“Kapalı form çözümü” ne anlama geliyor?

Sık sık "kapalı form çözümü" terimi ile karşılaştım. Kapalı formda bir çözüm ne demektir? Belirli bir problem için yakın formlu bir çözüm bulunup bulunmadığı nasıl belirlenir? Çevrimiçi arama yaparken, bazı bilgiler buldum, ancak istatistiksel ya da olasılıksal bir model / çözüm geliştirme bağlamında hiçbir şey bulamadım.

Regresyonu çok iyi anlıyorum, eğer herhangi biri kavramı regresyon ya da model uyumu ile açıklayabilirse, tüketmesi kolay olacaktır. :)

“Denklemin, verilen bir genel kabul görmüş setten fonksiyonlar ve matematiksel işlemler açısından verilen bir problemi çözmesi halinde, kapalı formlu bir çözüm olduğu söylenir. Örneğin, sonsuz bir toplamın genellikle kapalı formda sayılmaz. yeni bir "kapalı form" işlevi, sınırsız toplam olarak tanımlanabildiğinden, kapalı form olarak neyin seçileceği ve neyin keyfi olamayacağı seçimi. - Wolfram Alpha

ve

"Matematikte, belirli bir" iyi bilinen "işlevlerin sınırlı sayıda ifade edilerek analitik olarak ifade edilebiliyorsa, bir ifadenin kapalı biçimli bir ifade olduğu söylenir. Tipik olarak, bu iyi bilinen işlevlerin temel işlevler olduğu tanımlanır. sabitler, bir değişken x, temel aritmetik işlemler (+ - × ÷), ro kökleri, üs ve logaritma (bu nedenle aynı zamanda trigonometrik fonksiyonlar ve ters trigonometrik fonksiyonlar da içerir). kapalı biçimli bir ifadenin. " - Wikipedia

Doğrusal regresyonda kapalı formlu bir çözüm örneği, en küçük kare denklemi olacaktır.

Tahmin prosedürlerinin çoğu, bazı objektif işlevleri en aza indiren (veya maksimize eden) parametreleri bulmayı içerir. Örneğin, OLS ile kare artıkların toplamını en aza indiririz. Maksimum Olabilirlik Tahmini ile, günlük olabilirlik işlevini en üst düzeye çıkarırız. Fark önemsizdir: minimize etme, objektif fonksiyonun negatifini kullanarak maksimize etmeye dönüştürülebilir.

Bazen bu problem cebirsel olarak çözülebilir ve kapalı formda bir çözüm üretilebilir. OLS ile, birinci dereceden koşulların sistemini çözersiniz ve tanıdık bir formül elde edersiniz (muhtemelen cevabı değerlendirmek için bir bilgisayara ihtiyacınız olsa da). Diğer durumlarda, bu matematiksel olarak mümkün değildir ve bir bilgisayar kullanarak parametre değerlerini aramanız gerekir. Bu durumda, bilgisayar ve algoritma daha büyük bir rol oynar. Doğrusal Olmayan En Küçük Kareler buna bir örnektir. Açık bir formül alamazsınız; Tüm aldığınız bilgisayara uygulamak için gereken bir reçetedir. Tarif, parametrelerin ne olabileceği ve nasıl değişebileceği ile ilgili ilk tahminde bulunabilir. Daha sonra çeşitli parametre kombinasyonlarını deneyin ve hangisinin size en düşük / en yüksek objektif fonksiyon değerini verdiğini görün. Bu kaba kuvvet yaklaşımı ve uzun zaman alıyor. Örneğin,$10^5$ kombinasyon ve bu yalnızca şanslıysanız sizi doğru cevabın mahallesine yerleştirir. Bu yaklaşıma şebeke arama denir.

Veya bir tahminde bulunup, hedef fonksiyonundaki gelişmeler bir değerden daha az olana kadar bu yönde bir tahminde bulunabilirsiniz. Bunlar genellikle gradyan metotları olarak adlandırılır (genetiği algoritmalar ve benzetilmiş tavlama gibi, hangi yöne girmek için degradeyi kullanmayan başkaları olsa da). Bunun gibi bazı problemler, doğru cevabı hızlıca bulmanızı garanti eder (karesel fonksiyonlar). Diğerleri böyle bir garanti vermez. Global, optimum yerine yerelde sıkışıp kalmış olduğunuzdan endişe duyabilirsiniz, bu nedenle bir dizi ilk tahminde bulunmayı denersiniz. Çılgınca farklı parametrelerin size objektif fonksiyonun aynı değerini verdiğini farkedersiniz.

Sezgiyi elde etmenin güzel bir yolu. Tek regresörün kesişim noktası olduğu basit bir üstel regresyon modeliniz olduğunu varsayalım:

Amaç fonksiyonu

Bu basit problemle her iki yaklaşım da mümkündür. Türev alarak elde ettiğiniz kapalı form çözümü . Ayrıca bunun yerine takarak başka bir şeyin size objektif fonksiyonun daha yüksek bir değer verdiğini doğrulayabilirsiniz . Bazı regresörleriniz varsa, analitik çözüm pencereden dışarı çıkar.$\alpha^* = \ln \bar y$$\ln (\bar y + k)$

Bu web sitesinin basit bir sezgiyi sağladığını düşünüyorum, ki bunlardan bir kısmı:

Bir kapalı form çözümü (veya kapalı form ifadesi), sınırlı sayıda standart işlemle değerlendirilebilecek herhangi bir formüldür. ... Nümerik bir çözüm, sınırlı sayıda standart işlemle değerlendirilebilecek herhangi bir yaklaşımdır. Kapalı form çözümleri ve sayısal çözümler, her ikisi de sınırlı sayıda standart işlemle değerlendirilebilecekleri için benzerdir. Sayısal bir çözüm sadece yaklaşık olduğu halde kapalı formlu bir çözeltinin kesin olması bakımından farklılık gösterirler.

Meslekten olmayan terimler ya da anlamı titizlikle tanımlayan acı verici sözler mi arıyorsunuz? Diğer yerlerde herzaman bulunabileceği gibi terim şartlarını varsayacağım. Diyelim ki 8'in karekökünün kapalı form çözümünü istediniz. Kapalı form çözümü 2 * (2) ^ 1/2 ya da ikisinin karekökünün iki katıdır. Bu, kapalı form çözelti 2.8284'ün aksinedir. (bkz. 1 / 10,000'de doğru olduğu 69 ondalık basamaktan daha fazla görmek için 2'nin kareköküne bakın) Biri kesinlikle matematiksel terimlerle tanımlanır, diğeri ise değildir. Kapalı bir form çözümü kesin bir cevap sunar ve kapalı olmayan bir form yaklaşık bir değerdir, ancak kapalı bir form çözümünü istediğiniz kadar kapalı bir form çözümüne yakın alabilirsiniz. Kulağa sezgisel geliyor, ancak daha doğru bir şekilde ihtiyacınız varsa, biraz daha fazla hesaplama yapın.

Kapalı form = kapalı (işlevsel) form

Kapalı, hiçbir şeyin içeri giremeyeceği anlamına gelir; yani, hiçbir alternatif => sadece bir çözüm => sonuç ve öngörüler arasındaki ilişkiyi kurabilen sadece bir işlev.