Durum uzayı modellerinde Kalman filtrelerini açıklama

Durum uzayı modellerinde Kalman filtrelerinin kullanımına ilişkin adımlar nelerdir?

Birkaç farklı formülasyon gördüm , ancak ayrıntılardan emin değilim. Örneğin, Cowpertwait bu denklem seti ile başlar:

$$y_{t} = F^{'}_{t}\theta_{t}+v_{t}$$ $$\theta_{t} = G_{t}\theta_{t-1}+w_{t}$$

burada ve , bilinmeyen tahminlerimizdir ve gözlemlenen değerlerdir.$\theta_{0} \sim N(m_{0}, C_{0}), v_{t} \sim N(0,V_{t})$$w_{t} \sim N(0, W_{t})$$\theta_{t}$$y_{t}$

Cowpertwait ilgili dağılımları tanımlar (sırasıyla önceki, olabilirlik ve arka dağılım):

$$\theta_{t}|D_{t-1} \sim N(a_{t}, R_{t})$$ $$y_{t}|\theta_{t} \sim N(F^{'}_{t}\theta_{t}, V_{t})$$ $$\theta_{t}|D_{t} \sim N(m_{t}, C_{t})$$

ile

$$\begin{eqnarray} a_{t}&= G_{t}m_{t-1}, \qquad R_{t} &= G_{t}C_{t-1}G^{'}_{t} + W_{t} \\ e_{t}&=y_{t}-f_{t}, \qquad m_{t}&=a_{t}+A_{t}e_{t} \\ f_{t}&=F^{'}_{t}a_{t}, \qquad Q_{t}&=F^{'}_{t}R_{t}F_{t}+V_{t} \\ A_{t}&=R_{t}F_{t}Q^{-1}_{t}, \qquad C_{t}&=R_{t}-A_{t}Q_{t}A^{'}_{t} \end{eqnarray}$$

Bu arada, , gözlenen değerleri kadar verilen nin dağılımı anlamına gelir . Daha basit bir gösterim ama Cowpertwait'in gösterimi ile devam edeceğim.$\theta_{t}|D_{t-1}$$\theta_{t}$$y$$t-1$$\theta_{t|t-1}$

Yazar ayrıca beklentiler açısından için tahmini açıklamaktadır :$y_{t+1}|D_{t}$

$$E[y_{t+1}|D_{t}] = E[F^{'}_{t+1}\theta_{t+1} + v_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}E[\theta_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}a_{t+1} = f_{t+1}$$

Anladığım kadarıyla, bunlar adımlar, ancak bir hata veya kesinsizlik olup olmadığını lütfen bana bildirin:

1. , ile başlıyoruz , yani tahminlerimiz için bir değer tahmin ediyoruz .$m_{0}$$C_{0}$$\theta_{0}$
2. için bir değer öngörüyoruz . Bu , olan e eşit olmalıdır . , beri bilinmektedir .$y_{1}|D_{0}$$f_{1}$$F^{'}_{1}a_{1}$$a_{1}$$a_{1} = G_{1}m_{0}$
3. için tahminlerimizi aldıktan sonra , .$y_{1}|D_{0}$$e_{1} = y_{1} - f_{1}$
4. hatası , ve gerektiren arka dağılımı hesaplamak için kullanılır . , önceki ortalamanın ağırlıklı bir toplamı olarak verilir ve hata: .$e_{1}$$\theta_{1}|D_{1}$$m_{1}$$C_{1}$$m1$$a_{1} + A_{1}e_{1}$
5. Aşağıdaki yinelemede, 1. adımdaki gibi tahmin başlıyoruz . Bu durumda, . Yana ve bir beklentisidir zaten önceki adımda hesaplanan ki, o zaman biz hata hesaplamak için devam edebilirsiniz ve önceki dağılımın ortalaması .$y_{2}|D_{1}$$f_{2} = F^{'}_{2}a_{2}$$a_{2} = G_{2}m_{1}$$m1$$\theta_{1}|D_{1}$$e_{2}$$\theta_{2}|D_{2}$

Bence posterior dağılımın hesaplanması bazı insanların güncelleme adımı ve beklentisinin kullanımı tahmin adımıdır.$\theta_{t}|D_{t}$$y_{t+1}|D_{t}$

Kısaca, kovaryans matrislerini hesaplama adımlarını atladım.

Bir şey mi kaçırdım? Bunu açıklamanın daha iyi bir yolunu biliyor musunuz? Bence bu hala biraz dağınık, bu yüzden belki daha açık bir yaklaşım var.

Söylediklerinin doğru olduğunu düşünüyorum ve dağınık olduğunu düşünmüyorum. Bunu ifade etmenin bir yolu, Kalman filtresinin mevcut gözlemlerle tutarsızlıklar ışığında tahminleri değiştiren bir hata düzeltme algoritması olduğunu söylemek olacaktır. Bu düzeltme adım 4) 'de kazanç matrisi kullanılarak .$A_t$