Gama ve lognormal dağılımlar

Bir gama veya lognormal dağılıma çok benzeyen deneysel olarak gözlemlenmiş bir dağılımım var. Lognormal dağılımın , ortalamasının ve varyansının sabit olduğu rastgele bir için maksimum entropi olasılık dağılımı olduğunu okudum . Gama dağılımının benzer özellikleri var mı? $X$ $\ln(X)$

pdf gamma-distribution lognormal

— OSE
kaynak

Bu özellik neden uygun bir model olacağına karar vermede neden bir değer olsun?

— Glen_b -Reinstate Monica 9:13

@Glen_b İstatistikleri söz konusu olduğunda hala acemiyim, bu yüzden bilgim oldukça basit. Gama ve lognormal dağılımların alanlarına baktığımızda, niteliksel olarak çok benzer görünüyorlar. İkisi arasındaki nicel farklılıkları arıyorum. Örneğin, gama veya lognormal dağılımların meydana geldiği bazı fiziksel uygulama örnekleri nelerdir?

— OSE

Gerçekte, muhtemelen hiçbir zaman gerçekleşmez; Bunlar, bazen kullanışlı (kaba ise) gerçekliğin yaklaşımları olan olağanüstü basit modellerdir. Nitel farklılıkları tartışan bir cevap göndereceğim.

— Glen_b -Reinstate Monica 9:13

@glen_b: Bunun nedeni, eğer sadece bu istatistikleri ölçüyorsanız, asgari varsayımsal dağılımın, bu yeterli istatistiklere sahip olan üssel aile dağılımıdır. Herhangi bir dağılımın, gerçeğin zayıf bir modeli olabileceği halde, eğer hangi ölçümlerin alındığını seçmekte özgür değilse, o zaman bu bir model seçmek için mükemmel bir yoldur.

— Neil G

@Glen_b Lognormal dağılımın CLT nedeniyle bazı fiziksel durumlarda görünmesi gerektiğini düşünüyorum.

— Stéphane Laurent

Yanıtlar:

Niteliksel farklılıklara gelince, lognormal ve gama, dediğiniz gibi, oldukça benzerdir.

Gerçekten, pratikte aynı fenomeni modellemek için sıklıkla kullanılırlar (bazı insanlar başkalarının lognormal kullandığı bir gama kullanırlar). Her ikisi de, örneğin, sabit katsayılı değişkenlik modelleridir (lognormal için CV, , gama için ). $\sqrt{e^{\sigma^2} -1}$ $1/\sqrt \alpha$

$\mu$ $\beta$ $\mu=\alpha\beta$ $\alpha$ $\mu$ $\mu$ $\alpha$ $\sigma$

Günlüklerinin yoğunluğuna bakmayı öğretici bulabilir , bu genellikle çok açık bir fark gösterir.

Lognormal rasgele değişkenin günlüğü normaldir. Simetriktir.

Bir gama rasgele değişkeni günlüğü sola yatar. Shape parametresinin değerine bağlı olarak, yamuk veya neredeyse simetrik olabilir.

İşte lognormal ve gamma ortalama 1 ve varyans 1/4 olan bir örnek. En üstteki grafik yoğunlukları (yeşil renkte gama, mavi renkte lognormal) ve düşük değer ise günlüklerin yoğunluğunu gösterir:

gama ve lognormal, log yoğunluğu ve yoğunluğu

(Günlük yoğunluğunun kütüğünün çizilmesi de faydalıdır. Yani, yukarıdaki y ekseninde bir kütük ölçeği alarak)

$\text{CV}^3+3\text{CV}$ $2\text{CV}$

— Glen_b -Reinstate Monica
kaynak

+1. Gama kütüğünün eğriliği için kapalı bir formül olup olmadığını biliyor musunuz? Lognormal için logun çarpıklığı açıkça sıfırdır ve gama için bir ifade olup olmadığını merak ediyorum. Wikipedia, kütüğün (gamma) ortalaması ve varyansı için formüller verir, fakat eğriltme için değil.

— amip diyor Reinstate Monica

\int_{0}^{\infty} x^{ν - 1} e^{- μ x} (\ln x)^{p} d x

$\int_0^\infty x^{\nu-1}e^{-\mu x}(\ln x)^p dx$

p = 2, 3, 4

$p=2,3,4$

p = 1

$p=1$

Γ, ψ

$\Gamma, \psi$

ζ

$\zeta$

p

$p$ bir gama fonksiyonunun bir türevi olarak, muhtemelen daha yükseğe çıkmak mümkündür. Öyleyse, çarpıklık kesinlikle yapılabilir ancak özellikle "temiz" değildir. Eğer peşinden gitmek istersen, sana integralleri verebilirim.

— Glen_b

Ancak, işaretini ayırt etmek için eğriliği değerlendirmemize gerek yok. Tomruk yoğunluğunun kütüğünün incelenmesi, bir tarafın diğerine açıkça hakim olduğu için yeterli olmalıdır.

— Glen_b

Sağol Glen. Yeni bir soru olarak göndermeye karar verdim: stats.stackexchange.com/questions/312803 . Hazır bir cevap aramak için biraz zaman harcadım ama bulamadım, bu yüzden geleceğin bulması kolay bir yere yazması değerli olabilir. Math.SE için biraz daha uygun olabilir ama dürüst olmak gerekirse burada olmasını tercih ederim.

— amip diyor Reinstate Monica

$E(X)$ $E(\log X)$

Bu dağılımları oluşturan fiziksel işlemler hakkındaki sorunuzu yanıtlamak için: Lognormal dağılım, X'in logaritması normal olarak dağıtıldığında, örneğin, X, çok küçük faktörlerin ürünü ise ortaya çıkar. Eğer X gama dağıtılmışsa, üstel olarak dağıtılmış birçok değişkenin toplamıdır. Örneğin, bir Poisson sürecinin birçok olayı için bekleme süresi.

— Neil G
kaynak

"Çok" üstel değişkenlerin Gama olması gerekmez.

— Stéphane Laurent