Koşullu Gauss dağılımlarının ardındaki sezgi nedir?

Diyelim ki . Daha sonra, normalde ortalama olarak dağıtıldığı çok değişkenli olduğu göz önüne alındığında , koşullu dağılımı: $\mathbf{X} \sim N_{2}(\mathbf{\mu}, \mathbf{\Sigma})$ $X_1$ $X_2 = x_2$

E [P (X_{1} | X_{2} = x_{2})] = μ_{1} + \frac{σ_{12}}{σ_{22}} (x_{2} - μ_{2})

$E[P(X_1 | X_2 = x_2)] = \mu_1+\frac{\sigma_{12}}{\sigma_{22}}(x_2-\mu_2)$

ve varyans:

V a r [P (X_{1} | X_{2} = x_{2})] = σ_{11} - \frac{σ_{12}^{2}}{σ_{22}}

${\rm Var}[P(X_1 | X_2 = x_2)] = \sigma_{11}-\frac{\sigma_{12}^{2}}{\sigma_{22}}$

Daha fazla bilgiye sahip olduğumuz için varyansın azalacağı mantıklı. Fakat ortalama formülün ardındaki sezgi nedir? ve arasındaki kovaryans şartlı olarak nasıl bir ? $X_1$ $X_2$

normal-distribution multivariate-analysis intuition

— eroeijr
kaynak

Sorunuz basitçe 'neden koşullu dağıtımın anlamı = ' değil mi?

μ_{1}

$\mu_1$

— gung - Reinstate Monica

@gung: Bu, eğer ise geçerlidir . Fakat neden ve dahil?

x_{2} = μ_{2}

$x_2 = \mu_2$

σ_{11}

$\sigma_{11}$

σ_{22}

$\sigma_{22}$

— eroeijr

Doğal ("standartlaştırılmış") birimlerde ; burada . Bu şartlara göre koşullu dağılım ve in "ortalama ters çevirme" veya "ortalamanın gerilemesi " olarak adlandırıldığı gerçeği : 130 yıl öncesine ait geniş bir teknik ve popüler literatür var.

X_{i} = μ_{1} + σ_{i} Z_{i}

$X_i=\mu_1+\sigma_iZ_i$

σ_{i} = \sqrt{σ_{i i}}

$\sigma_i=\sqrt{\sigma_{ii}}$

E (Z_{1} | Z_{2}) = ρ Z_{2}

$\mathbb{E}(Z_1|Z_2)=\rho Z_2$

ρ = σ_{12} / (σ_{1} σ_{2}) .

$\rho=\sigma_{12}/(\sigma_1\sigma_2).$

| ρ | \leq 1

$|\rho|\le 1$

— whuber

Söylesene, eroeijr, bu mesaj senin mi? (Başlangıçtaki 'konuk' dışında, isimler arasında belirgin bir benzerlik vardır.) Sizinkine göre, iki hesabı birleştirmek ve sahip olacağınız puanları alarak o büyük bonusu almanız gerekir.

— Glen_b 28:13

@Glen_b'in önerdiği gibi, eğer birden fazla (kayıtsız) hesabınız varsa, lütfen şu formu doldurun, istatistik.stackexchange.com/contact adresindeki formu doldurun ve birleştirmelerini isteyin.

— chl

özet

Sorudaki her ifade elipslerin bir özelliği olarak anlaşılabilir. Sadece gerekli olan iki değişkenli normal dağılıma özellikle tesisinde de gerçektir standart iki değişkenli normal dağılım burada Bora'nın ve koşullu varyans - ilintisiz $X,Y$ $X$ $Y$ bağlı değildir . (Bu da korelasyon eksikliğinin ortak Normal değişkenler için bağımsızlık anlamına gelmesinin hemen bir sonucudur.) $Y$ $X$

Aşağıdaki analiz, elipslerin hangi özelliklerinin dahil olduğunu ve temel fikirleri ve mümkün olan en basit aritmetiği kullanarak kolayca hatırlanması amaçlanan bir sorunun tüm denklemlerini türetdiğini göstermektedir.

Dairesel simetrik dağılımlar

Sorunun dağılımı iki değişkenli Normal dağılım ailesinin bir üyesidir. Hepsi, birbiriyle ilişkili olmayan iki standart Normal dağılımını (iki koordinatını oluşturan) tanımlayan standart iki değişkenli Normal bir temel üyeden türetilir .

