Log-normal rasgele değişkenlerin korelasyonu


16

Verilen X1 ve X2 korelasyon katsayısı ile normal rasgele değişkenler ρ nasıl lognormal rasgele değişkenler aşağıdaki arasındaki korelasyonu bulurum, Y1 ve Y2 ?

Y1=a1exp(μ1T+TX1)

Y2=a2exp(μ2T+TX2)

Şimdi, eğer X1=σ1Z1 ve X2=σ1Z2 , burada Z1 veZ2 standart normalleri lineer transformasyon özelliği vardır, elde ederiz:

Y1=a1exp(μ1T+Tσ1Z1)

Y2=a2exp(μ2T+Tσ2(ρZ1+1ρ2Z2)

Şimdi, buradan ve Y 2 arasındaki korelasyonu hesaplamak için nasıl gidilir ?Y1Y2


@ user862, ipucu: iki değişkenli normalin karakteristik işlevini kullanın.
mpiktas

2
Bkz. Denklem (11), stuart.iit.edu/shared/shared_stuartfaculty/whitepapers/… (ancak korkunç dizgiye dikkat edin).
whuber

Yanıtlar:


19

I varsayalım ve X, 2 ~ , N ( 0 , σ 2 2 ) . Göstermek Z i = exp (X1N(0,σ12)X2N(0,σ22). SonraZi=exp(TXi)

, böylece, Zıolanlog-normal. Böylece

log(Zi)N(0,Tσi2)
Zi

ve E

EZi=exp(Tσi22)var(Zi)=(exp(Tσi2)1)exp(Tσi2)
EYi=aiexp(μiT)EZivar(Yi)=ai2exp(2μiT)var(Zi)

Sonra formül kullanılarak çok değişkenli normal mgf için elimizdeki

EY1Y2=a1a2exp((μ1+μ2)T)Eexp(TX1+TX2)=a1a2exp((μ1+μ2)T)exp(12T(σ12+2ρσ1σ2+σ22))
So
cov(Y1,Y2)=EY1Y2EY1EY2=a1a2exp((μ1+μ2)T)exp(T2(σ12+σ22))(exp(ρσ1σ2T)1)

Now the correlation of Y1 and Y2 is covariance divided by square roots of variances:

ρY1Y2=exp(ρσ1σ2T)1(exp(σ12T)1)(exp(σ22T)1)

Note that as long as the approximation ex1+x is valid on the final formula found above one has ρY1Y2ρ.
danbarros
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.