Eşit dağıtılmış ve ilişkilendirilmiş rasgele sayı çiftleri üret

Belirli korelasyon ile rastgele sayılar çiftleri oluşturmak istiyorum. Bununla birlikte, iki normal değişkenin doğrusal bir kombinasyonunu kullanmaya ilişkin olağan yaklaşım burada geçerli değildir, çünkü tekdüze değişkenlerin doğrusal bir kombinasyonu artık tekdüze dağıtılmış bir değişken değildir. Tekdüze olmak için iki değişkene ihtiyacım var.

Belirli bir korelasyon ile tekdüze değişken çiftlerinin nasıl üretileceği hakkında bir fikrin var mı?

Herhangi bir marjinal dağılım ile ilişkili rasgele değişkenler oluşturmak için evrensel bir yöntem farkında değilim. Bu nedenle, belirli bir (Pearson) korelasyonu ile düzgün dağılmış rastgele değişken çiftleri oluşturmak için geçici bir yöntem önereceğim. Genellik kaybı olmadan, istenen marjinal dağılımın standart üniform olduğunu varsayıyorum (yani destek ).$[0, 1]$

Önerilen yaklaşım aşağıdakilere dayanmaktadır:
a) İlgili dağıtım fonksiyonları olan standart tek tip ve rasgele değişkenleri için$U_1$$U_2$ ve F 2 , elimizdeki F ı ( u ı ) = u ı için, i = 1 , 2 . Böylece, tanımı gereğiSpearman'ın rhodeğeri ρ S ( U 1 , U 2 ) = c o r r ( F 1$F_1$$F_2$$F_i(U_i) = U_i$$i = 1, 2$ Bu nedenle, Spearman'ın rho ve Pearson korelasyon katsayısı eşittir (ancak örnek versiyonlar farklı olabilir).

b) Eğer , sürekli kenar ile rasgele değişkenlerdir Gauss bağ ile (Pearson) korelasyon katsayısı p'ye ve ardından Spearman rho olan ρ S ( X 1 , x 2 ) = $X_1, X_2$$\rho$ Bu, Spearman'ın rho'sunun istenen değerine sahip rastgele değişkenler oluşturmayı kolaylaştırır.

Yaklaşım, Spearman'ın rho'nun homojen rasgele değişkenler için istenen korelasyona karşılık geleceği şekilde, uygun bir korelasyon katsayısı ile Gauss kopuladan veri üretmektir .$\rho$

Simülasyon algoritması
Let korelasyon istenilen düzeyde temsil etmektedir, ve n, çiftlerinin sayısı elde edilecek. Algoritma:$r$$n$

1. hesaplayın .$\rho = 2\sin (r \pi/6)$
2. Gauss kopula'sından bir çift rasgele değişken oluşturun (örneğin, bu yaklaşımla )
3. $n$

$r = 0.6$$n = 500$

## Initialization and parameters 
set.seed(123)
r <- 0.6                            # Target (Spearman) correlation
n <- 500                            # Number of samples

## Functions
gen.gauss.cop <- function(r, n){
    rho <- 2 * sin(r * pi/6)        # Pearson correlation
    P <- toeplitz(c(1, rho))        # Correlation matrix
    d <- nrow(P)                    # Dimension
    ## Generate sample
    U <- pnorm(matrix(rnorm(n*d), ncol = d) %*% chol(P))
    return(U)
}

## Data generation and visualization
U <- gen.gauss.cop(r = r, n = n)
pairs(U, diag.panel = function(x){
          h <- hist(x, plot = FALSE)
          rect(head(h$breaks, -1), 0, tail(h$breaks, -1), h$counts/max(h$counts))})

$U_1$$U_2$$U_1$$U_2$

$r$$r$

cor(U)[1, 2]
# [1] 0.5337697

gen.gauss.copFonksiyonun, sadece daha büyük bir korelasyon matrisi belirterek ikiden fazla değişkenle çalışması gerektiğini unutmayın .

$r= -0.5, 0.1, 0.6$$n$

## Simulation
set.seed(921)
r <- 0.6                                                # Target correlation
n <- c(10, 50, 100, 500, 1000, 5000); names(n) <- n     # Number of samples
S <- 1000                                               # Number of simulations

res <- sapply(n,
              function(n, r, S){
                   replicate(S, cor(gen.gauss.cop(r, n))[1, 2])
               }, 
               r = r, S = S)
boxplot(res, xlab = "Sample size", ylab = "Correlation")
abline(h = r, col = "red")

$u_1$$U(0,1)$$u_1$$w_1$$U(0,1)$$I = 1$$u_1$$w_2$$U(0,1)$$I = 0$$u_1$$U(0,1)$$u_2$

$E(u_1 u_2) = E[I w_1 + (1-I) w_2][I w_1 + (1-I) w_3]$

$I(I-1)=0$$I^2=I$$(1-I)^2=(1-I)$$I$$0$$1$$I$$w$

$E(u_1 u_2) = E(I)E(w_1^2) + E(1-I)E(w_2)E(w_3)$ $=pE(w_1^2)+(1-p)/4$

$V(w_1)=1/12$$E(w_1^2)=1/3$$E(u_1 u_2) = p/12 + 1/4$$cov(u_1 u_2) = p/12$$V(u_1)=V(u_2)=1/12$$cor(u_1, u_2) = p$

$(u_1, u_2) = Iw_1 + (1-I) (w_2, w_3)$$w_1, w_2,$$w_3$$U(0,1)$$I$$p$$u_1$$u_2$$U(0,1)$$p$$k$

$(u_1, u_2) = I(w_1, 1-w_1) + (1-I)(w_2, w_3)$$-p$