İki parametrenin çarpımı için güven aralığı

Diyelim ki iki parametre var, ve . Ayrıca iki maksimum olasılık ve ve bu parametreler için iki güven aralığımız var. için bir güven aralığı oluşturmanın bir yolu var mı ? $p_1$ $p_2$ $\hat{p_1}$ $\hat{p_2}$ $p_1p_2$

confidence-interval

— misafir
kaynak

Delta yöntemini standart hatasını hesaplamak için kullanabilirsiniz . Delta yöntemi, işlevinin varyansının yaklaşık olarak verildiğini belirtir : Diğer yandan beklentisinin yaklaşık değeri şu şekildedir: Yani beklenti basitçe fonksiyon. işleviniz : . beklentisi şöyle olacaktır: $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $g(t)$

V a r (g (t)) \approx \sum_{i = 1}^{k} g_{i}^{'} (θ)^{2} V a r (t_{i}) + 2 \sum_{i > j} g_{i}^{'} (θ) g_{j}^{'} (θ) C o v (t_{i}, t_{j})

$\mathrm{Var}(g(t))\approx \sum_{i=1}^{k}g'_{i}(\theta)^{2}\mathrm{Var}(t_{i})+2\sum_{i>j}g'_{i}(\theta)g'_{j}(\theta)\mathrm{Cov}(t_{i},t_{j})$

g (t)

$g(t)$

E (g (t)) \approx g (θ)

$\mathrm{\mathbf{E}}(g(t))\approx g(\theta)$

g (t)

$g(t)$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

p_{1} p_{2}

$p_{1}p_{2}$ . Varyans için kısmi türevlerine ihtiyacımız var :

g (p_{1}, p_{2})

$g(p_{1}, p_{2})$

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial p_{1}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{1} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial p_{1}}g(p_{1}p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}}g(p_{1}p_{2}) &= p_{1} \\ \end{align}$

Yukarıdaki varyansın fonksiyonunu kullanarak şunları elde ederiz:

V a r (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}) = {\hat{p_{2}}}^{2} V a r (\hat{p_{1}}) + {\hat{p_{1}}}^{2} V a r (\hat{p_{2}}) + 2 \cdot \hat{p_{1}} \hat{p_{2}} C o v (\hat{p_{1}}, \hat{p_{2}})

$\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})=\hat{p_{2}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) + \hat{p_{1}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{2}})+2\cdot \hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\mathrm{Cov}(\hat{p_{1}},\hat{p_{2}})$ Standart hata sadece yukarıdaki ifadenin sqare kökü olacaktır. Standart hatayı aldıktan sonra, : için% 95 güven aralığı hesaplamak kolaydır.

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}} \pm 1.96 \cdot \hat{S E} (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}})

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\pm 1.96\cdot \widehat{\mathrm{SE}}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})$

Standart hatasını caluclate için , sen varyansını ihtiyaç ve genellikle alabileceğiniz tarafından varyans-kovaryans matrisinin iki tahminleri var çünkü sizin durumunuzda bir 2x2 matris olacaktır. Varyans-kovaryans matrisindeki diyagonal elemanlar ve varyanslarıdır, çapraz diyagonal elemanlar ve (matris simetriktir). @ Yorumlarda belirtildiği gibi, varyans-kovaryans matrisi çoğu istatistiksel yazılım tarafından çıkarılabilir. Bazen, tahmin algoritmaları $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\Sigma$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ Hessian matrisi (burada bununla ilgili ayrıntılara girmeyeceğim) ve varyans-kovaryans matrisi , negatif Hessian'ın tersi ile tahmin edilebilir (ancak yalnızca log olasılığını en üst düzeye çıkarırsanız !; bu gönderiye bakın ). Yine, Hessian'ın nasıl çıkarılacağı ve bir matrisin tersinin nasıl hesaplanacağı ile ilgili istatistiksel yazılımınızın ve / veya web'in belgelerine bakın.

