Değiştirilmiş Dirichlet dağılımının beklenen değeri nedir? (entegrasyon sorunu)

Aynı ölçek parametresine sahip Gama değişkenlerini kullanarak Dirichlet dağılımı ile rastgele bir değişken üretmek kolaydır. Eğer:

$X_i \sim \text{Gamma}(\alpha_i, \beta)$

Sonra:

$\left(\frac{X_1}{\sum_j X_j},\; \ldots\; , \frac{X_n}{\sum_j X_j}\right) \sim \text{Dirichlet}(\alpha_1,\;\ldots\;,\alpha_n)$

Sorun Ölçek parametreleri eşit değilse ne olur?

$X_i \sim \text{Gamma}(\alpha_i, \beta_i)$

Peki bu değişkenin dağılımı nedir?

$\left(\frac{X_1}{\sum_j X_j},\; \ldots\; , \frac{X_n}{\sum_j X_j}\right) \sim \; ?$

Benim için bu dağılımın beklenen değerini bilmek yeterli olacaktır.
Bir bilgisayar tarafından çok hızlı bir şekilde değerlendirilebilen yaklaşık kapalı bir cebir formülüne ihtiyacım var.
Diyelim ki 0,01 doğrulukla yaklaşım yeterli.
Şunu kabul edebilirsiniz:

$\alpha_i, \beta_i \in \mathbb{N}$

Not Kısacası, görev bu integralin yaklaşık bir değerini bulmaktır:

$f(\vec{\alpha}, \vec{\beta}) = \int_{\mathbb{R}^n_+} \;\frac{x_1}{\sum_j x_j} \cdot \prod_j \frac{\beta_j^{\alpha_j}}{\Gamma(\alpha_j)} x_j^{\alpha_j - 1} e^{-\beta_j x_j} \;\; dx_1\ldots dx_n$

— Asukasz Lew
kaynak

@ Łukasz , ve parametreleri hakkında daha fazla şey söyleyebilir ? için kesin ifadeler elde etmek ve böylece oranların beklentilerini yaklaşık olarak elde etmek mümkündür , ancak parametrelerin belirli kombinasyonları için daha az çalışma ile Normal veya eyer noktası yaklaşımlarından yararlanabilir. Evrensel bir yaklaşım yöntemi olacağını sanmıyorum, bu yüzden ek kısıtlamalar memnuniyetle karşılanacaktır.

n

$n$

α_{i}

$\alpha_i$

β_{i}

$\beta_i$

\sum_{j} X_{j}

$\sum_j{X_j}$

— whuber

X_{1}

$X_1$ ve birbiriyle ilişkilidir, bu yüzden integralin kendisine yaklaşmamız gerekir. gibi küçük bir sayı genellikle 1 veya 2 ve 10000'e kadar bazen büyük Benzer çözeltilerle ama genellikle 10 kat daha büyüktür .

\sum_{j} X_{j}

$\sum_j X_j$

α_{i}

$\alpha_i$

β_{i}

$\beta_i$

α_{i}

$\alpha_i$

— asukasz Lew

Sorun küçük . Tüm , tüm integralin iyi yaklaşık değeri:

α_{i}

$\alpha_i$

α_{i}

$\alpha_i$

\frac{α_{1} / β_{1}}{\sum_{j} α_{j} / β_{j}}

$\frac{\alpha_1/\beta_1}{\sum_j \alpha_j/\beta_j}$

— Łukasz Lew

@ Łukasz Beklentinin ifadesini değerlendirmeniz gerekiyorsa, neden cebirsel bir formüle ihtiyacınız var? Ben beklenti almak için bazı sayısal hile uygulayarak düşünüyorum ama bazı geribildirim gerekir :)

— deps_stats

Programımda birçok kez değerlendirmem gerekiyor. Çok hızlı olmalı, yani ilmek yok ve tercihen çok fazla bölünme yok.

