Çok değişkenli-bernoulli dağılımı için olasılık formülü

13

Verilen bir olasılıkları ve çiftleri için bir n-değişken Bernoulli dağıtım bir olayın olasılığı için bir formüle ihtiyacım var . Aynı şekilde ortalamasını ve kovaryansını verebilirim . $X\in\{0,1\}^n$ $P(X_i=1)=p_i$ $P(X_i=1 \wedge X_j=1)=p_{ij}$ $X$

Zaten belirli bir ortalama ve kovaryansa sahip birçok dağılım olduğu gibi özelliklere sahip birçok dağılımının olduğunu öğrendim . Gaussian'ın için kanonik bir dağılım ve belirli bir ortalama ve kovaryans olması gibi üzerinde kanonik bir tane arıyorum . $\{0,1\}^n$ $\{0,1\}^n$ $R^n$

multivariate-analysis discrete-data

— mpiktas
kaynak

11

içindeki değerleri alan rastgele değişken, ayrı bir rastgele değişkendir. Dağılımı ile olasılıkları ile tam olarak açıklanmaktadır . Verdiğiniz ve olasılıkları , belirli dizinler için için toplamlarıdır . $\{0,1\}^n$ $p_{\mathbf{i}}=P(X=\mathbf{i})$ $\mathbf{i}\in\{0,1\}^n$ $p_{i}$ $p_{ij}$ $p_{\mathbf{i}}$ $\mathbf{i}$

Şimdi sadece ve kullanarak tanımlamak istediğiniz görülüyor . üzerinde belirli özellikler varsayılmadan mümkün değildir . Elde etmek için bu deneyin görmek için karakteristik fonksiyonu arasında . Eğer alırsak, $p_{\mathbf{i}}$ $p_i$ $p_{ij}$ $p_{\mathbf{i}}$ $X$ $n=3$

\begin{aligned} E e^{i (t_{1} X_{1} + t_{2} X_{2} + t_{3} X_{3})} & = p_{000} + p_{100} e^{i t_{1}} + p_{010} e^{i t_{2}} + p_{001} e^{i t_{3}} \\ + p_{110} e^{i (t_{1} + t_{2})} + p_{101} e^{i (t_{1} + t_{3})} + p_{011} e^{i (t_{2} + t_{3})} + p_{111} e^{i (t_{1} + t_{2} + t_{3})} \end{aligned}

$\begin{align} Ee^{i(t_1X_1+t_2X_2+t_3X_3)}&=p_{000}+p_{100}e^{it_1}+p_{010}e^{it_2}+p_{001}e^{it_3}\\\\ &+p_{110}e^{i(t_1+t_2)}+p_{101}e^{i(t_1+t_3)}+p_{011}e^{i(t_2+t_3)}+p_{111}e^{i(t_1+t_2+t_3)} \end{align}$ Bu ifadeyi şekilde yeniden düzenlemek mümkün değildir . Gauss rasgele değişkeni için karakteristik fonksiyon sadece ortalama ve kovaryans parametrelerine bağlıdır. Karakteristik fonksiyonlar dağılımları benzersiz olarak tanımlar, bu yüzden Gaussian sadece ortalama ve kovaryans kullanılarak benzersiz bir şekilde tanımlanabilir. Rastgele değişkeni için gördüğümüz gibi durum böyle değil.

p_{i}

$p_{\mathbf{i}}$

X

$X$

— mpiktas
kaynak

10

Aşağıdaki makaleye bakın:

JL Teugels, çok değişkenli Bernoulli ve binom dağılımlar bazı temsili , çok değişkenli analiz Journal , Vol. 32, hayır. 2, Şubat 1990, 256-268.

İşte özet:

Bernoulli ve binom dağılımları için çok değişkenli ancak vektörize edilmiş versiyonlar, matris hesabından Kronecker ürünü kavramı kullanılarak oluşturulur. Çok değişkenli Bernoulli dağılımı, ikili değişkenler için geleneksel log-lineer modele bir alternatif sağlayan parametreli bir model içerir.

— Hamid
kaynak

2

Bunu paylaştığın için teşekkürler, Hamed. Sitemize hoşgeldiniz!

— whuber

1

Ortaya çıkan dağıtımın ne olduğunu bilmiyorum, ya da bir adı olsa bile, ama bunu ayarlamanın açık yolu bana 2 × 2 × 2 × modellemek için kullanacağınız modeli düşünmektir. … × 2 tablo log-lineer (Poisson regresyon) modelini kullanarak. Yalnızca birinci dereceden etkileşimleri bildiğiniz gibi, tüm üst düzey etkileşimlerin sıfır olduğunu varsaymak doğaldır.

gösterimini kullanarak, bu modele aşağıdakiler verilir:

P (X_{1} = x_{1}, X_{2} = x_{2}, \dots, X_{n} = x_{n}) = \prod_{i} [p_{i}^{x_{i}} (1 - p_{i})^{1 - x_{i}} \prod_{j < i} {(\frac{p_{i j}}{p_{i} p_{j}})}^{x_{i} x_{j}}]

$P(X_1=x_1, X_2=x_2,\ldots,X_n=x_n) = \prod_i \left[ p_i^{x_i}(1-p_i)^{1-x_i} \prod_{j<i} \left(\frac{p_{ij}}{p_i p_j}\right)^{x_i x_j} \right]$

— bir durak
kaynak

Vardır: Bu formül simge sorunları olan 'solda ve sağda s. Sağ taraf, aboneliğine hiç gönderme . Ayrıca, hala olasılıklar olarak yorumlar (orijinal soruda olduğu gibi), rhs açıkça pozitiftir, oysa lhs pozitif olamaz.

p

$p$

i

$\mathbf{i}$

p_{i}

$p_i$

— whuber

@whuber Oldukça doğru! İlk paragrafta ortaya koyduğum modele bağlı kalıyorum, ama denklemim çeşitli şekillerde berbattı ... MSc'den beri olasılık tablolarının log-lineer modellemesini gerçekten kullanmadığımı gösteriyor ve notları veya kitapları eline aldım. Yine de düzelttiğime inanıyorum. Kabul edersen bana haber ver! Gecikme için apols. Bazı günler beynim cebir yapmaz.

— onestop

1

Bunun işe yaradığını sanmıyorum. Diyelim ki ve . Bu zaman gerçekleşen olasılıklar, geçerli bir kombinasyonudur düzgün bir rasgele değişkendir ve ve tüm . Yine de yukarıdaki formül tüm etkinlikler için 0 olur. Yardımlarınız için hala teşekkürler!

p_{i} = 1 / n

$p_i=1/n$

p_{i j} = 0 \forall i \neq j

$p_{ij}=0 \forall i \ne j$

I

$I$

\in {1, . . ., n}

$\in\{1,...,n\}$

X_{I} = 1

$X_I=1$

X_{j} = 0 \forall j \neq I

$X_j=0 \forall j\ne I$