Bu durumda x'in y üzerindeki regresyonu x üzerindeki y'den açıkça daha mı iyidir?

Bir kişinin kanındaki glikoz seviyelerini ölçmek için kullanılan bir cihaz, 10 kişilik rastgele bir örnek üzerinde izlenir. Seviyeler ayrıca çok hassas bir laboratuvar prosedürü kullanılarak ölçülür. Alet ölçüsü x ile gösterilir. Laboratuvar prosedürü ölçüsü y ile gösterilir.

Şahsen x'in y'nin daha doğru olduğunu düşünüyorum çünkü amaç laboratuvar okumalarını tahmin etmek için cihaz okumalarını kullanmaktır. Ve x üzerindeki y, bu tür tahminlerin hatalarını en aza indirir.

Ancak verilen cevap y üzerinde x idi.

Birçok laboratuvar makalesi, özellikle enstrüman test deneyleri, bu tür x'i y regresyonuna uygular.

Deneydeki veri toplama işleminden, y koşullarının kontrol edildiğini ve x değerini aygıt okumasından aldığını (içinde bir hata olduğunu) iddia ediyorlar. Bu, deneyin orijinal fiziksel modelidir, bu nedenle x ~ y + hatası daha uygundur.

Deney hatasını en aza indirmek için, bazen y aynı koşulda kontrol edilir, ardından x birkaç kez (veya tekrarlanan deney) ölçülür. Bu prosedür, arkasındaki mantığı anlamanıza ve x ~ y + hatasını daha net bulmanıza yardımcı olabilir.

$Y\text{ on }X$$X\text{ on }Y$

$Y$$X$$Y\text{ on }X$$X$

$X\text{ on }Y$$Y$$X$

$X\text{ on }Y$$Y$

$X\text{ on }Y$

Tahmin ve Tahmin

Evet haklısınız, bunu bir tahmin sorunu olarak gördüğünüzde, Y-on-X regresyonu, bir cihaz ölçümü verildiğinde laboratuvar prosedürünü yapmadan doğru laboratuvar ölçümünün tarafsız bir tahminini yapabileceğiniz bir model verecektir. .

$E[Y|X]$

Bu hata karşıtı görünebilir, çünkü hata yapısı "gerçek" değildir. Laboratuar yönteminin altın standart hatasız bir yöntem olduğu varsayılarak, gerçek veri üreten modelin "

$X_i = \beta Y_i + \epsilon_i$

$Y_i$$\epsilon_i$$E[\epsilon]=0$

$E[Y_i|X_i]$

$Y_i = \frac{X_i - \epsilon}{\beta}$

$X_i$

$E[Y_i|X_i] = \frac{1}{\beta} X_i - \frac{1}{\beta} E[\epsilon_i|X_i]$

$E[\epsilon_i|X_i]$$\epsilon$$X$

Açıkça, genelliğin kaybı olmadan,

$\epsilon_i = \gamma X_i + \eta_i$

$E[\eta_i|X] = 0$

$Y_I = \frac{1}{\beta} X_i - \frac{\gamma}{\beta} X_i - \frac{1}{\beta} \eta_i$

$Y_I = \frac{1-\gamma}{\beta} X_i - \frac{1}{\beta} \eta_i$

$\eta$$\beta$$\beta$$\sigma$

$Y_I = {\alpha} X_i + \eta_i$

$\beta$

Enstrüman Analizi

Size bu soruyu soran kişi, X-on-Y'nin doğru yöntem olduğunu söylediği için yukarıdaki cevabı açıkça istemedi, neden bunu istediler? Büyük olasılıkla enstrümanı anlama görevini düşünüyorlardı. Vincent'ın cevabında tartışıldığı gibi, enstrümanın davranmasını istediklerini bilmek istiyorsanız, X-on-Y gitmenin yoludur.

Yukarıdaki ilk denkleme geri dönelim:

$X_i = \beta Y_i + \epsilon_i$

$E[X_i|Y_i] = Y_i$$X$$\beta$

büzülme

$Y$$E[Y|X]$$\gamma$$E[Y|X]$$Y$. Bu daha sonra ortalamaya regresyon ve ampirik bölmeler gibi kavramlara yol açar.

Örnek R Burada olup bitenler hakkında fikir sahibi olmanın bir yolu, bazı veriler yapmak ve yöntemleri denemektir. Aşağıdaki kod, tahmin ve kalibrasyon için X-on-Y'yi Y-on-X ile karşılaştırır ve X-on-Y'nin tahmin modeli için iyi olmadığını, ancak kalibrasyon için doğru prosedür olduğunu hızlı bir şekilde görebilirsiniz.

library(data.table)
library(ggplot2)

N = 100
beta = 0.7
c = 4.4

DT = data.table(Y = rt(N, 5), epsilon = rt(N,8))
DT[, X := 0.7*Y + c + epsilon]

YonX = DT[, lm(Y~X)]   # Y = alpha_1 X + alpha_0 + eta
XonY = DT[, lm(X~Y)]   # X = beta_1 Y + beta_0 + epsilon


