dağılımının bir adı var mı?

Geçen gün bu yoğunluğa rastladım. Birisi buna bir isim verdi mi?

$f(x) = \log(1 + x^{-2}) / 2\pi$

Yoğunluk, başlangıç noktasında sonsuzdur ve ayrıca yağ kuyruklarına sahiptir. Birçok gözlemin küçük olması beklenen bağlamda, büyük değerler de beklendiği halde önceki bir dağıtım olarak kullanıldığını gördüm.

distributions probability

— John D. Cook
kaynak

Merak ediyorum, bunu ilk başta gördüğünüz kaynak için bir alıntı yaptınız mı?

— JMS

JMS: "Seyrek sinyaller için at nalı tahmincisi", Carvalho, Polson ve Scott. Bir baskı olarak gördüm ama şimdiye kadar Biometrika'da yayınlanmış olabilir. Bunu daha önce tam olarak kullanmıyorlar, ancak yukarıdaki yoğunluk, öncekilerin özel bir durumuna bir yaklaşımdır.

— John D. Cook,

Yayınlandı: dx.doi.org/10.1093/biomet/asq017 .

— Fabians

Hangi özel davaya yaklaşıyorsunuz? Okudum, ancak ifadenizi gerçekten gazetede verilen ifadelerle ilişkilendiremiyorum ...?

— fabians

@fabians: Aklımdaki vaka Teorem 1'de sigma ^ 2 = tau ^ 2 = 1 idi. At nalı yoğunluğunun log katları (1 + c / x ^ 2) ile yukarıda ve altına bağlandığını söylüyor. Belki yukarıda bahsettiğim dağılım, at nalı yoğunluğunun bir yaklaşımdan ziyade basitleştirilmesidir.

— John D. Cook

Yanıtlar:

Aslında, ilk an bile mevcut değil. Bu dağıtımın CDF’si

F (x) = 1 / 2 + (\arctan (x) - x \log (\sin (\arctan (x)))) / π

$F(x) = 1/2 + \left(\arctan(x) - x \log(\sin(\arctan(x)))\right)/\pi$

için simetri ile ve, için . Ne bu ne de bariz dönüşümlerin hiçbiri bana tanıdık gelmiyor. (Temel işlevler açısından CDF için kapalı bir form elde edebilmemiz, olasılıkları zaten ciddi şekilde sınırlandırmaktadır, ancak bu kapalı formun biraz belirsiz ve karmaşık olması, standart dağıtımları veya güç / log / üstel / trig dönüşümlerini hızlı bir şekilde dışlamaktadır. elbette, , bu Cauchy dağılımının (esas olarak) bozulmuş bir versiyonu olarak sergileyen bir Cauchy (Student ) dağılımının .) $x \ge 0$ $F(x) = 1 - F(|x|)$ $x \lt 0$ $t_1$

görüntü tanımını buraya girin

— whuber
kaynak

@whuber, pdf'ninkine yakın olan cdf formunu ilgilendiren olduğuna dikkat edin. . Ayrıca, bu pdf'nin standart bir Cauchy'nin pdf'inin asimptotik olduğuna dikkat etmek ilginçtir. Bu nedenle, kullanımının asıl nedeni, davranışının 0 civarında olması gerektiği gibi görünüyor

- 2 \log (\sin (a r c t a n (x))) = \log (1 + x^{- 2})

$-2\log(\sin(\mathrm{arctan}(x))) = \log(1+x^{-2})$

— kardinal

@whuber, kapalı formlara sahip cdfs hakkındaki ifadenizle ilgili olarak nereden geldiğinizi görmeme rağmen (ipucu: Louiville), bu söze dikkat edeceğim. Cauchy dağılımının kendisi bu açıdan bir "karşı örnek" dir.

— kardinal

@cardinal Cauchy dağılımı hakkındaki düşüncelerinizi anlamıyorum. CDF formunu yalnızca aramaları daraltmak için bir buluşsal yöntem olarak ve aramaları hedef olarak kullanıyorum. CDF, PDF'den biraz daha uygundur, çünkü değişken dönüştürüldüğünde nasıl değişeceğini görmek daha kolaydır. Ve evet, not ettiğiniz ilişki açıktır, ancak diğer ifadedeki arkantanın varlığı nedeniyle CDF'yi bu şekilde yazmayı seçtim (bu, x = tan (u) sübstitüsyonunu öneren).

— whuber

@whuber, belki de varsaymak yerine açıklık istemekten daha iyi olurdu. Kapalı bir cdf formunun olanakları ciddi şekilde sınırlandırdığına dair yorumunuzla ilgili düşünceniz neydi?

— kardinal

@cardinal Adlı (veya şimdiye kadar çalışılan) bir dağıtım

in cdf

ye sahip olduğu nispeten basit bir yeniden ifade

(güç veya logaritma vb.) bulma anlamında geniş bir araştırma yapıyorum .

pdf

. Daha önce bir dağıtım incelenmişse, CDF'sinin edinilmiş olması muhtemeldir ve kapalı biçimde yazılabilirse, bu form da yayınlanmıştır. Bu nedenle, sadece

gibi görünen işlevsel formlar

bakmamız gerekir.

G

$G$

y

$y$

y (X)

$y(X)$

G

$G$

X

$X$

f

$f$

G

$G$

ile

. Herhangi birini biliyor musun?

u - \tan (u) \log (\sin (u))

$u - \tan(u)\log(\sin(u))$

u = u (x)

$u = u(x)$

— whuber

Belki de değil.

Bu oldukça geniş dağıtım listesinde bulamadım:

Leemis ve McQuestion 2008 Tek Değişkenli Dağılım İlişkileri. Amerikan İstatistiği 62 (1) 45:53

— Abe
kaynak