "çok sayıda yasa" demek istemiştim, CLT değil.

— cschwan

Kuyruk asimptotiklerinden ve dolayısıyla kare entegrasyonundan etkilenmeyen, ara seriler aralığı gibi diğer ölçek / dağılım ölçülerini kullanabilirsiniz. Genellikle genellikle daha sağlam oldukları ek bir fayda ile.

Açıkçası, ortalamadan önce sadece fonksiyonun MC örneklemesinden elde edilen ham çıktıya değil, ortalama tahmin edicinin ardından yeniden örnekleme / bootstrap'e uygulanmalıdır. Ayrıca genel L tahmincilerini kontrol edebilir ve bunlardan birini performans için bu iki adımı bir araya getirecek şekilde uyarlayabilirsiniz, ancak tahminci PDF doğal olarak bazı özellikleri miras alacak olsa da (zihinsel olarak kare eksikliği dahil olsa da) zihinsel olarak iki dağılım karıştırılmayacaktır. tümlenebilirlik).

— Kuvars
kaynak

+1, büyük sayıların yasasının ikinci anlar gerektirmediğini eklemeliyim, bu yüzden bu mükemmel bir tavsiyedir.

— mpiktas

Cevabınız için teşekkürler! Bu terimleri ilk kez okuduğumu itiraf etmeliyim, ancak onları WP'ye bakarak, cevabın beni doğru yöne yönlendirdiğini düşünüyorum. Siz veya bir başkası, konuları daha ayrıntılı açıklayan bazı makaleler veya kitaplar önerebilir misiniz?

— cschwan

Şimdi farkettim ki cevabım biraz belirsizdi. Simüle ettiğiniz için gerçekten yeniden örnekleme / önyüklemeye ihtiyacınız yok , teorik olarak bunun yerine yeni örnekler ekleyebilir ve ortalama tahminci için ampirik bir dağılım elde edebilirsiniz. Yalnızca kaynaklar bir endişe kaynağıysa, o zaman kısmi ortalamaları önceden hesaplayabilir ve yeniden örnekleyebilirsiniz, ancak iyi yapılırsa istatistikler önemsiz olmaz. Ben boostrap uzmanı değilim, bu yüzden başkalarına tavsiye bırakacağım, sadece basit formülasyonun ötesine geçmeniz gerekiyorsa bunu belirtmek istedim. İlk önce dispersiyon ölçümlerine konsantre olun, daha sonra optimize edin.

— Kuvars

Önerilen ortalama tahmincinin sonlu bir varyansı yoktur. Başka örnek eklenmesi önemli değildir, tahmin edicinin ampirik dağılımı da sonlu olmayan bir varyansa sahip olacaktır. Bunu birkaç simülasyonla onaylayabilirsiniz.

— rajb245

Elbette, tartışılan şey budur ve bunun neden başka bir dağılım ölçüsü kullanması gerektiğidir.

— Kuvars