Şekil 1: Standart iki değişkenli normal dağılım

Sol taraf, standart iki değişkenli normal yoğunlukta bir kabartma çizimdir. Sağ taraf, ön kısmı dilimlenmiş halde, sözde 3D'de aynı gösterir.

Bu, dairesel olarak simetrik bir dağılım örneğidir : yoğunluk, bir merkezi noktadan olan mesafeye göre değişir, ancak o noktadan uzaklaşmayacak şekilde değişir. Böylece grafiğinin dış çizgileri (sağda) dairelerdir.

Diğer iki değişkenli Normal dağılımlar dairesel olarak simetrik değildir, ancak: kesitleri elipslerdir. Bu elipsler, iki değişkenli nokta bulutlarının karakteristik şeklini modellemektedir.

Şekil 2: Başka bir iki değişkenli normal dağılım, çizilen

Bunlar, iki değişkenli normal dağılımların kovaryans matrisiyle Bu korelasyon katsayısı ile veri için bir modeldir. $\Sigma = \left(\begin{array}{cc} 1 & -\frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} & 1 \\\end{array}\right).$ $-2/3$

Elips Nasıl Oluşturulur

Bir elips - en eski tanımına göre - bir çıkıntı tarafından başka bir düzleme çarpıtılmış bir daire olan konik bir bölümdür. Projeksiyonun doğasını göz önünde bulundurarak, tıpkı görsel sanatçıların yaptığı gibi, onu anlamak ve hesaplanması kolay bir çarpıtma dizisine ayırabiliriz.

İlk önce, elipsin uzun ekseni olacak şekilde, doğru uzunlukta olana kadar daireyi gerin (veya gerekirse sıkıştırın):

1. Adım: gerin

Daha sonra, bu elipsin küçük ekseni boyunca sıkıştırın (veya uzatın):

Adım 2: sıkın

Üçüncüsü, merkezini çevresinde son oryantasyonuna çevirin:

3. Adım: döndürün

Son olarak, istediğiniz konuma kaydırın:

4. Adım: vardiya

Bunların hepsi afin dönüşümleri. (Aslında, ilk üçü doğrusal dönüşümlerdir ; son kayma onu affetir.) Afin dönüşümlerinin bir bileşimi (tanım gereği) hala afed olduğundan, daireden son elipsin net bozulması bir afin dönüşümüdür. Ancak biraz karmaşık olabilir:

Kompozit dönüşüm

Elipsin (doğal) eksenlerine ne olduğuna dikkat edin: kayma ve sıkma ile yaratıldıktan sonra (tabii ki) eksenin kendisiyle birlikte döndürülerek kaydırıldılar. Çizili olmadıklarında bile bu eksenleri kolayca görüyoruz çünkü elipsin simetri eksenleridir.

Elipsler anlayışımızı, iki değişkenli Normal aile gibi çarpık dairesel simetrik dağılımları anlamada uygulamak istiyoruz. Maalesef, bu çarpıtmalarda bir sorun var : ve eksenleri arasındaki uymuyorlar. 3. adımdaki dönüş bunu mahveder. Zayıf bak arka ızgaraları koordinat örgü (a ızgaraya ne bu göstermek $x$ $y$ $1/2$ her iki yöne de olsa). İlk görüntüde, orijinal dikey çizgiler (gösterilen katı) arasındaki boşluk iki katına çıkar. İkinci görüntüde, orijinal yatay çizgiler (aralıklı gösterilen) arasındaki boşluk üçte bir oranında küçülür. Üçüncü resimde, ızgara boşlukları değişmez, ancak tüm çizgiler döndürülür. Dördüncü görüntüde yukarı ve sağa kayarlar. Ağ sonucunu gösteren son görüntü, bu gerilmiş, sıkılmış, döndürülmüş, kaydırılmış ızgarayı görüntüler. Sabit koordinatının orijinal kesintisiz çizgileri artık dikey değildir. $x$

Anahtar fikir --one öyle söylemek girişim olabilir regresyon püf noktası - daire elips içine bozuk edilebileceği bir yolu var olmasıdır dikey çizgiler dönen olmadan . Dönme suçlu olduğu için, kovalamacayı keselim ve hiçbir şeyi döndürmek için görünmeden döndürülmüş bir elipsin nasıl oluşturulduğunu gösterelim !

