Hiyerarşik Gamma-Poisson modeli için aşırı yoğunluk

Verileri bir hiyerarşik model içerisinde burada \ lambda \ sim \ textrm {Gama} (\ a \ P) uygulamada tipik olarak görünmektedir değerlerine (seçilmek için \ alfa, \ beta) gama dağılımının ortalaması ve varyansı kabaca y verilerinin ortalaması ve varyansı ile kabaca eşleşecektir (örneğin, Clayton ve Kaldor, 1987 "Hastalık Haritalaması için Yaş Standartlaştırılmış Göreceli Risklerin Ampirik Tahminleri" Biyometri ). Açıkçası bu sadece ad hoc bir çözümdür, çünkü araştırmacının parametrelere olan güvenini (\ alpha, \ beta) abartacaktır.y ∼ Poisson ( λ ) λ ∼ Gama ( α , β ) α , β ) $y$

$$y \sim \textrm{Poisson}(\lambda)$$ $$\lambda \sim \textrm{Gamma}(\alpha, \beta)$$ $\alpha, \beta)$$y$$(\alpha, \beta)$ve gerçekleşen verilerdeki küçük dalgalanmaların altında yatan veri oluşturma süreci aynı kalsa bile gama yoğunluğu için büyük sonuçlar olabilir .

Bunun yanı sıra, Bayes Veri Analizi (2 nci baskı), Gelman bu yöntem yazar " özensiz ;" kitapta ve bu makalede (s. 3232'den başlayarak), bunun yerine sıçan tümörleri örneğine benzer bir şekilde bazı hiperprior yoğunluk $p(\alpha, \beta)$ seçilmesi gerektiğini önermektedir (başlangıç ​​s. 130).

Herhangi bir $p(\alpha, \beta)$ sonlu bir posterior yoğunluk ürettiği sürece kabul edilebilir olduğu açık olsa da , araştırmacıların geçmişte bu sorun için kullandığı hiper prior yoğunluklara ilişkin herhangi bir örnek bulamadım. Birisi beni bir Poisson-Gama modelini tahmin etmek için aşırı yüksek yoğunluklu kitaplara veya makalelere yönlendirebilirse çok memnun olurum. İdeal olarak, nispeten düz olan ve sıçan tümör örneğindeki gibi verilerle baskın olacak olan $p(\alpha, \beta)$ veya birkaç alternatif spesifikasyonu ve her biri ile ilişkili ödünleşmeleri karşılaştıran bir tartışma ile ilgileniyorum .

Soruyu gerçekten cevaplamıyorum, çünkü sizi bir hiper prior kullanan kitaplara veya makalelere işaret etmiyorum, bunun yerine Gamma parametreleriyle ilgili önceliklerle ilgili şeyleri açıklıyorum ve bunlara bağlantı veriyorum.

İlk olarak, Poisson-Gamma modelinin entegre edildiğinde ve parametreleriyle Negatif Binom dağılımına yol açtığını unutmayın . İkinci parametre aralığındadır . Bilgisiz olmak istiyorsanız, öncesinde bir Jeffreys uygun olabilir. Öncekini doğrudan koyabilir veya aşağıdakileri elde etmek için değişkenleri değiştirerek çalışabilirsiniz:α β / ( 1 + β ) ( 0 , 1 ) p = β / ( 1 + β ) $\lambda$$\alpha$$\beta/(1+\beta)$$(0,1)$$p = \beta/(1+\beta)$$p$

$p(\beta) \propto \beta^{-1/2}(1+\beta)^{-1}$

Alternatif olarak, bu notu olabilir genel olarak, Gama dağıtımı için ölçekli bir parametredir ve önce bir ölçü parametredir için, Jeffreys olan . Beta'dan önceki Jeffreys'in iki model arasında farklı olması garip gelebilir , ancak modellerin kendileri eşdeğer değildir; biri dağıtımı içindir ve diğeri . Birincisi lehine yapılan bir argüman, kümelenme olmadığı varsayılarak, verilerin gerçekten Negatif Binom'a dağıtıldığından , öncelikleri doğrudan ve koymaktır.β 1 / β β y | α , β λ | α $\beta$$\beta$$1/\beta$$\beta$$y | \alpha, \beta$$\lambda | \alpha, \beta$$(\alpha, p)$$\alpha$$p$yapılacak şeydir. OTOH, örneğin, verilerde her kümedeki gözlemlerin aynı sahip olduğu kümeler varsa, gerçekten şekilde modellemeniz gerekir ve bu nedenle bir Gamma dağılımının ölçek parametresi olarak davranmanız gerekir daha uygun görünüyor. (Muhtemelen tartışmalı bir konu hakkındaki düşüncelerim.)$\lambda$$\lambda$$\beta$

İlk parametre Jeffreys önceliklerinden de geçilebilir. Her bir parametre için bağımsız olarak Jeffreys önceliklerini geliştirmek için ortak bir teknik kullanırsak ve sonra iki tek parametreli önceliğin ürünü olarak eklemi (Jeffrey olmayan) oluşturursak, bir Gama dağılımının şekil parametresi için bir önceliği alırız :$\alpha$

$p(\alpha) \propto \sqrt{\text{PG}(1,\alpha)}$

burada çok eşleme işlevi . Tuhaf, ama aşılabilir. Bilgiyi dağıtmadan önce bilgilendirici bir eklem elde etmek için bunu yukarıdaki Jeffreys öncüllerinden herhangi biriyle birleştirebilirsiniz. Gamma ölçeği parametresi için önceki ile birleştirilmesi , Gamma parametreleri için önceki bir başvuruyla sonuçlanır. 1 /$\text{PG}(1,\alpha) = \sum_{i=0}^{\infty}(i+\alpha)^{-2}$$1/\beta$

Gamma parametreleri için gerçek Jeffreys'i oluşturan Tam Jeffreys rotasına gitmek istersek, şunu elde ederiz:

$p(\alpha, \beta) \propto \sqrt{\alpha \text{PG}(1,\alpha)-1}/\beta$

Bununla birlikte, çok boyutlu parametreler için Jeffreys öncelikleri genellikle zayıf özelliklere ve zayıf yakınsama özelliklerine sahiptir ( dersle bağlantıya bakınız ). Gamma için durumun bu olup olmadığını bilmiyorum, ancak test etmek bazı yararlı bilgiler sağlayacaktır.

Gama ile ilgili öncelikler hakkında daha fazla bilgi için, Bilgilendirici Olmayan Öncelikler Kataloğu , Yang ve Berger'in 13-14. Sayfalarına bakın . Çok sayıda başka dağıtım da orada. Jeffreys'e genel bir bakış ve referans öncelikleri için bazı ders notları .