Sonuç değişkeni vaka / kontrol durumu olmadığında vaka kontrol tasarımında lojistik regresyon katsayılarını tahmin etme

Aşağıdaki şekilde boyutundaki bir popülasyondan veri örneklemeyi düşünün : $N$ $k=1, ..., N$

Bireysel "hastalık" durumunu gözlemleme $k$
Hastalıkları varsa, bunları olasılığı olan numuneye ekleyin $p_{k1}$
Hastalığı yoksa, bunları olasılığı ile dahil edin . $p_{k0}$

Bir ikili sonuç değişkeni gözlenen varsayalım ve belirleyici vektörü için, konular bu şekilde örneklenmiş. Sonuç değişkendir değil "hastalık" durumu. Lojistik regresyon modelinin parametrelerini tahmin etmek istiyorum: $Y_i$ ${\bf X}_i$ $i=1, ..., n$

\log (\frac{P (Y_{i} = 1 | X_{i})}{P (Y_{i} = 0 | X_{i})}) = α + X_{i} β

$\log \left( \frac{ P(Y_i = 1 | {\bf X}_i) }{ P(Y_i = 0 | {\bf X}_i) } \right) = \alpha + {\bf X}_i {\boldsymbol \beta}$

Tek umurumda olan (log) olasılık oranları, ${\boldsymbol \beta}$ . Kesişim benim için önemli değil.

Benim sorum: , örnekleme olasılıklarını göz ardı ederek ve modeli sanki mantıklı tahminler alabilir miyim sıradan rastgele bir örnek miydi? ${\boldsymbol \beta}$ $\{ p_{i1}, p_{i0} \}$ $i=1, ..., n$

Bu sorunun cevabının "evet" olduğundan oldukça eminim. Aradığım şey, bunu doğrulayan bir referans.

Cevaptan emin olmamın iki ana nedeni var:

Birçok simülasyon çalışması yaptım ve hiçbiri bununla çelişmiyor ve
Nüfus yukarıdaki model tarafından yönetiliyorsa, örneklenen verileri yöneten modelin

\log (\frac{P (Y_{i} = 1 | X_{i})}{P (Y_{i} = 0 | X_{i})}) = \log (p_{i 1}) - \log (p_{i 0}) + α + X_{i} β

$\log \left( \frac{ P(Y_i = 1 | {\bf X}_i) }{ P(Y_i = 0 | {\bf X}_i) } \right) = \log(p_{i1}) - \log(p_{i0}) + \alpha + {\bf X}_i {\boldsymbol \beta}$

Örnekleme olasılıkları bağlı olmasaydı, bu kesişmeye basit bir kaymayı temsil eder ve ' un nokta tahmini açıkça etkilenmezdi. Ancak, ofsetler her kişi için farklıysa, benzer bir şey olduğundan şüphelenmeme rağmen, kesinlikle farklı bir puan tahmini alacağınızdan bu mantık tam olarak uygulanmaz. $i$ ${\boldsymbol \beta}$

İlgili: Prentice ve Pyke'nin (1979) klasik makalesi, vaka kontrolünden elde edilen lojistik regresyon katsayılarının (sonuç olarak hastalık durumu ile) prospektif bir çalışmadan toplananla aynı dağılıma sahip olduğunu söylüyor. Aynı sonucun burada geçerli olacağından şüpheleniyorum ama itiraf etmeliyim ki makalenin her bir kısmını tam olarak anlamadım.

Yorumlarınız / referanslarınız için şimdiden teşekkür ederiz.

logistic case-control-study

— Makro
kaynak

"Sonuç değişkeninin hastalık durumu olmadığını" belirtiyorsunuz . ne anlama ? CV'ye tekrar hoş geldiniz, btw.

Y_{i} = 1

$Y_i=1$

— gung - Monica'yı eski durumuna döndürün

Y_{i}

$Y_i$ farklı bir değişkendir. Demek istediğim, örnekleme olasılığınızı belirleyen değişken (genellikle vaka kontrolünde hastalık durumu) sonuç değişkeni ile aynı değildir - bir veri kümesinin ikincil analizini düşünün. Örneğin, numunenin sistematik olarak örnekleme yapan uyuşturucu kullanıcıları tarafından üretildiğini ve ek (uyuşmazlıkla eşleştirilmiş, bazı ortak değişkenler için) bir dizi uyuşturucu kullanıcısı olmayan kullanıcı tarafından oluşturulduğunu, ancak çalıştığınız sonuç değişkeninin başka bir davranışsal ölçüm olduğunu varsayalım. Bu durumda örnekleme planı bir sıkıntıdır. Teşekkürler, btw!