YonX.c = YonX$coef[1]   # c = alpha_0
YonX.m = YonX$coef[2]   # m = alpha_1

# For X on Y will need to rearrage after the fit.
# Fitting model X = beta_1 Y + beta_0
# Y = X/beta_1 - beta_0/beta_1

XonY.c = -XonY$coef[1]/XonY$coef[2]      # c = -beta_0/beta_1
XonY.m = 1.0/XonY$coef[2]  # m = 1/ beta_1

ggplot(DT, aes(x = X, y =Y)) + geom_point() +  geom_abline(intercept = YonX.c, slope = YonX.m, color = "red")  +  geom_abline(intercept = XonY.c, slope = XonY.m, color = "blue")

# Generate a fresh sample

DT2 = data.table(Y = rt(N, 5), epsilon = rt(N,8))
DT2[, X := 0.7*Y + c + epsilon]

DT2[, YonX.predict := YonX.c + YonX.m * X]
DT2[, XonY.predict := XonY.c + XonY.m * X]

cat("YonX sum of squares error for prediction: ", DT2[, sum((YonX.predict - Y)^2)])
cat("XonY sum of squares error for prediction: ", DT2[, sum((XonY.predict - Y)^2)])

# Generate lots of samples at the same Y

DT3 = data.table(Y = 4.0, epsilon = rt(N,8))
DT3[, X := 0.7*Y + c + epsilon]

DT3[, YonX.predict := YonX.c + YonX.m * X]
DT3[, XonY.predict := XonY.c + XonY.m * X]

cat("Expected value of X at a given Y (calibrated using YonX) should be close to 4: ", DT3[, mean(YonX.predict)])
cat("Expected value of X at a gievn Y (calibrated using XonY) should be close to 4: ", DT3[, mean(XonY.predict)])

ggplot(DT3) + geom_density(aes(x = YonX.predict), fill = "red", alpha = 0.5) + geom_density(aes(x = XonY.predict), fill = "blue", alpha = 0.5) + geom_vline(x = 4.0, size = 2) + ggtitle("Calibration at 4.0")

İki regresyon çizgisi verilerin üzerine çizilir

Ve sonra Y için kareler hatasının toplamı, yeni bir numuneye her iki uyum için ölçülür.

> cat("YonX sum of squares error for prediction: ", DT2[, sum((YonX.predict - Y)^2)])
YonX sum of squares error for prediction:  77.33448
> cat("XonY sum of squares error for prediction: ", DT2[, sum((XonY.predict - Y)^2)])
XonY sum of squares error for prediction:  183.0144

Alternatif olarak, bir numune sabit bir Y'de (bu durumda 4) üretilebilir ve daha sonra alınan bu tahminlerin ortalaması. Artık Y-on-X tahmin cihazının, Y değerinden çok daha düşük bir beklenen değere sahip iyi kalibre edilmediğini görebilirsiniz. X-on-Y tahminci, Y değerine yakın bir beklenen değere sahip olarak iyi kalibre edilmiştir.

> cat("Expected value of X at a given Y (calibrated using YonX) should be close to 4: ", DT3[, mean(YonX.predict)])
Expected value of X at a given Y (calibrated using YonX) should be close to 4:  1.305579
> cat("Expected value of X at a gievn Y (calibrated using XonY) should be close to 4: ", DT3[, mean(XonY.predict)])
Expected value of X at a gievn Y (calibrated using XonY) should be close to 4:  3.465205

İki tahminin dağılımı yoğunluk grafiğinde görülebilir.

Sıradan En Küçük Kareler için X'in varyansı ve Y'nin varyansı hakkındaki varsayımlarınıza bağlıdır. Y tek varyans kaynağına sahipse ve X sıfır varyansa sahipse, Y'yi tahmin etmek için X kullanın. Varsayımlar başka bir yoldaysa (X tek varyansa ve Y sıfır varyansa sahipse), X'i tahmin etmek için Y'yi kullanın.

Hem X hem de Y'nin varyans olduğu varsayılırsa, Toplam En Küçük Kareler'i düşünmeniz gerekebilir .

Bu linke TLS'nin iyi bir açıklaması yazılmıştır . Kağıt ticarete yöneliktir, ancak bölüm 3, TLS'yi tanımlamak için iyi bir iş çıkarır.

Düzenleme 1 (09/10/2013) ========================================= ======

Başlangıçta bunun bir tür ev ödevi problemi olduğunu varsaydım, bu yüzden OP'nin sorusunun "cevabı" hakkında gerçek bir ayrıntı alamadım. Ancak, diğer cevapları okuduktan sonra, biraz daha ayrıntılı olmanın iyi olduğu anlaşılıyor.

OP sorusunun bir parçası:

".... Seviyeler de çok hassas bir laboratuvar prosedürü kullanılarak ölçülür ...."

Yukarıdaki ifade, biri cihazdan diğeri laboratuvar prosedüründen olmak üzere iki ölçüm olduğunu söylüyor. Açıklama ayrıca, laboratuvar prosedürü için varyansın aletin varyansına kıyasla düşük olduğunu ima eder.

OP'nin sorusundan bir başka alıntı:

".... Laboratuar prosedürü ölçüsü y ile gösterilir ....."

Dolayısıyla, yukarıdaki iki ifadeden Y düşük sapmaya sahiptir. Dolayısıyla, hataya en az yatkın teknik X'i tahmin etmek için Y'yi kullanmaktır. "Verilen cevap" doğrudur.