Üstel rassal değişkenler için ulaşılabilir korelasyonlar

Katlanarak dağıtılmış rastgele değişkenlerin çifti için ulaşılabilir korelasyonlar aralığı ne $X_1 \sim {\rm Exp}(\lambda_1)$ ve , oran vardır parametreler?λ 1 , λ 2 > $X_2 \sim {\rm Exp}(\lambda_2)$$\lambda_1, \lambda_2 > 0$

Let (sırasıyla. ) alt ifade (resp. Üst) arasında ulaşılabilir korelasyon bağlı ve . Sınır ve zaman ulaşılır ve (bakınız sırasıyla countermonotonic ve comonotonic olan burada ).$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$

Alt sınır
Alt sınır belirlemek için bir çift karşı -otonik üstel değişkenler oluşturur ve korelasyonlarını hesaplarız.$\rho_{\min}$

Burada sözü edilen gerekli ve yeterli koşul ve olasılık integral dönüşümü , rastgele değişkenler ve karşı- şekilde yapılandırılması için uygun bir yol sağlar . Üstel dağılım fonksiyonunun olduğunu hatırlayın , bu nedenle kantil fonksiyonu .X 2 F ( x ) = 1 - exp ( - λ x ) F - 1 ( q ) = - λ - 1 log ( 1 - q $X_1$$X_2$
$F(x) = 1 - \exp(-\lambda x)$$F^{-1}(q) = -\lambda^{-1}\log (1-q)$

Let homojen olarak dağıtılmış rastgele değişkenler, daha sonra olmak da eşit rastgele değişkenler dağıtılır ve , sırasıyla ve oranıyla üstel dağılıma sahiptir. Ayrıca, ve ve ve sırasıyla artıyor ve azalıyor.1 - U X 1 = - λ - 1 1 log ( 1 - u ) $U\sim U(0, 1)$$1-U$λ 1 λ 2 X 1 = h 1 ( U ) X 2 = h 2 ( U ) h 1 ( x ) = - λ - 1 1 log ( 1 - x ) h 2 ( x ) = - λ -

$$X_1 = -\lambda_1^{-1}\log (1-U), \quad \text{and } X_2 = -\lambda_2^{-1}\log (U)$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$X_1 = h_1(U)$$X_2 = h_2(U)$$h_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$h_2(x)=-\lambda_1^{-1}\log (x)$

Şimdi ve korelasyonunu hesaplayalım . Üstel dağılımın özelliklerine göre , , ve . Ayrıca, buradaX 2 E ( X 1 ) = λ - 1 1 E ( X 2 ) = λ - 1 2 v a r ( X 1 ) = λ - 2 1 v a r ( X 2 ) = λ - 2 2 E ( X 1 X 2$X_1$$X_2$${\rm E}(X_1) = \lambda_1^{-1}$${\rm E}(X_2) = \lambda_2^{-1}$${\rm var}(X_1) = \lambda_1^{-2}$${\rm var}(X_2) = \lambda_2^{-2}$

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) f_U(u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \left (2 - \frac{\pi^2}{6} \right ), \end{align}$$ $f_U(u) \equiv 1$standart düzgün dağılımın yoğunluk fonksiyonudur. Son eşitlik için WolframAlpha'ya güvendim .

Böylece, Alt sınırın ve oranlarına bağlı olmadığını ve her iki kenar eşit olsa bile korelasyonun asla ulaşmadığını unutmayın (yani, ).

$$\begin{align} \rho_{\min} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} (2 - \pi^2/6 ) - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 - \pi^2/6 \approx −0.645. \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$-1$$\lambda_1 = \lambda_2$

Üst sınır
Üst sınır için bir çift komonotonik üstel değişken ile benzer bir yaklaşım izliyoruz. Şimdi ve burada ve , ikisi de artan işlevlerdir. Bu nedenle, bu rastgele değişkenler ve her ikisi de üstel olarak ve oranlarıyla .$\rho_{\max}$$X_1 = g_1(U)$$X_2 = g_2(U)$$g_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$g_2(x)=-\lambda_2^{-1}\log (1-x)$$\lambda_1$$\lambda_2$

Biz ve böylece Alt olduğu gibi, üst sınır da ve oranlarına bağlı değildir .

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (1-U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \left\{\log (1-u) \right\}^2 {\rm d}u \\ &= 2 \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} , \end{align}$$ $$\begin{align} \rho_{\max} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ 2\lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 . \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$