— makro

Bu, ekonometride seçim modelinin bir varyasyonudur. Burada yalnızca seçilen örnek kullanılarak yapılan tahminlerin geçerliliği . İşte olan hastalığı durumu. $\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)=\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right)$ $D_i$ $i$

Daha fazla ayrıntı vermek için aşağıdaki gösterimleri tanımlayın: ve ; , örneğindeki olayı ifade eder . Ayrıca, nin basitlik açısından bağımsız olduğunu varsayalım . $\pi_{1}=\Pr\left(D_{i}=1\right)$ $\pi_{0}=\Pr\left(D_{i}=0\right)$ $S_{i}=1$ $i$ $D_{i}$ $X_{i}$

Olasılığı bir birim için numune içinde yinelenen beklenti yasası ile. Hastalık durumu ile ilgili şartlı varsayalım ve diğer değişkenlerin , sonuç bağımsızdır . Sonuç olarak, $Y_{i}=1$ $i$

\begin{array}{rcl} Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, S_{i} = 1) & = & E (Y_{i} ∣ X_{i}, S_{i} = 1) \\ = & E {E (Y_{i} ∣ X_{i}, D_{i}, S_{i} = 1) ∣ X_{i}, S_{i} = 1} \\ = & Pr (D_{i} = 1 ∣ S_{i} = 1) Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1, S_{i} = 1) + \\ Pr (D_{i} = 0 ∣ S_{i} = 1) Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0, S_{i} = 1), \end{array}

$\begin{eqnarray*} \Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},S_{i}=1\right) & = & \mathrm{{E}}\left(Y_{i}\mid X_{i},S_{i}=1\right)\\ & = & \mathrm{{E}}\left\{ \mathrm{{E}}\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i},S_{i}=1\right)\mid X_{i},S_{i}=1\right\} \\ & = & \Pr\left(D_{i}=1\mid S_{i}=1\right)\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1,S_{i}=1\right)+\\ & & \Pr\left(D_{i}=0\mid S_{i}=1\right)\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0,S_{i}=1\right), \end{eqnarray*}$

D_{i}

$D_{i}$

X_{i}

$X_{i}$

Y_{i}

$Y_{i}$

S_{i}

$S_{i}$

\begin{array}{rcl} Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, S_{i} = 1) & = & Pr (D_{i} = 1 ∣ S_{i} = 1) Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1) + \\ Pr (D_{i} = 0 ∣ S_{i} = 1) Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0) . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},S_{i}=1\right) & = & \Pr\left(D_{i}=1\mid S_{i}=1\right)\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)+\\ & & \Pr\left(D_{i}=0\mid S_{i}=1\right)\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right). \end{eqnarray*}$ görmek kolaydır olduğu Burada ve örnekleme planınız tanımlandığı gibidir. Böylece,

Pr (D_{i} = 1 ∣ S_{i} = 1) = \frac{π_{1} p_{i 1}}{π_{1} p_{i 1} + π_{0} p_{i 0}} and Pr (D_{i} = 0 ∣ S_{i} = 1) = \frac{π_{0} p_{i 0}}{π_{1} p_{i 1} + π_{0} p_{i 0}} .

$\Pr\left(D_{i}=1\mid S_{i}=1\right)=\frac{\pi_{1}p_{i1}}{\pi_{1}p_{i1}+\pi_{0}p_{i0}}\mbox{ and }\Pr\left(D_{i}=0\mid S_{i}=1\right)=\frac{\pi_{0}p_{i0}}{\pi_{1}p_{i1}+\pi_{0}p_{i0}}.$

p_{i 1}

$p_{i1}$

p_{i 0}

$p_{i0}$

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, S_{i} = 1) = \frac{π_{1} p_{i 1}}{π_{1} p_{i 1} + π_{0} p_{i 0}} Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1) + \frac{π_{0} p_{i 0}}{π_{1} p_{i 1} + π_{0} p_{i 0}} Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0) .

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},S_{i}=1\right)=\frac{\pi_{1}p_{i1}}{\pi_{1}p_{i1}+\pi_{0}p_{i0}}\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)+\frac{\pi_{0}p_{i0}}{\pi_{1}p_{i1}+\pi_{0}p_{i0}}\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right).$ Eğer , ve örnek seçim sorununu atlayabilirsiniz. Öte yandan, , . Özel bir durum olarak, logit modelini düşünün,

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1) = Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0)

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)=\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right)$

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, S_{i} = 1) = Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}),

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},S_{i}=1\right)=\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i}\right),$

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1) \neq Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0)

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)\neq\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right)$

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, S_{i} = 1) \neq Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i})

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},S_{i}=1\right)\neq\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i}\right)$

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1) = \frac{e^{X_{i}^{'} α}}{1 + e^{X_{i}^{'} α}} and Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0) = \frac{e^{X_{i}^{'} β}}{1 + e^{X_{i}^{'} β}} .