Eğri elips

Bu bir çarpıklık dönüşümüdür. Aslında aynı anda iki şey yapar:

yönünde sıkar ( miktarıyla ). Bu, eksenini yalnız bırakır . $y$ $\lambda$ $x$
Ortaya çıkan herhangi bir noktayı doğrudan orantılı bir miktarda kaldırır . Bu orantılılık olarak , ye gönderir . $(x,y)$ $x$ $\rho$ $(x,y)$ $(x, y+\rho x)$

İkinci adım, eksenini önceki şekilde gösterilen çizgisine yükseltir . Bu şekilde gösterildiği gibi, elipsi 45 derece döndüren ve birim kareye yazan özel bir çarpıklık dönüşümü ile çalışmak istiyorum. Bu elipsin ana ekseni, çizgisidir . Bu görsel olarak belirgindir . (Negatif değerler aşağı sağa doğru ziyade up elips eğin.) Bu geometrik açıklama "demek için regresyon." $x$ $y=\rho x$ $y=x$ $|\rho| \le 1$ $\rho$

45 derecelik bir açı seçmek, elipsin karenin köşegeninin çevresinde ( çizgisinin bir kısmı) simetrik olmasını sağlar . Bu çarpıklık dönüşümünün parametrelerini bulmak için, aşağıdakilere dikkat edin: $y=x$

kaldırma , noktası ila taşır . $\rho x$ $(1,0)$ $(1,\rho)$
Ana diyagonal etrafındaki simetri daha sonra elipsin üzerinde de durduğu noktasını ima eder . $(\rho, 1)$

Bu nokta nerede başladı?

Birim çember üzerinde orijinal (üst) noktası (sahip kapalı denklemi ) ile koordinatı idi $x^2+y^2=1$ $x$ $\rho$ . $(\rho, \sqrt{1-\rho^2})$
Formun herhangi bir noktası ilk önce sıkılmış ve sonra . $(\rho, y)$ $(\rho, \lambda y)$ $(\rho, \lambda y + \rho\times\rho)$

Denklem için benzersiz çözüm olup $(\rho, \lambda \sqrt{1-\rho^2} + \rho^2) = (\rho, 1)$ . Dikey doğrultuda tüm mesafelerindikey olarakzaman 45 derecelik açıyla bir elips oluşturmak için sıkıştırılması gereken miktar budur. $\lambda = \sqrt{1-\rho^2}$ $\rho$

Bu fikirleri sağlamlaştırmak için , burada dairesel bir simetrik dağılımın bu çarpık dönüşümler aracılığıyla eliptik kontürlerle dağılımlara nasıl çarpıştığını gösteren bir tablodur. Paneller değerleri göstermektedir kadar eşit ve soldan sağa doğru. $\rho$ $0,$ $3/10,$ $6/10,$ $9/10,$

tablo

En soldaki şekil, dairesel konturların birinin yanı sıra yatay eksenin bir kısmı etrafında bir başlangıç noktaları kümesi gösterir. Sonraki rakamlar, bu noktaların nasıl hareket ettiğini göstermek için okları kullanır. Yatay eksenin görüntüsü eğimli bir çizgi parçası olarak görünür ( eğim ile ). (Renkler farklı şekillerde farklı yoğunluk miktarlarını temsil eder.) $\rho$

Uygulama

Regresyon yapmaya hazırız. Regresyonun gerçekleştirilmesi için standart, zarif (henüz basit) bir yöntem ilk önce orijinal değişkenleri yeni ölçüm birimlerinde ifade etmektir: biz onları kendi araçlarına göre merkezleriz ve standart sapmalarını birim olarak kullanırız. Bu, dağılımın merkezini orijine kaydırır ve tüm eliptik konturlarını 45 derece (yukarı veya aşağı) eğik yapar.

Bu standardize edilmiş veriler dairesel bir nokta bulutu oluşturduğunda, regresyon kolaydır: koşullu olduğu araçların hepsi , kökeninden geçen bir çizgi oluşturur. (Dairesel simetri, koşuluna göre simetriyi ifade eder , tüm koşullu dağılımların simetrik olduğunu gösterir, bu nedenle araca sahiptirler.) Görüldüğü gibi, standartlaştırılmış dağılımı bu basit basit durumdan kaynaklanan iki adımda görebiliriz: ilk tüm (standartlaştırılmış) değerleri ile çarpılır. $x$ $0$ $x$ $0$ $y$ arasında bir değeri için; daha sonra,koordinatlıtüm değerlerdikey olarakçarpıtılır. Bu çarpıtmalar regresyon çizgisine ne yaptı (koşullu araçlarıkarşı)? $\sqrt{1-\rho^2}$ $\rho$ $x$ $\rho x$ $x$

koordinatlarının daralması, tüm dikey sapmaları sabitle çarptı. Bu sadece dikey ölçeği değiştirdi ve tüm koşullu araçları değiştirilmedi . $y$ $0$
Dikey eğriltme dönüşüm ilave tüm koşullu değerlere ve böylece ekleme eğrisi: kendi koşullu ortalama için bir çizgi olduğu ortaya çıkıyor olan regresyon eğrisi. $\rho x$ $x$ $\rho x$ $y=\rho x$

Benzer şekilde, ekseninin dairesel simetrik dağılıma en küçük kareler olduğu için, dönüştürülmüş dağılıma en küçük karelerin de : en küçük kareler çizgisinin regresyon çizgisine denk geldiğini doğrulayabiliriz . $x$ $y=\rho x$

Bu güzel sonuçlar, dikey eğriltme dönüşümünün herhangi bir koordinatını değiştirmemesinin bir sonucudur . $x$

Kolayca daha fazlasını söyleyebiliriz:

Gösterir (küçülmez) ilk madde olduğu zaman sahip bir dairesel simetrik dağılımı, Koşullu varyans ile çarpıldı $(X,Y)$ $Y|X$ . $\left(\sqrt{1-\rho^2}\right)^2 = 1 - \rho^2$
Daha genel olarak: dikey eğriltme dönüşüm her koşullu dağılımı yeniden ölçeklendirilir ve ardından yeni gelenler. $\sqrt{1-\rho^2}$ $\rho x$

$1$ $x$ $1-\rho^2$

$\rho$ $\Sigma$ $X$ $Y$ $XY$ $X$ $Y$ $(X,Y)$

ε = Y - ρ X

$\varepsilon = Y - \rho X$

$\varepsilon$ $0$ $Y$ $0$ $\rho X$ $\rho X$

Koşullu dağılımları ve en küçük kareler çizgisini gösteren 3B arsa

$x$ $\rho = -1/2$

sonuç olarak

E (X Y) = E (X (ρ X + ε)) = ρ E (X^{2}) + E (X ε) = ρ (1) + 0 = ρ .

$\mathbb{E}(XY) = \mathbb{E}\left(X(\rho X + \varepsilon)\right) = \rho\mathbb{E}(X^2) + \mathbb{E}(X\varepsilon) = \rho(1) + 0=\rho.$

$X$ $1$ $X\varepsilon$ $X(-\varepsilon)$ $\varepsilon$ $0$

$\rho$ $X$ $Y$

Sonuçlar

$x$ $(X,Y)$ $x$ $y$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$

$(\mu_x,\mu_y)$
$\{(x, \rho x)\},$
$\rho$ $\sigma_y \rho / \sigma_x$

Sonuç olarak, regresyon çizgisinin denklemi

y = \frac{σ_{y} ρ}{σ_{x}} (x - μ_{x}) + μ_{y} .

$y = \frac{\sigma_y\rho}{\sigma_x}\left(x - \mu_x\right) + \mu_y.$

$Y|X$ $\sigma_y^2(1-\rho^2)$ $Y'|X'$ $(X',Y')$ $X'=(X-\mu_X)/\sigma_x$ $Y'=(Y-\mu_Y)/\sigma_Y$

$Y'|X'$ $1$

$\Sigma$ $\sigma_{11}=\sigma_x^2,$ $\sigma_{12}=\sigma_{21}=\rho\sigma_x\sigma_y,$ $\sigma_{22}=\sigma_y^2,$ $Y|X$

σ_{y}^{2} (1 - ρ^{2}) = σ_{22} (1 - {(\frac{σ_{12}}{\sqrt{σ_{11} σ_{22}}})}^{2}) = σ_{22} - \frac{σ_{12}^{2}}{σ_{11}} .

