Limitlerle sınırlanmış 0 ortalama ile 2D standart sapma nasıl hesaplanır

Benim sorunum şöyledir: Bir kerede 40 top düşürüyorum, yerden birkaç metre. Toplar yuvarlanıyor ve dinleniyor. Bilgisayarlı görmeyi kullanarak XY düzlemindeki kütle merkezini hesaplıyorum. Sadece kütle merkezinden her bir topa, basit geometri kullanılarak hesaplanan mesafeyle ilgileniyorum. Şimdi, merkezden tek taraflı standart sapmayı bilmek istiyorum. Böylece, belli sayıda topun bir std yarıçapı içinde olduğunu, 2 * std yarıçapı içinde daha fazla topun vb. Tek taraflı standart sapmayı nasıl hesaplayabilirim? Normal bir yaklaşım, topların yarısının 0 ortalamanın "negatif tarafında" olduğunu belirtir. Bu, elbette bu deneyde bir anlam ifade etmiyor. Topların standart dağılıma uyduğundan emin olmam gerekir mi? Herhangi bir yardım için teşekkürler.

Merkezde 2B dağılım miktarını karakterize etmek için, sadece (kök) ortalama kare mesafesini,

$$\hat\sigma=\text{RMS} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_i\left((x_i - \bar{x})^2 + (y_i - \bar{y})^2\right)}.$$

Bu formülde, $(x_i, y_i), i=1, 2, \ldots, n$ nokta koordinatlarıdır ve onların sentroidleri (ortalamalar noktası) $(\bar{x}, \bar{y}).$

---

Soru mesafelerin dağılımını soruyor . Toplar izotropik iki değişkenli olduğunda, sentroidleri etrafında normal dağılım - standart ve fiziksel olarak makul bir varsayım - kare mesafe, iki serbestlik derecesine sahip (her bir koordinat için bir tane) ki-kare dağılımıyla orantılıdır. Bu, bağımsız standart normal değişkenlerin karelerinin toplamı olarak ki kare dağılımının bir tanımının doğrudan bir sonucudur, çünkü

$$x_i - \bar{x} = \frac{n-1}{n}x_i - \sum_{j\ne i}\frac{1}{n}x_j$$ bağımsız normal değişkenlerin beklenti ile doğrusal bir kombinasyonudur. $$\mathbb{E}[x_i - \bar{x}] = \frac{n-1}{n}\mathbb{E}[x_i] -\sum_{j\ne i}\frac{1}{n}\mathbb{E}[x_j] = 0.$$ Ortak varyansının yazılması $x_i$ gibi $\sigma^2$, $$\mathbb{E}[\left(x_i -\bar{x}\right)^2]=\text{Var}(x_i - \bar{x}) = \left(\frac{n-1}{n}\right)^2\text{Var}(x_i) + \sum_{j\ne i}\left(\frac{1}{n}\right)^2\text{Var}(x_j) = \frac{n-1}{n}\sigma^2.$$ Anizotropinin varsayımı, $y_j$ ile aynı dağılıma sahip $x_i$ ve onlardan bağımsız olduklarından, $(y_j - \bar{y})^2$. Bu orantısallık sabitini oluşturur: mesafelerin kareleri, iki serbestlik derecesine sahip,$\frac{n-1}{n}\sigma^2$.

Bu denklemlerin en ciddi testi durum $n=2$, o zaman kesir $\frac{n-1}{n}$ en çok farklı $1$. Deneyi simüle ederek, hem$n=2$ ve $n=40$ve kareli mesafelerin histogramlarını ölçeklendirilmiş ki-kare dağılımları (kırmızı renkte) ile çizerek, bu teoriyi doğrulayabiliriz.

Her satır aynı verileri gösterir: solda x ekseni logaritmiktir; sağda gerçek kare mesafesini gösterir. Gerçek değeri$\sigma$ çünkü bu simülasyonlar $1$.

Bu sonuçlar aşağıdakilerle 100.000 yineleme içindir: $n=2$ ve 50.000 yineleme $n=40$. Histogramlar ve ki-kare yoğunlukları arasındaki anlaşmalar mükemmeldir.

