Katı von Neumann Eşitsizliği Örneği

Let kestiricinin Bayes riski ifade eden önceki bakımından , let parametre alanı üzerindeki tüm sabıkası kümesini göstermek ve let kümesi göstermek tüm (muhtemelen rastgele) karar kuralları. $r(\pi, \delta)$ $\delta$ $\pi$ $\Pi$ $\Theta$ $\Delta$

John von Neumann'ın minimaks eşitsizliğinin istatistiksel yorumu,

sup_{π \in Π} inf_{δ \in Δ} r (π, δ) \leq inf_{δ \in Δ} sup_{π \in Π} r (π, δ),

$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) \leq \inf_{\delta\in\Delta}\sup_{\pi\in\Pi} r(\pi, \delta),$

ve her ikisi de sonlu olduğunda bazı $\delta'$ ve için kesin eşitlik garanti edilir. $\pi'$ $\Theta$ $\Delta$

Birisi eşitsizliğin katı olduğu durumlarda somut bir örnek verebilir mi?

bayesian decision-theory risk

— Nick
kaynak

Orada Matematik forumunda tamamen matematiksel bir örnek .

— Xi'an

Sıkı von Neumann eşitsizliğinin bir örneği, risk fonksiyonu bazı değerleri için aşağıdaki koşulları (önceki değer "düşük" ve ikincisi "yüksek" olduğunda) ortaya çıkar: $r$ $r_0 < r_1$

\begin{matrix} \forall π \in Π, \exists δ \in Δ : & r (π, δ) = r_{0}, & (1) \\ \forall δ \in Δ, \exists π \in Π : & r (π, δ) = r_{1} . & (2) \end{matrix}

$\begin{matrix} \forall \pi \in \Pi, \exists \delta \in \Delta: & & r(\pi, \delta) = r_0, & & (1) \\[8pt] \forall \delta \in \Delta, \exists \pi \in \Pi: & & r(\pi, \delta) = r_1. & & (2) \end{matrix}$

İlk koşul, bakılmaksızın, her zaman düşük riskli ile bir karar kuralı olduğunu , bu da . İkinci koşul, karar kuralından bağımsız olarak, her zaman yüksek riskli vermeden önce bir miktar olduğunu , bu da . $r_0$ $\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_0$ $r_1$ $\inf_{\pi\in\Pi} \sup_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_1$

Bu durumu belirtmenin bir başka yolu, her bir önceki (bazen yüksek riskli olacaktır) için düşük riski garanti eden (öncekini görmeden önce seçilen) hiçbir karar kuralı olmamasıdır, ancak her önceki için (gördükten sonra seçilen) bir karar kuralı vardır. önceki) düşük riski garanti eder. Başka bir deyişle, riske düşük bir sınır koymak için karar kuralımızı öncekine uyarlamamız gerekir .

Örnek: Bu tür bir duruma basit bir örnek, izin verilen bir çift ve bir çift izin verilebilir karar kuralınız gibi bir risk matrisine sahip olduğunuzda ortaya çıkar: $\pi_0, \pi_1$ $\delta_0, \delta_1$

\begin{array}{ll} r (π_{0}, δ_{0}) = r_{0} & r (π_{1}, δ_{0}) = r_{1}, \\ r (π_{0}, δ_{1}) = r_{1} & r (π_{1}, δ_{1}) = r_{0} . \end{array}

$\begin{array}{ll} r(\pi_0, \delta_0) = r_0 & & r(\pi_1, \delta_0) = r_1, \\[6pt] r(\pi_0, \delta_1) = r_1 & & r(\pi_1, \delta_1) = r_0. \\[6pt] \end{array}$

Bu durumda, her iki önceliğe göre düşük riski garanti eden bir karar kuralı yoktur, ancak her bir önceki için düşük riski olan bir karar kuralı vardır. Bu durum von Neumann eşitsizliğinde katı eşitsizlik veren yukarıdaki koşulları karşılamaktadır.

— Ben - Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak