Kare t değişkenlerinin toplamı nedir?

20

Let ile, bir Öğrenci t dağılımından iid çekilebilir orta büyüklükteki için, serbestlik derecesi (en az 100 say). tanımla neredeyse serbestlik derecesine sahip bir ki-kare olarak mı dağıtılıyor ? Kare rasgele değişkenlerin toplamı için Merkezi Limit Teoremi gibi bir şey var mı? $t_i$ $n$ $n$

T = \sum_{1 \leq i \leq k} t_{i}^{2}

$T = \sum_{1\le i \le k} t_i^2$

T

$T$

k

$k$

chi-squared central-limit-theorem t-distribution

— shabbychef
kaynak

@suncoolsu: 'neredeyse' diyor ...

— shabbychef

özür dilerim. görmedim.

— suncoolsu

14

İlk soruyu cevaplamak.

Mpiktas tarafından belirtilen gerçeğinden başlayabiliriz . Ve sonra ilk önce daha basit bir adım deneyin - tarafından dağıtılan iki rastgele değişkenin toplamının dağılımını arayın . Bu, iki rastgele değişkenin evrişimini hesaplayarak veya karakteristik işlevlerinin ürününü hesaplayarak yapılabilir. $t^2 \sim F(1, n)$ $F(1,n)$

Makale PCB Phillips gösterileri ile "dahil [birleşik] hipergeometrik fonksiyonlar" hakkında benim ilk tahminim gerçekten doğru olduğunu. Bu, çözümün önemsiz olmayacağı ve kaba kuvvet karmaşık olduğu, ancak sorunuzu cevaplamak için gerekli koşul olduğu anlamına gelir. Yani sabit olduğu ve t-dağılımlarını özetlediğiniz için, nihai sonucun ne olacağını kesin olarak söyleyemeyiz. Birisi konfluent hipergeometrik fonksiyonların ürünleri ile oynarken iyi bir beceriye sahip değilse. $n$

— Dmitrij Celov
kaynak

2

Bağlantı için +1, F dağılımının karakteristik fonksiyonunun çok karmaşık olduğunu bilmiyordu.

— mpiktas

14

Bu yakın bir yaklaşım bile değil. Küçük , beklentisi eşittir. $n$ $T$ beklentisi iseeşittir. Ne zamanküçük (az 10, diyelim ki) ait histogramlarvehatta kayması ve rescaling olduğunu belirten aynı şekle sahip olmayanhala işi olmaz. $\frac{k n}{n-2}$ $\chi^2(k)$ $k$ $k$ $\log(T)$ $\log(\chi^2(k))$ $T$

Sezgisel olarak, küçük serbestlik dereceleri için Student ağır kuyrukludur. Karesi almak bu ağırlığı vurgular. Bu nedenle, toplamlar, kare normallerin toplamından ( dağılımı) daha fazla çarpık - genellikle çok daha fazla çarpık olacaktır . Hesaplamalar ve simülasyonlar bunu ortaya koyuyor. $t$ $\chi^2$

İllüstrasyon (istendiği gibi)

alt metin

Her histogram, @mpiktas tarafından tarif edildiği gibi standartlaştırılmış , belirtilen serbestlik dereceleri ( ) ve summands ( ) ile 100.000 denemenin bağımsız bir simülasyonunu gösterir. Değeri alt satırda yaklaşır durum. Böylece her sütunu tarayarak ile karşılaştırabilirsiniz . $n$ $k$ $n=9999$ $\chi^2$ $T$ $\chi^2$

için standardizasyon mümkün değildir, çünkü uygun anlar bile yoktur. Şeklin kararlılığının olmaması (herhangi bir satırda soldan sağa veya herhangi bir sütunda yukarıdan aşağıya doğru tarama yaparken) için daha da belirgindir . $n \lt 5$ $n \le 4$

— whuber
kaynak

Bundan korkuyordum, ama toplamanın biraz kuyruk getireceğini düşündüm.

— shabbychef

Ayrıca bir nevi Monte Carlo deneyleri üretmeyi düşündüm, bu yaklaşımın

ve

neyin yaklaşık olarak neye ihtiyacımız olduğunu

, muhtemelen

kadar yakın olabileceğini görmeye çalıştım . Ama küçük

ve özellikle

için çok ağır kuyruklu olacak. Buradaki iki histogramı ekleyebilir misiniz, sadece benim gibi tembel insanlar için?

n

$n$

k

$k$

χ^{2} (k)

$\chi^2(k)$

k (n)

$k(n)$

k

$k$

n

$n$

— Dmitrij Celov

@Dmitrij Simülasyonlar hızlı (histogramları çizmek daha fazla zaman alıyor), bu yüzden 12 tanesini ekledim.

— whuber

Rakam için +1. Çizimler her zaman güzeldir.

— Dmitrij Celov

7

$k$

$\dfrac{T-kE(t_1)^2}{\sqrt{kVar(t_1^2)}}\sim N(0,1)$

$Et_1^2$ $Var(t_1^2)$ $n$ $t_1^2$ $1$ $n$

$\dfrac{T-k\frac{n}{n-2}}{\sqrt{k\frac{2n^2(n-1)}{(n-2)^2(n-4)}}}\sim N(0,1)$

— mpiktas
kaynak

1

Hotelling'in T ^ 2: (f - d + 1) / fd T ^ 2 ∼ F (d, f + 1 - d)

— DWin

1

T^{2}

$T^2$

T

$T$

T^{2}

$T^2$

F (1, n) + F (1, n)

$F(1,n)+F(1,n)$

Varyans matrisi diyagonal olduğunda durumunuzun azaldığına inanıyorum. Bir numunedeki köşegen olmayan elemanlar, eğer numuneler Normal ise sıfıra yakın olmalıdır, ancak t'den tam olarak sıfır olmayabilir. Bununla birlikte, yaklaşık bir şey istediniz, bu yüzden cevabın muhtemelen bu şart altında F olduğunu düşünüyorum.

— DWin

F (1, n)

$F(1,n)$

F

$F$