---

olmasına rağmen $\sigma^2$bilinmiyor, çeşitli şekillerde tahmin edilebilir. Örneğin, ortalama kare mesafesi$\frac{n-1}{n}\sigma^2$ ortalamaları $\chi^2_2$, hangisi $2$. İle$n=40$, örneğin, tahmin $\sigma^2$ gibi $\frac{40}{39}/2$ortalama kare mesafesinin çarpımı. Böylece bir tahmin$\sigma$ olabilir $\sqrt{40/78}$RMS mesafesinin çarpımı. Değerlerini kullanma$\chi^2_2$ daha sonra şunu söyleyebiliriz:

• Mesafelerin yaklaşık% 39'u $\sqrt{39/40}\hat\sigma$, çünkü% 39 $\chi^2_2$ dağıtım daha az $1$.

• Mesafelerin yaklaşık% 78'i $\sqrt{3}$ zamanlar $\sqrt{39/40}\hat\sigma$, çünkü% 78 $\chi^2_2$ dağıtım daha az $3$.

Ve böylece, yerine koymak istediğiniz herhangi bir çoklu için $1$ veya $3$. Bir kontrol olarak, için simülasyonlarda$n=40$ önceden çizilmişse, kare mesafelerin gerçek oranları $1, 2, \ldots, 10$ zamanlar $\frac{n-1}{n}\hat\sigma^2$ idi

0.3932 0.6320 0.7767 0.8647 0.9178 0.9504 0.9700 0.9818 0.9890 0.9933

Teorik oranlar

0.3935 0.6321 0.7769 0.8647 0.9179 0.9502 0.9698 0.9817 0.9889 0.9933

Anlaşma mükemmel.

---

İşte Ryürütmek ve simülasyonları analiz kodu.

f <- function(n, n.iter, x.min=0, x.max=Inf, plot=TRUE) {
  #
  # Generate `n.iter` experiments in which `n` locations are generated using
  # standard normal variates for their coordinates.
  #
  xy <- array(rnorm(n*2*n.iter), c(n.iter,2,n))
  #
  # Compute the squared distances to the centers for each experiment.
  #
  xy.center <- apply(xy, c(1,2), mean)
  xy.distances2 <- apply(xy-array(xy.center, c(n.iter,2,n)), c(1,3), 
                         function(z) sum(z^2))
  #
  # Optionally plot histograms.
  #
  if(plot) {
    xy.plot <- xy.distances2[xy.distances2 >= x.min & xy.distances2 <= x.max]

    hist(log(xy.plot), prob=TRUE, breaks=30,
         main=paste("Histogram of log squared distance, n=", n),
         xlab="Log squared distance")
    curve(dchisq(n/(n-1) * exp(x), df=2) * exp(x) * n/(n-1), 
          from=log(min(xy.plot)), to=log(max(xy.plot)), 
          n=513, add=TRUE, col="Red", lwd=2)

    hist(xy.plot, prob=TRUE, breaks=30,
         main=paste("Histogram of squared distance, n=", n),
         xlab="Squared distance")
    curve(n/(n-1) * dchisq(n/(n-1) * x, df=2), 
          from=min(xy.plot), to=max(xy.plot), 
          n=513, add=TRUE, col="Red", lwd=2)  
  }
  return(xy.distances2)
}
#
# Plot the histograms and compare to scaled chi-squared distributions.
#
par(mfrow=c(2,2))
set.seed(17)
xy.distances2 <- f(2, 10^5, exp(-6), 6)
xy.distances2 <- f(n <- 40, n.iter <- 50000, exp(-6), 12)
#
# Compare the last simulation to cumulative chi-squared distributions.
#
sigma.hat <- sqrt((n / (2*(n-1)) * mean(xy.distances2)))
print(cumsum(tabulate(cut(xy.distances2, 
                    (0:10) * (n-1)/n * sigma.hat^2))) / (n*n.iter), digits=4)
print(pchisq(1:10, df=2), digits=4)

Sanırım bazı şeyler biraz karıştı. Mesafenin negatif olamayacağı doğrudur, ancak bu standart sapmanın hesaplanmasını etkilemez. Mesafelerin dağılımı tam olarak normal olamayacak olsa da, yine de yakın olabilir; ama normalden uzak olsa bile, hala standart bir sapma var.

