Poisson GLM'nin tamsayı olmayan sayıları kabul etmesi nasıl mümkün olabilir?

Poisson GLM'nin tamsayı olmayan sayıları kabul etmesi beni gerçekten şaşırttı! Bak:

Veriler (içeriği data.txt):

1   2001    0.25  1
1   2002    0.5   1
1   2003    1     1
2   2001    0.25  1
2   2002    0.5   1
2   2003    1     1

R kodu:

t        <- read.table("data.txt")
names(t) <- c('site', 'year', 'count', 'weight')
tm       <- glm(count ~ 0 + as.factor(site) + as.factor(year), data = t, 
                family = "quasipoisson")  # also works with family="poisson"
years    <- 2001:2003
plot(years, exp(c(0, tail(coef(tm), length(years)-1))), type = "l")

Sonuçta yıl indeksi, yani "beklenen" olduğu gibi 1-2-4yılda 2001-2003.

Ancak Poisson GLM'nin tamsayı olmayan sayılar alması nasıl mümkün olabilir? Poisson dağılımı her zaman sadece tamsayı olmuştur!

r generalized-linear-model poisson-distribution poisson-regression

— Meraklı
kaynak

Tam olarak ne bilmek istediğinizi açıklayabilir misiniz? Uydurma algoritması tamsayı olmayanlarla nasıl ilgilenir? Veya R neden yanıtın bir tam sayı olup olmadığını kontrol etmiyor? Veya tamsayı olmayanlar sağlandığında sonuçta bir sorun mu var?

— Momo

@Momo, evet, tüm bu sorular ilginç!

— Meraklı

Lütfen sorunuzu bu durumu yansıtacak şekilde düzenleyin. Bu şekilde iyi bir cevap almanız daha olasıdır.

— Momo

Bunun gerçekten önemli olduğu için family="poisson"değil, aynı zamanda, örneğin, quasipoissonaileyi kullandığınız için örneğinizin bir Poisson GLM olmadığını unutmayın , bu da sadece ortalama ile varyans arasındaki ilişkiye bağlıdır, bu yüzden tamsayı olmayan sayıların alınması konusunda sürpriz olmamalıdır.

— Aaron Stack Overflow'dan ayrıldı

Bunun neden anlamlı olabileceğine dair bazı referanslar .

— Dimitriy V. Masterov

Yanıtlar:

Tabii ki Poisson dağılımının teknik olarak sadece tamsayılar için tanımlandığından emin olabilirsiniz. Bununla birlikte, istatistiksel modelleme iyi yaklaşım sanatıdır (" tüm modeller yanlış ") ve tamsayı olmayan verileri [yaklaşık] Poisson gibi ele almanın mantıklı olduğu zamanlar vardır.

Örneğin, aynı sayım verilerini kaydetmek için iki gözlemci gönderirseniz, iki gözlemcinin her zaman sayım üzerinde anlaşamadıkları görülebilir - biri 3 kez olduğunu, diğerinin 4 kez olduğunu söyledi. O zaman Poisson katsayılarınızı takarken 3 ile 4 arasında seçim yapmak yerine 3.5 kullanma seçeneğine sahip olmak güzel.

Hesaplamalı olarak, Poisson'daki faktöriyel tamsayı olmayanlarla çalışmayı zorlaştırabilir, ancak faktöriyelin sürekli bir genellemesi vardır. Ayrıca, ifadeyi basitleştirdikten sonra , Poisson için maksimum olasılık tahmini yapmak faktöriyel fonksiyonu bile içermez .

— zkurtz
kaynak

Bir yanıt için Eğer varsayarsak, onun beklenti logaritması Tahmini için bir doğrusal kombinasyonudur ve sapması beklentisine eşittir regresyon katsayıları için tutarlı tahminler , Poisson modeli için skor denklemleri çözülerek elde edilebilir: Elbette tutarlılık, herhangi bir testin veya güven aralığının geçerliliği anlamına gelmez; olasılık belirtilmedi. $y$ $\renewcommand{\vec}[1]{\boldsymbol{#1}}\vec{x}$

E Y_{ben} = tecrübe β^{T} x_{ben}

$\operatorname{E}Y_i=\exp{\vec\beta^{\mathrm{T}}\vec{x}_i}$

var Y_{ben} = E Y_{ben}

$\operatorname{Var}Y_i=\operatorname{E}Y_i$

β

$\vec\beta$

Σ_{ben}^{n} x_{ben} (y_{ben} - tecrübe β^{T} x_{ben}) = 0

$\sum_i^n{\vec{x}_i\left(y_i-\exp{\vec\beta^{\mathrm{T}}\vec{x}_i}\right)}=0$

Bu, okulda öğrendiğimiz anlar yöntemi yaklaşımından kaynaklanır ve genelleştirilmiş tahmin denklemlerine yaklaşır .

@ Aaron, aslında kodunuza bir yarı Poisson uyumu kullandığınıza dikkat çekti. Bu, varyansın ortalama ile orantılı olduğu anlamına gelir

var Y_{ben} = φ E Y_{ben}

$\operatorname{Var}Y_i=\phi\operatorname{E}Y_i$

verilerden tahmin edilebilecek bir dağılım parametresi . Katsayı tahminleri aynı olacaktır, ancak standart hataları daha geniş olacaktır; bu daha esnek ve dolayısıyla daha genel olarak kullanışlı bir yaklaşımdır. (Parametrelerin varyans-kovaryans matrisi için sandviç tahmin edicilerinin, bu tür durumlarda genellikle sağlam standart hatalar vermek için kullanıldığını unutmayın.) $\phi$

— Scortchi - Monica'yı eski durumuna döndürün
kaynak