$\sigma_y^2(1-\rho^2)=\sigma_{22}\left(1-\left(\frac{\sigma_{12}}{\sqrt{\sigma_{11}\sigma_{22}}}\right)^2\right)=\sigma_{22} - \frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{11}}.$

Teknik Notlar

$y$

(\begin{array}{cc} 1 & ρ \\ ρ & 1 \end{array}) = A A^{'}

$\left(\begin{array}{cc} 1 & \rho \\ \rho & 1 \\\end{array}\right) = \mathbb{A}\mathbb{A}'$

nerede

A = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ ρ & \sqrt{1 - ρ^{2}} \end{array}) .

$\mathbb{A} = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \rho & \sqrt{1-\rho^2} \\\end{array}\right).$

Çok daha iyi bilinen bir karekök başlangıçta tarif edilen (bir çarpık dönüşüm yerine bir döndürme içeren); tekil bir değer ayrışması tarafından üretilen ve temel bileşen analizinde (PCA) belirgin bir rol oynar:

(\begin{array}{cc} 1 & ρ \\ ρ & 1 \end{array}) = B B^{'};

$\left(\begin{array}{cc} 1 & \rho \\ \rho & 1 \\\end{array}\right) = \mathbb{B}\mathbb{B}';$

B = Q (\begin{array}{cc} \sqrt{ρ + 1} & 0 \\ 0 & \sqrt{1 - ρ} \end{array}) Q^{'}

$\mathbb{B} = \mathbb{Q} \left( \begin{array}{cc} \sqrt{\rho +1} & 0 \\ 0 & \sqrt{1-\rho } \\ \end{array} \right)\mathbb{Q}'$

$\mathbb{Q} = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right)$ $45$

Bu nedenle, PCA ve regresyon arasındaki fark, korelasyon matrisinin iki özel kare kökü arasındaki farka iner.

— whuber
kaynak

Güzel resimler ve harika açıklamalar. Güncellemede eksik bırakılmış birkaç cümle vardı (temelde ne söyleyeceğinizi bildiğiniz ancak son ifadelere yerleşmediğiniz gibi).

— kardinal

@Cardinal Teşekkürler. Bunu tekrar okuyacağım ve kaçınılmaz yazım hataları için olduğu gibi böyle şeyler de arayacağım. Fuardaki bazı boşluklar gibi, kesinlikle fark ettiğiniz şeyleri belirtmek için çok kibarsınız. En büyüğü, aslında bu elipslerin 45 derece açıda olduğunu göstermedim (eşdeğer, birim karede yazılı); Ben sadece bunu varsaydım. Hala basit bir gösteri arıyorum. Diğeri ise, eğriltme dönüşümünün orijinal streç-sıkma-döndürme-kaydırmasından farklı bir dağıtım üretebileceğinden endişe edebileceğidir - ama olmadığını göstermek kolaydır.

— whuber

Bu gerçekten ilginç. Yazmaya zaman ayırdığınız için teşekkür ederiz.

— Bill

Başvuruların 1. paragrafında şöyle yazıyor: "biz onları kendi araçlarına göre merkezliyoruz ve standart sapmalarını birimler olarak kullanıyoruz. Bu, dağıtımın merkezini orijine taşır ve tüm eliptik hatlarını 45 derece eğik yapar" Değişkenlerin merkezlerinde nasıl merkezlendiğini, merkezlerini orijine nasıl taşıdıklarını ve bunları 45 dereceye getirdiklerini anlıyor musunuz?

— Kaushal28

@whuber birim çemberle başladığınızda (standartlaştırılmış örneklem kümesi), korelasyonun 0 olduğunu söylersiniz, bu yüzden sanırım gibi bir daire elde ederiz.

f (X, Y) = e^{\frac{1}{2} (x^{2} + y^{2})}

$f(X,Y)=e^{\frac{1}{2}{(x^2 + y^2)}}$

f (X, Y)

$f(X,Y)$

f (X) f (Y)

$f(X)f(Y)$

$Y$ $X=x_i$ $X$ $X_1$ $X_2$ $0$ $X_2$ $x_1$ Çok değişkenli dağılımın neresini kesiyorsanız. Aşağıdaki şekilde düşünün:

görüntü tanımını buraya girin

$X_1$ $X_2$ $X_2$ $X_1$ $\mu_{X_2|X_1=25}\ne\mu_{X_2|X_1=45}$ .