Alternatif olarak, güven aralıklarından ve varyanslarını aşağıdaki şekilde alabilirsiniz (bu% 95 -CI için geçerlidir): . İçin bir -Cl, tahmin edilen standart hata: ; burada , standart normal dağılımın ( kantilidir ( , ). Ardından, $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/3.92$ $100(1-\alpha)\%$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/(2\cdot z_{1-\alpha/2})$ $z_{1-\alpha/2}$ $(1-\alpha/2)$ $\alpha=0.05$ $z_{0.975}\approx 1.96$ $\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) = \mathrm{SE}(\hat{p_{1}})^{2}$ . Aynı durum varyansı için de geçerlidir . ve de kovaryans yapmamız gerekiyor (yukarıdaki paragrafa bakın). Eğer ve bağımsızdır, kovaryans sıfırdır ve biz terimini bırakabilirsiniz. $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$

Bu makale ek bilgi sağlayabilir.

— COOLSerdash
kaynak

+1. Parametrelerin varyansları ve kovaryansları , çoğu istatistiksel yazılımın sağlayabildiği varyans-kovaryans matrisini inceleyerek bulunabilir. Örneğin, R'de, bu ? Vcov ; & SAS'da, PROC REG içindeki model ifadesine bir seçenek olarak eklenir .

β

$\boldsymbol\beta$ covb

— gung - Monica'yı eski durumuna döndürün

Gerçekten varyans-kovaryans matrisi olduğunu buna değer (Ben bazı insanların kafasını karıştıran biliyorum çünkü) işaret olabilir ukalalıklarının bir noktada @gung ziyade (ve aslında bile gerçekten bu değil , çünkü standart sapma numuneden tahmin edilmelidir, bu yüzden gerçekten tahmini varyans-kovaryans matrisi ..)

\hat{β}

$\hat \beta$

β

$\beta$

— Silverfish

@Silverfish, usulüne uygun olarak azarlanmış. Bir dahaki sefere " " tahmini varyans-kovaryans matrisi "diyeceğim .

\hat{β}

$\boldsymbol{\hat\beta}$

— gung - Monica'yı eski

Bir profil olabilirlik işlevi oluşturmayı deneyebilirsiniz! ve bundan güven aralığını oluşturur.

— kjetil b halvorsen

Is not , bir parametre olduğundan?

v a r (p_{1}) = 0

$var(p_1)=0$

— user0

Ürünün varyansının hesaplanması için farklı bir denklem buldum.

X ve y bağımsız olarak dağıtılırsa, ürünün varyansı nispeten basittir: V (x * y) = V (y) * E (x) ^ 2 + V (x) * E (y) ^ 2 + V ( x) * V (y) Bu sonuçlar ayrıca üç veya daha fazla değişken içeren vakaları da genellemektedir (Goodman 1960). Kaynak: Pestisitlerin Düzenlenmesi (1980), ek F

Coolserdash: Denkleminizde son bileşen V (x) * V (y) eksik. Referans verilen kitap (Pestisitlerin Düzenlenmesi) yanlış mı?

Ayrıca, her iki denklem de mükemmel olmayabilir. “ ... üç bağımsız normal değişkenin ürün dağılımının normal olmadığını gösteriyoruz .” ( kaynak ). Normal olarak dağıtılan iki değişkenin üründe bile bir miktar pozitif çarpıklık beklerim .

— Marek Čierny
kaynak

CI / 2 / 1.96 = se'nin uzunluğu, yani A veya B'nin standart hatası
se ^ 2 = var, yani A veya B tahmininin varyansı
Tahmini A veya B'yi A veya B'nin aracı olarak kullanın, yani E (A) veya E (B)
Var (A * B), yani var (C) almak için http://falkenblog.blogspot.se/2008/07/formula-for-varxy.html sayfasını takip edin.
Var (C) 'nin kare kökü C
(C - 1.96 * se (C), C + 1.96 * se (C)) C'nin% 95 CI'sıdır

A ve B'niz ilişkili ise, kovaryanslarını da dikkate almanız gerektiğini unutmayın.

— Buzlu kahve
kaynak