Üstel ağırlıklı hareketli çarpıklık / basıklık

Üstel ağırlıklı hareketli ortalamaları ve bir işlemin standart sapmalarını hesaplamak için iyi bilinen çevrimiçi formüller vardır $(x_n)_{n=0,1,2,\dots}$ . Ortalama olarak,

$\mu_n = (1-\alpha) \mu_{n-1} + \alpha x_n$

ve varyans için

$\sigma_n^2 = (1-\alpha) \sigma_{n-1}^2 + \alpha(x_n - \mu_{n-1})(x_n - \mu_n)$

standart sapmayı hesaplayabilirsiniz.

Üstel ağırlıklı üçüncü ve dördüncü merkezi anların çevrimiçi hesaplanması için benzer formüller var mı? Benim sezgim şu formu almaları gerektiğidir

$M_{3,n} = (1-\alpha) M_{3,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1})$

ve

$M_{4,n} = (1-\alpha) M_{4,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1},M_{3,n},M_{3,n-1})$

ve kurtosis k n = M 4 , n / σ 4 n çarpıklığını hesaplayabiliyordunuz, ancak işlevler için basit, kapalı form ifadesi bulamadım f ve $\gamma_n = M_{3,n} / \sigma_n^3$$k_n = M_{4,n}/\sigma_n^4$$f$$g$ .

---

Düzenle: Daha fazla bilgi. Hareketli varyans için güncelleme formülü, üzerinden hesaplanabilen üstel ağırlıklı hareketli kovaryans için formülün özel bir halidir

$C_n(x,y) = (1-\alpha) C_{n-1}(x,y) + \alpha (x_n - \bar{x}_n) (y_n - \bar{y}_{n-1})$

burada ve ˉ y n , x ve y'nin üstel hareket araçlarıdır . X ve y arasındaki asimetri yanıltıcıdır ve y - ˉ y n = ( 1 - α ) ( y - ˉ y n - 1 ) olduğunu fark ettiğinizde kaybolur .$\bar{x}_n$$\bar{y}_n$$x$$y$$x$$y$$y-\bar{y}_n = (1-\alpha) (y-\bar{y}_{n-1})$

Bunun gibi formüller, merkezi anı bir beklenti olarak yazarak hesaplanabilir , burada beklenti içindeki ağırlıkların üstel olduğu anlaşılır ve herhangi bir f ( x ) fonksiyonu için$E_n(\cdot)$$f(x)$

$E_n(f(x)) = \alpha f(x_n) + (1-\alpha) E_{n-1}(f(x))$

Bu ilişkiyi kullanarak ortalama ve varyans için güncelleme formüllerini türetmek kolaydır, ancak üçüncü ve dördüncü merkezi anlar için daha zor olduğu kanıtlanmıştır.

Formüller açıktır, ancak soruda belirtildiği kadar basit değildir.

Let önceki EWMA olabilir ve izin X = X , n , bağımsız olarak kabul edilir olan Y . Tarafından tanımı , yeni ağırlıklı ortalama Z = α x + ( 1 - α ) Y, sabit bir değer için a . Gösterim kolaylığı için β = 1 - α olarak ayarlayın . Let F rastgele değişkenin CDF ve ifade φ göstermektedirler onun moment kavramı , böylece,$Y$$X = x_n$$Y$$Z = \alpha X + (1 - \alpha)Y$$\alpha$$\beta = 1-\alpha$$F$$\phi$

$$\phi_X(t) = \mathbb{E}_F[\exp(t X)] = \int_\mathbb{R}{\exp(t x) dF_X(x)}.$$

İle Kendall ve Stuart , let , rastgele değişkenZiçinksırasının merkezi olmayan momentini gösterir; yani,$\mu_k^{'}(Z)$$k$$Z$. Çarpıklıkvebasıklıkaçısından eksprese edilebilmesi$\mu_k^{'}(Z) = \mathbb{E}[Z^k]$içink=1,2,3,4; örneğin, çarpıklık olarak tanımlanırμ3/μ 3 / 2$\mu_k^{'}$$k = 1,2,3,4$$\mu_3 / \mu_2^{3/2}$

$$\mu_3 = \mu_3^{'} - 3 \mu_2^{'}\mu_1^{'} + 2{\mu_1^{'}}^3 \text{ and }\mu_2 = \mu_2^{'} - {\mu_1^{'}}^2$$

sırasıyla üçüncü ve ikinci merkezi momentlerdir.

Standart temel sonuçlara göre,

$$\eqalign{ &1 + \mu_1^{'}(Z) t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Z) t^2 + \frac{1}{3!} \mu_3^{'}(Z) t^3 + \frac{1}{4!} \mu_4^{'}(Z) t^4 +O(t^5) \cr &= \phi_Z(t) \cr &= \phi_{\alpha X}(t) \phi_{\beta Y}(t) \cr &= \phi_X(\alpha t) \phi_Y(\beta t) \cr &= (1 + \mu_1^{'}(X) \alpha t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(X) \alpha^2 t^2 + \cdots) (1 + \mu_1^{'}(Y) \beta t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Y) \beta^2 t^2 + \cdots). }$$

To obtain the desired non-central moments, multiply the latter power series through fourth order in $t$ and equate the result term-by-term with the terms in $\phi_Z(t)$.

I think that the following updating formula works for the third moment, although I'd be glad to have someone check it:

$M_{3,n} = (1-\alpha)M_{3,n-1} + \alpha \Big[ x_n(x_n-\mu_n)(x_n-2\mu_n) - x_n\mu_{n-1}(\mu_{n-1}-2\mu_n) - \dots$ $\dots - \mu_{n-1}(\mu_n-\mu_{n-1})^2 - 3(x_n-\mu_n) \sigma_{n-1}^2 \Big]$

Updating formula for the kurtosis still open...