Üçgen dağılımı için MLE?

Üçgen dağılımına normal MLE prosedürünü uygulamak mümkün müdür? - Deniyorum ama matematikte bir veya daha fazla adımda dağılımın tanımlanmasıyla engellenmiş gibi görünüyor. Ben c (ve bilmeden) c yukarıda ve altında örnek sayısını biliyorum gerçeğini kullanmaya çalışıyorum: n toplam örnek sayısı ise, bu 2 sayı cn ve (1-c) n vardır. Ancak, bu türetmede yardımcı görünmüyor. Anlar anı, c için çok problemsiz bir tahminci verir. Burada MLE'deki tıkanıklığın kesin doğası nedir (eğer gerçekten varsa)?

Daha fazla detay:

En düşünelim içinde [ 0 , 1 ] ve tanımlanan dağıtım [ 0 , 1 ] ile: $c$$[0,1]$$[0,1]$

x <cf(x;c)=2 ise(1-x$f(x;c) = \frac{2x}{c}$
c <= x ise $f(x;c) = \frac{2(1-x)}{(1-c)}$

Bu dağıtım formundan xid örneklerini { x i } alalım , bu örnek verilen c'nin günlük olasılığını:$n$$\{x_{i}\}$

$\hat{l}(c | \{x_{i}\}) = \sum_{i=1}^{n}ln(f(x_{i}|c))$

Sonra şeklini verilmiş olduğu gerçeğini kullanmaya çalışıyorum , bunu biliyoruz c n örnekleri (bilinmeyen) altına düşecek c ve ( 1 - c ) n yukarıdaki düşecek c . IMHO, bu, log olabilirliğinin ifadesindeki toplamın ayrıştırılmasına izin verir:$f$$cn$$c$$(1-c)n$$c$

$\hat{l}(c | \{x_{i}\}) = \sum_{i=1}^{cn}ln\frac{2 x_{i}}{c} + \sum_{i=1}^{(1-c)n}ln\frac{2(1-x_{i})}{1-c}$

$c$$c$

$\hat{l}(c | \{x_{i}\}) = \sum_{i=1}^{n}\{x_{i}<c\}ln\frac{2 x_{i}}{c} + \sum_{i=1}^{n}\{c<=x_{i}\}ln\frac{2(1-x_{i})}{1-c}$

Ancak, Dirac deltalarının devam etmesine izin verebilmesine rağmen, göstergeleri türetmek de kolay görünmüyor (yine de göstergeleri elde ederken, ürün türetmemiz gerektiğinden).

Yani, burada MLE'de engellendim. Herhangi bir fikir?

Üçgen dağılımına normal MLE prosedürünü uygulamak mümkün müdür?

Kesinlikle! Bununla başa çıkmak için bazı tuhaflıklar olsa da, bu durumda MLE'leri hesaplamak mümkündür.

Bununla birlikte, 'olağan prosedür' ile 'mantık olasılığının türevlerini alıp sıfıra eşitlediğinizi' kastediyorsanız, belki olmayabilir.

Burada MLE'deki tıkanıklığın kesin doğası nedir (eğer gerçekten varsa)?

Olasılığı çizmeyi denedin mi?

-

Sorunun açıklanmasından sonra takip:

Olasılığın çizilmesiyle ilgili soru, boş bir yorum değil, sorunun merkezinde yer aldı.

MLE bir türev almayı içerecektir

Hayır. MLE, bir işlevin argmax'ını bulmayı içerir. Bu sadece bir türevin sıfırlarını belirli koşullar altında bulmayı içerir ... burada tutmayan. En iyi ihtimalle, bunu başarabilirseniz birkaç yerel minimayı tespit edersiniz .

Benim daha önceki soru önerildiği gibi bakmak olasılığı en.

$y$

0.5067705 0.2345473 0.4121822 0.3780912 0.3085981 0.3867052 0.4177924
0.5009028 0.8420312 0.2588613

$c$

Gri çizgiler veri değerlerini işaretler (değerlerin daha iyi ayrılması için muhtemelen yeni bir örnek oluşturmuş olmalıydım). Siyah noktalar bu değerlerin olasılığını / log-olasılığını gösterir.

Daha fazla ayrıntı görmek için, olasılığın maksimuma yakın bir yakınlaştırma:

Olasılıktan da görebileceğiniz gibi, sipariş istatistiklerinin çoğunda, olasılık fonksiyonunun keskin 'köşeleri' vardır - türevin bulunmadığı noktalar (bu şaşırtıcı değildir - orijinal pdf'nin bir köşesi vardır ve pdfs ürünü). Bu (sipariş istatistiklerinde cipsler olması) üçgen dağılımda söz konusudur ve maksimum her zaman sipariş istatistiklerinden birinde gerçekleşir. (Cusps'un sipariş istatistiklerinde meydana gelmesi üçgen dağılımlara özgü değildir; örneğin Laplace yoğunluğunun bir köşesi vardır ve sonuç olarak merkezinin her sipariş istatistiğinde bir tane olması olasılığı vardır.)

Örneğimde olduğu gibi, maksimum dördüncü derece istatistiği olarak gerçekleşir, 0.3780912

$c$$c$

Yararlı bir referans Johan van Dorp ve Samuel Kotz'un " Beta'nın Ötesinde " bölüm 1'dir. Böyle olduğundan, Bölüm 1 kitap için ücretsiz 'örnek' bölüm - eğer indirebilirsiniz burada .

Üçgen dağılımla ilgili bu konuda Eddie Oliver'ın hoş bir küçük kağıdı var, bence Amerikan İstatistikçi'de (temelde aynı noktaları yapar; Sanırım bir Öğretmen Köşesinde). Bulmayı başarabilirsem referans olarak vereceğim.

Düzenleme: işte burada:

EH Oliver (1972), Maksimum Olasılık Tuhaflığı,
Amerikalı İstatistikçi , Cilt 26, Sayı 3, Haziran, s43-44

(yayıncı bağlantısı )

Kolayca ele alabiliyorsanız, bir göz atmaya değer, ancak Dorp ve Kotz bölümü ilgili sorunların çoğunu kapsıyor, bu yüzden çok önemli değil.

Yorumlarda soruyu takip ederek - köşeleri 'yumuşatmanın' bir yolunu bulsanız bile, yine de birden fazla yerel maksimum alabileceğinizi ele almanız gerekir:

Bununla birlikte, kolayca yazabileceğiniz çok iyi özelliklere (moment yönteminden daha iyi) sahip tahmin ediciler bulmak mümkün olabilir. Ancak (0,1) üzerindeki üçgen üzerindeki ML birkaç kod satırıdır.

Eğer çok büyük miktarda veri söz konusuysa, bu da ele alınabilir, ancak başka bir soru olurdu diye düşünüyorum. Örneğin, her veri noktası maksimum olamaz, bu da işi azaltır ve yapılabilecek başka tasarruflar da vardır.