Genel bir uygunluk testinin Bayesian eşdeğeri nedir?

Biri bir dizi fiziksel gözlem (sıcaklık) diğeri nümerik modellerden oluşan iki veri setim var. Mükemmel bir model analizi yapıyorum, model topluluğunun gerçek ve bağımsız bir örnek teşkil ettiğini varsayarak gözlemlerin bu dağılımdan çekilip çizilmediğini kontrol ediyorum. Hesapladığım istatistik normalleştirildi ve teorik olarak standart bir normal dağılım olmalıdır. Tabii ki mükemmel değil, bu yüzden formda iyilik için test etmek istiyorum.

Sık sık akıl yürütme kullanarak, bir Cramér-Mises istatistiği (veya Kolmogorov-Smirnov, vb.) Veya benzerini hesaplayabilir ve değerin ne kadar düşük olduğuna karar vermeme yardımcı olmak için bir p-değeri elde etmek için tablodaki değeri arayabilirim Gördüğünüz gibi gözlemler modelle aynıdır.

Bu işlemdeki Bayesian eşdeğeri ne olurdu? Yani, bu iki dağılımın (hesaplanmış istatistik ve standart normal) farklı olduğuna dair inancımın gücünü nasıl ölçebilirim?

Bayesian Veri Analizi kitabını bu soruyu (özellikle bölüm 6) ve söyleyeceğim her şeyi yanıtlamak için harika bir kaynak olarak önerebilirim . Ancak Bayesyanların bu soruna saldırmasının olağan yollarından biri, Posterior Predictive P-değerleri (PPP) kullanmaktır. PPP'lerin bu sorunu nasıl çözeceklerine girmeden önce ilk önce aşağıdaki notayı tanımlayayım:

Let gözlemlenmiş olması ve parametrelerin vektör. Biz tanımlamak olarak çoğaltılmış veri olabilirdi , görülmediği veya, tahminsel olarak düşünmek veri olarak biz olur üretilen deney eğer yarın bkz bugün aynı model ve aynı ile tekrarlandı gözlenen verileri üreten değeri .θ y rep y $y$$\theta$$y^{\text{rep}}$$y$$\theta$

Not biz dağılımını tanımlayacak arka prediktif dağılımı ile bilgi mevcut durumu verilen p ( y rep | y ) = ∫ Θ p ( y rep | θ ) p ( θ | y ) d $y^{\text{rep}}$

$$p(y^{\text{rep}}|y)=\int_\Theta p(y^{\text{rep}}|\theta)p(\theta|y)d\theta$$

Şimdi, test miktarlarını , kontrol etmek istediğimiz hususları tanımlayarak model ile veri arasındaki farkı ölçebiliriz . Bir test miktarı veya tutarsızlık ölçütü , , verileri tahmin simülasyonları ile karşılaştırırken standart olarak kullanılan parametrelerin ve verilerin bir skaler özetidir. Test miktarları, klasik testlerde test istatistiklerinin oynadığı Bayesian model kontrolünde rol oynar. Bir test istatistiği için gösterimini tanımlarız; bu, yalnızca verilere dayanan bir test miktarıdır; Bayesian bağlamında, posterior dağılımları altındaki model parametrelerine bağımlılık sağlamak için test istatistiklerini genelleyebiliriz.T ( y $T(y,\theta)$$T(y)$

Klasik olarak, test istatistiğinin p değeri , yerde 'dir. dağılımı ile düzeltildi.p C = Pr ( T ( y rep ) ≥ T ( y ) | θ ) y rep$T(y)$

$$p_C=\text{Pr}(T(y^{\text{rep}})\geq T(y)|\theta)$$ $y^{\text{rep}}$$\theta$

Bayes bakış açısına göre, arka kestirimci dağılıma göre verinin uygun olmaması, test miktarının kuyruk alanı olasılığı ya da p-değeri ile ölçülebilir ve nin arka simülasyonları kullanılarak hesaplanabilir. . Bayesian yaklaşımında, test miktarları, bilinmeyen parametrelerin fonksiyonlarının yanı sıra verilerin de nedeni olabilir; çünkü test miktarı, bilinmeyen parametrelerin posterior dağılımından çekilerek değerlendirilir.$(\theta,y^{\text{rep}})$

Şimdi, Bayesian p değerini (PPP), çoğaltılmış verilerin, test miktarıyla ölçülen gözlemlenen verilerden daha aşırı olabileceği olasılığı olarak tanımlayabiliriz: olasılık posterior dağılımı üzerinden alınır ve arka prediktif dağıtım (diğer bir deyişle ortak dağıtım, ): gösterge fonksiyonudur. Yine de pratikte genellikle simülasyon kullanarak posterior öngörücü dağılımı hesaplıyoruz.

$$p_B=\text{Pr}(T(y^{\text{rep}},\theta)\geq T(y,\theta)|y)$$ $\theta$$y^{\text{rep}}$$p(\theta,y^{\text{rep}}|y)$ $$p_B=\iint_\Theta I_{T(y^{\text{rep}},\theta)\geq T(y|\theta)}p(y^{\text{rep}}|\theta)p(\theta|y)dy^{\text{rep}}d\theta,$$ $I$

Eğer zaten posterior dağılımından simülasyonları varsa , o zaman sadece her simüle edilmiş için öngörülen dağılımdan bir çizebiliriz ; Şimdi ortak posterior dağılımdan çizeriz, . Posterior prediktif kontrol, gerçekleştirilen test miktarları ile prediktif test miktarları . Tahmini p değeri, sadece test miktarının gerçek değerine eşit veya onu aşan bu simülasyonlarının oranıdır ; yani, bunun içinθ y temsilcisi θ L p ( y temsilcisi , θ | y ) T ( y , θ l ) T ( y temsilcisi l , θ L ) L , T ( y temsilcisi l , θ l ) ≥ T ( y , θ l ) l = 1 , . . . , $L$$\theta$$y^{\text{rep}}$$\theta$$L$$p(y^{\text{rep}},\theta|y)$$T(y,\theta^l)$$T(y^{\text{rep}l},\theta^l)$$L$

$$T(y^{\text{rep}l},\theta^l)\geq T(y,\theta^l)$$ için . $l=1,...,L$

Klasik yaklaşımın aksine, Bayesian model denetimi "sıkıntı parametrelerini" işlemek için özel yöntemler gerektirmez. Arka simülasyonları kullanarak, modeldeki tüm parametreler üzerinde örtük olarak ortalamaları kullanıyoruz.

Ek bir kaynak olarak, Andrew Gelman'ın PPP'nin burada çok güzel bir makalesi var: http://www.stat.columbia.edu/~gelman/research/unpublished/ppc_understand2.pdf

Göreceli olarak basit bir olasılık: Ortogonal polinomlar (ağırlık fonksiyonu olarak null yoğunluğa göre) tarafından oluşturulan, sıfırdan yumuşak sapmalara alternatif olan, örneğin [1] - uyumluluğun düzgün testlerinin düzgünce yapılması nispeten kolay olacaktır. polinomların katsayıları, boş değerin esnek fakat parametrik bir uzantısını oluşturduğundan, bir Bayesian çerçevesine geçer.

[1]: Rayner, JCW ve DJ Best (1990),
"Uyum İyiliğinin Düzgün Testleri: Genel Bir Bakış,"
Uluslararası İstatistiksel Gözden Geçirme , 58 : 1 (Nis), s. 9-17