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)=\frac{e^{X_{i}'\alpha}}{1+e^{X_{i}'\alpha}}\mbox{ and }\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right)=\frac{e^{X_{i}'\beta}}{1+e^{X_{i}'\beta}}.$ ve arasında sabit olsa bile , sonuçta elde edilen dağılım logit oluşumunu korumaz. Daha da önemlisi, parametrelerin yorumları tamamen farklı olacaktır. Umarım, yukarıdaki argümanlar probleminizi biraz açıklığa kavuşturmaya yardımcı olur.

p_{i 1}

$p_{i1}$

p_{i 0}

$p_{i0}$

i

$i$

ek bir açıklayıcı değişken olarak dahil ve modeli . Kullanarak geçerliliğini haklı çıkarmak için , biz kanıtlamak gerektiğini , ki bu yeterli bir istatistiğidir . Örnekleme işleminiz hakkında daha fazla bilgi olmadan, bunun doğru olup olmadığından emin değilim. Soyut bir gösterim kullanalım. Gözlenebilirlik değişkeni , ve diğer rasgele değişkenlerin rastgele fonksiyonu olarak $D_{i}$ $\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i}\right)$ $\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i}\right)$ $\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i},S_{i}=1\right)=\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i}\right)$ $D_{i}$ $S_{i}$ $S_{i}$ $D_{i}$ $\mathbf{Z}_{i}$ . Göstermek . Eğer bağımsızdır şartına ve , elimizdeki bağımsızlığın tanımı ile. Ancak, bağımsız değildir kondüsyonlamanın sonra ve , sezgisel hakkında gerekli bazı bilgiler içermektedir ve genel olarak $S_{i}=S\left(D_{i},\mathbf{Z}_{i}\right)$ $\mathbf{Z}_{i}$ $Y_{i}$ $X_{i}$ $D_{i}$ $\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i},S\left(D_{i},\mathbf{Z}_{i}\right)\right)=\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i}\right)$ $\mathbf{Z}_{i}$ $Y_{i}$ $X_{i}$ $D_{i}$ $\mathbf{Z}_{i}$ $Y_{i}$ $\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i},S\left(D_{i},\mathbf{Z}_{i}\right)\right)=\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i}\right)$ . Bu nedenle, 'ancak' durumda, örnek seçiminin cehaleti çıkarım için yanıltıcı olabilir. Ekonometride örnek seçme literatürüne pek aşina değilim. Microeconometrics: methods and applications' by Cameron and Trivedi (especially the Roy model in that chapter). Also G. S. Maddala's classic bookEkonometride sınırlı bağımlı ve nitel değişkenlerin 16. Bölümü'nün 'örnek seçimi ve ayrık sonuçlarla ilgili sorunların sistematik bir şekilde ele alınmasını tavsiye ederim .

— semibruin
kaynak

Teşekkürler. Bu harika bir cevap ve mükemmel bir mantıklı. Benim uygulamada, varsayım gerçekçi değildir. Ancak, bir öngörücü olarak eklemek ve dağılımını . Benzer bir türev kullanarak, , o zaman iyi olduğunu . Benim durumumda bu makul bir varsayım. Ne düşünüyorsun? BTW, bu sorundan bahseden referanslarınız olur mu? Ekonometri literatürüne aşina değilim.

P (Y_{i} | X_{i}, D_{i} = 1) = P (Y_{i} | X_{i}, D_{i} = 0)

$P(Y_i|X_i,D_i=1)=P(Y_i|X_i,D_i=0)$

D_{i}

$D_i$

P (Y_{i} | X_{i}, D_{i})

$P(Y_i|X_i,D_i)$

P (Y_{i} = 1 | X_{i}, D_{i}, S_{i} = 1) = P (Y_{i} = 1 | X_{i}, D_{i}, S_{i} = 0)

$P(Y_i=1|X_i,D_i,S_i=1)=P(Y_i=1|X_i,D_i,S_i=0)$

— Makro

Ben seçim sürecini bir bernoulli deneme olarak düşünerek rahatım, yani Bu veri üreten varsayım altında, bu bernoulli denemesi şartlı olarak bağımsızdır , bu yüzden iyi olduğumuzu düşünüyorum. Bu sorunla ilgili gösterdiğiniz çaba ve anlayışları takdir ediyorum ve yanıtı kabul ediyorum. Kimsenin aradığım tam referansla birlikte gelmediğini varsayarsak (genişletilmiş bir tartışma ile tartışmak yerine bu sorunu basitçe "alıntılamayı tercih edebilirim), size de ödül vereceğim. Şerefe.

S_{i} | D_{i} = d, X_{i} = x \sim B e r n o u l l i (p (x, d))

$S_i | D_i=d, X_i=x \sim {\rm Bernoulli} \big( p(x, d) \big)$

Y_{i}

$Y_i$

— Makro

Bu seçim süreci stratejinize uyar. Böyle bir seçim problemine dayanarak, probleminiz eksik veri literatüründe rastgele (MAR) eksik örneğidir. Ödülün için teşekkürler.

— semibruin