Ayrıca, "tek taraflı" standart sapma yoktur - hipotez testleri (tek taraflı veya iki taraflı olabilir) düşünüyor olabilirsiniz. Başlığınızda, ortalama 0 olduğunu söylüyorsunuz, ancak ortalama mesafe 0 olmayacak (toplar 40 top yüksekliğinde bir yığının içinde olmadıkça!) Ve sınırlar olduğunu söylüyorsunuz - sınırlar olabilir, eğer toplar düşürülürse o zaman merkezden en yakın duvara olan mesafeden daha uzak olamazlar. Ancak bazı toplar duvara çarpmadığı sürece, bu bir şeyleri etkilemez.

Böylece, 40 mesafeye sahip olduğunuzda standart sapmaları (ve ortalama, medyan, çeyrekler arası aralık vb.) Standart yöntemler kullanarak hesaplarsınız. Ayrıca kabaca normal olarak dağıtılıp dağıtılmadığını (ilgiliyse) görmek için mesafenin çizimlerini de yapabilirsiniz (örn. Kantil normal grafik, kutu grafik).

Bu sorulduğundan beri bir süre geçti, ancak sorunun cevabı, bunun Rayleigh dağılımı olarak adlandırılan 2D dağıtım olduğu. Burada, Rayleigh şekil faktörünün hem X hem de Y koordinatlarının standart sapmalarına eşit olduğu varsayımıdır. Uygulamada, şekil faktörünün değeri, X ve Y'nin standart sapmasının birleştirilmiş ortalamasından hesaplanacaktır.

ile başlayan

$$X \sim \mathcal{N}(\mu_x,\sigma_x^2)$$ , ve $$Y \sim \mathcal{N}(\mu_y,\sigma_y^2)$$

iki değişkenli normal dağılım kullanır.

$$f(x,y) = \frac{1}{2 \pi \sigma_x \sigma_y \sqrt{1-\rho^2}} \exp\left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[ \frac{(x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2} + \frac{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2} - \frac{2\rho(x-\mu_x)(y-\mu_y)}{\sigma_x \sigma_y} \right] \right)$$

noktaya çevir

$$(\mu_x, \mu_y)$$ ve varsay $$\rho = 0$$ .

Ayrıca varsayalım ki

$$\sigma_x^2 = \sigma_y^2$$ bu yüzden ikisini de $$\sigma^2$$

daha sonra 2-B dağılımı yarıçap etrafındaki nokta olarak ifade edilir

$$(\mu_x, \mu_y)$$ Rayleigh dağılımı olarak bilinir .

$$PDF(r; \sigma) = \frac{r}{\sigma^2 } \exp\left( - \frac{r^2}{2\sigma^2} \right)$$ nerede $$\sigma = \sigma_x = \sigma_y$$ ve $$r_i = \sqrt{(x_i - \mu_x)^2 + (y_i - \mu_y)^2}$$

$$CDF(r; \sigma) = 1 - \exp\left( - \frac{r^2}{2\sigma^2} \right)$$

Tabii ki bu sürekli dağıtım içindir. Sadece 40 topun bir örneği için kesin bir çözüm yoktur. 40 topluk bir örnekle Monte Carlo Analizi yapmanız gerekir. Taylor, MS & Grubbs, Frank E. (1975). "Aşırı Dağılım için Yaklaşık Olasılık Dağılımları" , Chi dağılımı için tahminler buldu ve bunun için log-normal bir numunenin dağılımına uyacaktır.

---

Düzenleme - Wuber'ın şüphesine rağmen, hesapladığı teorik oranlar şunlardır:

0.3935 0.6321 0.7769 0.8647 0.9179 0.9502 0.9698 0.9817 0.9889 0.9933

CDF işlevinden r (sigma cinsinden) kümülatif Sigma değerleri aşağıdakilere eşittir:

0-1, 0-2, 0-3, ..., 0-10

şunlardır:

0.3935, 0.6321, 0.7769, 0.8647, 0.9179, 0.9502, 0.9698, 0.9817, 0.9889, 0.9933

Hem normal hem de negatif değerler olan normal dağılım, bu normal dağılımın yarıçap veya "merkezden uzaklık" için olduğunu fark ederseniz mantıklıdır. Diğer değişken olan açı rastgele ve 0-pi'den eşit olarak dağılmış