Ampirik ortalamanın bir değeri aşması bekleniyor

, Diyelim ki, Rasgele değişkenlerin bir dizi göz önüne alındığında, için , ampirik ortalama kez beklenen sayıda sınırlamak çalışıyorum $X_i \in [0,1]$ $i = 1,2,...,n$ ,numuneleri çizmeye devam ettikçedeğerini aşacaktır, yani: $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ $c \geq 0$

T \overset{d e f}{=} \sum_{j = 1}^{n} P ({\frac{1}{j} \sum_{i = 1}^{j} X_{i} \geq c})

$\mathcal{T} \overset{def}{=} \sum_{j=1}^n \mathbb{P} \left(\left\{ \frac{1}{j}\sum_{i=1}^j X_i \geq c\right\}\right)$

Biz o varsayarsak bazıları için , kullanabileceğimiz Hoeffding en eşitsizliği gelmesi $c = a + \mathbb{E}[X]$ $a > 0$

\begin{aligned} T & \leq \sum_{j = 1}^{n} e^{- 2 j a^{2}} \\ = \frac{1 - e^{- 2 a^{2} n}}{e^{2 a^{2}} - 1} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{T} & \leq \sum_{j=1}^n e^{-2ja^2} \\ & = \frac{1 - e^{-2 a^2 n}}{e^{2 a^2}-1} \end{align}$

Hangisi güzel görünüyor (belki) ama aslında oldukça gevşek bir sınır, bu değeri sınırlamanın daha iyi yolları var mı? Ben farklı olaylar (her ) açıkça bağımsız olmadığı için bir yol olabilir bekliyoruz , bu bağımlılığı istismar için herhangi bir yol farkında değilim. Ayrıca, ortalamadan daha büyük olduğu kısıtlamasını kaldırmak iyi olur . $j$ $c$

$c$

\begin{aligned} T & \leq \sum_{j = 1}^{n} \frac{\frac{1}{j} E [X]}{c} \\ = \frac{E [X] H_{n}}{c} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{T} & \leq \sum_{j=1}^n \frac{\frac{1}{j}\mathbb{E}[X]}{c} \\ & = \frac{\mathbb{E}[X]H_n}{c} \end{align}$

T

$\mathcal{T}$

c \leq E [X]

$c \leq \mathbb{E}[X]$

mathematical-statistics expected-value bounds

— fairidox
kaynak

T

$\mathcal{T}$

j \times

$j\times$

c

$c$

c \leq 0

$c\le 0$

T = n (n + 1) / 2

$\mathcal{T} = n(n+1)/2$

@whuber oh, doğru, iyi bir nokta teşekkürler, yukarıda düzelttim.

— fairidox

Üst sınırınızı değiştirdiğinizi fark ettim. Şimdi negatif gibi görünüyor ;-).

— whuber

j

$j$

$\bar x_j$ $F_j$

T \overset{d e f}{=} \sum_{j = 1}^{n} (1 - F_{j} (c)) = n - \sum_{j = 1}^{n} F_{j} (c)

$\mathcal{T} \overset{def}{=} \sum_{j=1}^n \left(1-F_j(c)\right) = n- \sum_{j=1}^n F_j(c)$

$m$ $\hat G$

T = n - \sum_{j = 1}^{m} F_{j} (c) - \sum_{j = m + 1}^{n} {\hat{G}}_{j} (c) < n - \sum_{j = m + 1}^{n} {\hat{G}}_{j} (c)

$\mathcal{T} = n- \sum_{j=1}^m F_j(c)-\sum_{j=m+1}^n \hat G_j(c) < n-\sum_{j=m+1}^n \hat G_j(c)$

$\hat G_j(c)$

{\hat{G}}_{j} (c) = 1 - Φ (\frac{\sqrt{j}}{σ} (μ - c))

$\hat G_j(c) = 1- \Phi\left(\frac{\sqrt j}{\sigma}(\mu-c)\right)$

Φ

$\Phi$

σ

$\sigma$

μ

$\mu$

T < m + \sum_{j = m + 1}^{n} Φ (\frac{\sqrt{j}}{σ} (- a))

$\mathcal{T} < m+\sum_{j=m+1}^n \Phi\left(\frac{\sqrt j}{\sigma}(-a)\right)$

$m= 30$ $[0,1]$ $\sigma = \sqrt \frac{1}{12}$ $\mu = \frac 12$ $a=0.05$ $n=34$ $n>30$ $n=100$ $78.5$ $36.2$ $\approx 199.5$ $\approx 38.5$ $a$ $a=0.1$ $49.5$ $30.5$
$n\rightarrow \infty$

H_{b} \to \frac{1}{e^{2 a^{2}} - 1}

$H_b\rightarrow \frac{1}{e^{2 a^2}-1}$

A_{b} \to m

$A_b \rightarrow m$

$a$ $H_b$ $A_b$

— Alecos Papadopoulos
kaynak

" (yani, örneklem ortalamasının dağılımında normal yaklaşımı elde etmek için varsayılan örnek boyutu eşiğinden daha fazla olmamak gerekir) " burada neden bahsediyorsunuz?

— Glen_b-Monica

\approx 30.5

$\approx 30.5$

m + 0.5

$m + 0.5$

\sum_{j = m + 1}^{n} Φ (\frac{\sqrt{j}}{σ} (- a))

$\sum_{j=m+1}^n \Phi\left(\frac{\sqrt j}{\sigma}(-a)\right)$

Eğer sürece bu tutar hangi şartlar altında devlet , tüm genel anlamda o şeyi Pratik bir kural çağıran kaçının. 30 rakamı tamamen keyfi (genellikle çok zayıf veya çok güçlü) ve 30 da sizin durumunuzda ortaya çıkıyor, basit tesadüf olduğuna inanıyorum.

— Glen_b

@Glen_b "30" tesadüf bile değildi - sadece sayısal bir örnek vermek için kullandım. Konuya itirazım yok, "başparmak kuralları" nı sevmiyorum (özellikle şüpheli olduklarında). Cevabımda bazı değişiklikler yaptım. Giriş için teşekkürler.

— Alecos Papadopoulos

@Glen_b Muhtemelen sabit olmayan (yani uzun) bellek için teşekkürler!

— Alecos Papadopoulos