Tasarım matrisinde “tasarım” ın anlamı?

Doğrusal regresyonda, , neden tasarım matrisi olarak adlandırılır? Can tasarlanmış veya sanatta olduğu gibi bir dereceye kadar keyfi yapılabilir?$Y= X\beta$$X$$X$

@ NeverKnowsBest'in yanıtıyla ilgili bir örnek vermek için, faktörlü bir deneyde, her biri 2 seviyeli kategorik değişkenler olarak kabul edilen 3 faktör olduğunu ve faktör seviyelerinin her olası kombinasyonunun her çoğaltmada test edildiğini düşünün . Deney sadece bir kez (replikasyon olmadan) uygulanmışsa, bu tasarım çalışma gerektirir . İşlemler aşağıdaki 8x3 matrisi ile tanımlanabilir: burada satırlar çalıştırmayı ve sütunlar faktörler: $2^3$$2^3=8$

$$\left[\begin{array}{rr} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]$$ $$\left[\begin{array}{rr} A & B & C \\ \end{array} \right].$$ (İlk sütun, faktör A, ikinci sütun B ve üçüncü sütun C seviyesini temsil eder). Buna Tasarım Matrisi denir çünkü deneyin tasarımını tanımlar. İlk çalışma tüm faktörlerin “düşük” seviyesinde toplanır, ikinci çalışma faktör A'nın “yüksek” seviyesinde ve B ve C faktörlerinin “düşük” seviyelerinde toplanır.

AB & AC & BC & ABC \\ \ end {dizi} \ sağ]. İki matris ilişkili olsa da, tasarım matrisi verilerin nasıl toplandığını açıklarken, model matrisi deneyin sonuçlarını analiz etmede kullanılır.

$$\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]$$ $$\left[\begin{array}{rr} I & A & B & C & AB & AC & BC & ABC \\ \end{array} \right].$$

Atıflar

Montgomery, D. (2009). Deney Tasarımı ve Analizi, 7. Baskı. John Wiley ve Oğulları A.Ş.

Tasarlanan deneylerde, genellikle denemeyi gerçekleştirdiğimiz faktörlerin seviyelerini içeren tasarım matrisi ve model matrisi (ayrıca olarak da yazılır, ancak tasarım matrisinin bir fonksiyonu olarak) (kesişme terimini temsil eden) tüm 1'lerin bir sütunu ve tasarım matrisinin sütunlarının ürünleri ve güçleri (etkileşim ve polinom modeli terimleri gibi şeyleri temsil eden) gibi şeyler içerir. Ben bunu içinde modeli matris.$\mathbf{X}$$\mathbf{X}$$\mathbf{X}$$\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta}$

Deney tasarımı, veri toplanmadan önce olduğu için tasarım matrisinin ve model matrisinin nasıl oluşturulacağına odaklanır. Veriler zaten toplanmışsa, tasarım taş olarak ayarlanır, ancak yine de model matrisini değiştirebilirsiniz. Bazen tasarlanmış bir deney, tasarım matrisinde , kontrol edilemeyen ancak gözlemleyebileceğiniz ortak değişkenler adı verilen belirli sabit sütunlara sahip olacaktır .

Model ve tasarım seçiminize bağlı olarak olabilecek bazı şeyler vardır ... belirli parametrelerin tahmin edilmesi zorlaşabilir (tahmin edicinin daha büyük varyansları) veya belirli parametreleri hiç tahmin edemeyebilirsiniz. Uygun bir modele karar vermenin bazı sanat unsurları olduğunu söyleyebilirim ve kesinlikle deney tasarlamak için bir sanat var.

Tasarım matrisi olarak adlandırılır, çünkü matrisinin sütunları modelin tasarımına dayanır. Model karar verildiği anda tasarım matrisine (temelde tahmin etmeye çalıştığınız her için bir sütun) sahip olduğu için keyfi olarak oluşturulabileceğine inanmıyorum . Bununla birlikte, model oluşturma bir sanat olarak kabul edilebildiğinden, tasarım matrisini inşa edebileceğimi düşünüyorum.$X$$X$$X$$\beta$

$X$ sadece verilerinizdir (eksi yanıt değişkeni). Tasarım matrisi olarak adlandırıldığına inanıyorum çünkü modelinizin "tasarımını" (eğitim yoluyla) tanımlar.

X, sanatta olduğu gibi bir dereceye kadar keyfi olarak tasarlanabilir veya inşa edilebilir mi?

Temel olarak bu soru, cevabın açıkça evet olduğu "üretilmiş veriler üzerinde eğitilmiş bir model inşa edebilir misiniz?" Örneğin, önceden tanımlanmış bir eğime ve kesişmeye sahip bir model verecek keyfi bir tasarım matrisi (gerçekten de tasarım vektörü) oluşturmanın bir yolu:

design_mat=function(b, a){
  X = runif(100)
  Y = a*X + b
  data.frame(X,Y)
}

df = design_mat(-5, 12.3)

(lm(Y~X, data=df))

Call:
lm(formula = Y ~ X, data = df)

Coefficients:
(Intercept)            X  
       -5.0         12.3  

Örneğimde, örnekleme amacıyla rastgele tasarım verilerinden gelen yanıtı "yapılandırdım", ancak tasarım matrisini kullanarak rastgele bir yanıttan kolayca oluşturmuş olabilirsiniz .$X = \frac{Y-b}{a}$