$\sigma_{22}$ $\Sigma$ $X_2$ $\sigma^2$ $\sigma$

$\hat y_i$

{\hat{β}}_{1} = \frac{Cov (x, y)}{Var (x)}

$\hat\beta_1=\frac{\text{Cov}(x,y)}{\text{Var}(x)}$

^{σ_{12}} /_{σ_{22}}

$^{\sigma_{12}}/_{\sigma_{22}}$

μ_{X_{2} | X_{1} = x_{i}}

$\mu_{X_2|X_1=x_i}$

μ_{X_{2}}

$\mu_{X_2}$

μ_{X_{2}}

$\mu_{X_2}$

x_{2 i}

$x_{2i}$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— gung - Eski Monica
kaynak

Daha fazla değişken şartlandırırsanız ne olur? Sadece ortalamadan ve varyanstan ekstra terimler ekleyip çıkaracaksınız.

Y

$Y$

X

$\bf X$

{\hat{y}}_{i} = X_{i} \hat{β}

$\hat y_i=\bf X_i \boldsymbol{\hat\beta}$

\hat{β} = (X^{T} X)^{- 1} X^{T} Y

$\boldsymbol{\hat\beta}=(\bf X^TX)^{-1}X^TY$

Grafiği üretmek için ne kullandın? Mathematica?

— mpiktas

@mpiktas, grafiğim ya da whuber'in? Onun Mathematica olduğuna inanıyorum, ancak ben bir üst üste w / R yaptım (Çirkin kod olsa da ...)

— gung - Reinstate Monica

@mpiktas, kodumun "harika" olarak tanımlanması gerektiğini hayal edemiyorum ... Normal eğriler w / çizilir dnorm(y). Çıktıyı yalnızca 25& 45, & as as x.

— gung - Reinstate Monica

$X_1$ $X_2$ $\sigma_{1,2}>0$ $X_2$ $X_2$ $X_1$ $X_1$

$X_2=\mathit{x}_2>\mu_2$ $X_2$ $X_1$ $\sigma_{1,2}>0$ $X_1$ $X_2$ $X_2$ $X_1$

E {X_{1} | X_{2} = x_{2}} = μ_{1} + \frac{σ_{1, 2}}{σ_{2, 2}} (x_{2} - μ_{2})

$\begin{equation} E\{X_1 | X_2=\mathit{x}_2\} = \mu_1 + \frac{\sigma_{1,2}}{\sigma_{2,2}}\left( \mathit{x}_2-\mu_2\right) \end{equation}$

X_{2}

$X_2$

E {X_{1} | X_{2} = x_{2}} > μ_{1}

$E\{X_1 | X_2=\mathit{x}_2\} > \mu_1$

$X_1$ $X_2$

B L P {X_{1} | X_{2} = x_{2}} = μ_{1} + \frac{σ_{1, 2}}{σ_{2, 2}} (x_{2} - μ_{2})

$\begin{equation} BLP\{X_1 | X_2=\mathit{x}_2\} = \mu_1 + \frac{\sigma_{1,2}}{\sigma_{2,2}}\left( \mathit{x}_2-\mu_2\right) \end{equation}$

B L P

$BLP$

— fatura
kaynak

x_{2} - μ_{2}

$x_2-\mu_2$

σ_{12} / σ_{22}

$\sigma_{12}/\sigma_{22}$

x_{2} > μ_{2}

$\mathit{x}_2>\mu_2$

E (X_{1} | X_{2} = x_{2}) < μ_{1}

$E(X_1|X_2=\mathit{x}_2)<\mu_1$

σ_{1, 2} > 0

$\sigma_{1,2}>0$

"Sezgisel", "kantitatif olmayan" anlamına gelmez: ikisi birlikte gidebilir. Kantitatif sonuçlar veren sezgisel bir argüman bulmak genellikle zordur, ancak sıklıkla yapılabilir ve böyle bir argüman bulma süreci daima aydınlatıcıdır.

— whuber

Son paragrafta: Normal dağılımın çok özel olmadığını öğrendim: Dairesel simetrik dağılımların afin dönüşümleriyle yaratılan aileler özel olanlardır (bunlardan çok vardır).

— whuber

@whuber Bu oldukça ilginç. Bir bağlantın veya alıntı var mı?

— Bill