— asukasz Lew

Sadece ilk bir açıklama, eğer hesaplama hızı istiyorsanız, genellikle doğruluğu feda etmeniz gerekir. "Daha fazla doğruluk" = "Genel olarak daha fazla zaman". Her neyse, buradaki ikinci bir sipariş yaklaşımıdır, yukarıdaki yorumunuzda önerdiğiniz yaklaşık "kaba" düzelmelidir:

E (\frac{X_{j}}{\sum_{i} X_{i}}) \approx \frac{E [X_{j}]}{E [\sum_{i} X_{i}]} - \frac{c o v [\sum_{i} X_{i}, X_{j}]}{E [\sum_{i} X_{i}]^{2}} + \frac{E [X_{j}]}{E [\sum_{i} X_{i}]^{3}} V a r [\sum_{i} X_{i}]

$E\Bigg(\frac{X_{j}}{\sum_{i}X_{i}}\Bigg)\approx \frac{E[X_{j}]}{E[\sum_{i}X_{i}]} -\frac{cov[\sum_{i}X_{i},X_{j}]}{E[\sum_{i}X_{i}]^2} +\frac{E[X_{j}]}{E[\sum_{i}X_{i}]^3} Var[\sum_{i}X_{i}]$

= \frac{α_{j}}{\sum_{i} \frac{β_{j}}{β_{i}} α_{i}} \times [1 - \frac{1}{(\sum_{i} \frac{β_{j}}{β_{i}} α_{i})} + \frac{1}{(\sum_{i} \frac{α_{i}}{β_{i}})^{2}} (\sum_{i} \frac{α_{i}}{β_{i}^{2}})]

$= \frac{\alpha_{j}}{\sum_{i} \frac{\beta_{j}}{\beta_{i}}\alpha_{i}}\times\Bigg[1 - \frac{1}{\Bigg(\sum_{i} \frac{\beta_{j}}{\beta_{i}}\alpha_{i}\Bigg)} + \frac{1}{\Bigg(\sum_{i} \frac{\alpha_{i}}{\beta_{i}}\Bigg)^2}\Bigg(\sum_{i} \frac{\alpha_{i}}{\beta_{i}^2}\Bigg)\Bigg]$

EDIT Yukarıdaki genişleme için bir açıklama talep edildi. Kısa cevap wikipedia . Uzun cevap aşağıda verilmiştir.

yazma . Şimdi tüm "ikinci dereceden" türevlerine ihtiyacımız var . Birinci mertebeden türevler "iptal edecek" çünkü hepsi beklentileri alırken her ikisi de sıfır olan ve katlarını içerecektir . $f(x,y)=\frac{x}{y}$ $f$ $X-E(X)$ $Y-E(Y)$

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = 0

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=0$

\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = - \frac{1}{y^{2}}

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-\frac{1}{y^2}$

\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = 2 \frac{x}{y^{3}}

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2\frac{x}{y^3}$

Ve böylece ikinci sıraya kadar taylor serisi tarafından verilir:

\frac{x}{y} \approx \frac{μ_{x}}{μ_{y}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{μ_{y}^{2}} 2 (x - μ_{x}) (y - μ_{y}) + 2 \frac{μ_{x}}{μ_{y}^{3}} (y - μ_{y})^{2})

$\frac{x}{y} \approx \frac{\mu_x}{\mu_y}+\frac{1}{2}\Bigg(-\frac{1}{\mu_y^2}2(x-\mu_x)(y-\mu_y) + 2\frac{\mu_x}{\mu_y^3}(y-\mu_y)^2 \Bigg)$

Beklentileri almak:

E [\frac{x}{y}] \approx \frac{μ_{x}}{μ_{y}} - \frac{1}{μ_{y}^{2}} E [(x - μ_{x}) (y - μ_{y})] + \frac{μ_{x}}{μ_{y}^{3}} E [(y - μ_{y})^{2}]

$E\Big[\frac{x}{y}\Big] \approx \frac{\mu_x}{\mu_y}-\frac{1}{\mu_y^2}E\Big[(x-\mu_x)(y-\mu_y)\Big] + \frac{\mu_x}{\mu_y^3}E\Big[(y-\mu_y)^2\Big]$

Verdiğim cevap bu. (ikinci aşamada eksi işaretini unuttuğum halde)

— probabilityislogic
kaynak

Bu tam olarak ihtiyacım olan şeye benziyor. Bu genişlemeyi nasıl elde ettiğinizi açıklayabilir misiniz? Birçok yönden denedim ve bunu yapamadım ...

— asukasz Lew