IID Rastgele Değişkenlerin Toplamlarının Bölüm Beklentisi (Cambridge Üniversitesi çalışma sayfası)

Temel olasılık hakkında iyi bir bilgi gerektiren bir röportaja hazırlanıyorum (en azından röportajın kendisinden geçebilmek için). Öğrenci günlerimden aşağıdaki tabloyu revizyon olarak çalışıyorum. Çoğunlukla oldukça açıktı, ama tamamen 12. soruya düşüyorum.

http://www.trin.cam.ac.uk/dpk10/IA/exsheet2.pdf

Herhangi bir yardım mutluluk duyacağız.

Düzenleme: soru:

nin ve ile bağımsız olarak aynı şekilde dağıtılmış pozitif rastgele değişkenler olduğunu varsayalım . Let . ABS bu zaman ve olduğunda . $X_1, X_2, ...$ $\mathbb{E}(X_1) = \mu < \infty$ $\mathbb{E}(X_1^{-1}) < \infty$ $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$ $m<=n$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = 1 + (m-n)\mu\mathbb{E}(S_n^{-1}))$ $m>=n$

Aslında, bunu yazarken, ikinci kısmı çözdüm.

İçin $m>=n$ , $\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}(X_1+ . . . +X_m)/\mathbb{E}(X_1+ . . . +X_n)$

$=\mathbb{E}(1 + (X_{n+1} + ... + X_m)/(X_1 + ... + X_n))$

ve yukarıdaki oranın pay ve paydası açıkça bağımsızdır, bu yüzden:

$= 1 + \mathbb{E}(X_{n+1} + ... + X_m)\mathbb{E}(S_n^{-1})$

ve istenen sonucu elde ediyoruz.

Yine de ilk kısımda takılı kalıyorum.

probability self-study random-variable

— Spy_Lord
kaynak

Gönderilerin bağımsız olması önemlidir. Sorunun okunabilir bir sürümünü eklemek için lütfen bunu düzenleyin. Ayrıca hangi yaklaşımları denediğinizi ve varsa hangi ilerlemeyi kaydettiğinizi belirtmenizi rica ediyoruz: aksi takdirde cevapların yazılma seviyesini ölçmek için bir temelimiz yoktur.

— whuber

İstendiği gibi güncellendi.

— Spy_Lord

Aferin! İlk bölüm için bir öneri: özdeş kopyasını birlikte , toplamın yalnızca iid varsayımı kullanılarak hesaplanması kolay bir dağıtım olacak gibi görünüyor.

n

$n$

S_{m} / S_{n}

$S_m/S_n$

— whuber

Yazma teklifinizi takdir ediyorum; Bunun sitemize faydalı bir katkı olacağını düşünüyorum.

— whuber

Tamam Sanırım başlangıçta doğru olduğunu düşündüğüm, sonra yanlış olduğuna karar verdiğim adım aslında tamam! Esasen, olan noktaya geldiğinizde, bu, iid özelliği ile ile aynıdır. olduğunu onaylayabilir misiniz? Eğer öyleyse acele sonrası yazacağım.

E ((n X_{1}) / (X_{1} + . . . + X_{n}))

$\mathbb{E}((nX_1)/(X_1+. . . + X_n))$

E ((X_{1} + . . . + X_{n}) / (X_{1} + . . . + X_{n})) = 1

$\mathbb{E}((X_1 + ... + X_n)/(X_1+. . . + X_n)) = 1$

— Spy_Lord

Yanıtlar:

ile aynı kopyayı eklemek çok akıllıca! Ama bazılarımız o kadar zeki değiliz, bu yüzden Büyük Fikri ne yapacağının daha açık olduğu bir aşamaya "ertelemek" güzel. Nereden başlayacağınızı bilmeden, simetrinin gerçekten önemli olabileceğine dair birkaç ipucu var gibi görünüyor (ekleme simetriktir ve bazı özetlere sahibiz ve iid değişkenleri aynı beklentiye sahiptir, bu yüzden belki de takas edilebilir veya faydalı yollarla yeniden adlandırılabilirler). Aslında bu sorunun "zor" kısmı, simetrik olmayan işlem olan bölünme ile nasıl başa çıkılacağıdır . Toplama simetrisinden nasıl yararlanabiliriz? Beklentinin doğrusallığından: $n$ $S_m/S_n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_m}{X_1 + ... + X_n}\right) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_m}{X_1 + .... + X_n}\right)$

Ama sonra iid ve olduğu göz önüne alındığında , sağ taraftaki tüm terimler aynıdır! Neden? için ve etiketlerini değiştirin . İki payda anahtar konumunda terimler, ancak yine de özet için yeterli yeniden sıralama sonra pay değişiklikleri ise gelen için . Yani . Hadi yazma için ve olmadığından Elimizdeki bu tür terimler . $X_i$ $m \le n$ $X_i$ $X_j$ $i, j \le n$ $S_n$ $X_i$ $X_j$ $\mathbb{E}(X_i/S_n) = \mathbb{E}(X_j/S_n)$ $\mathbb{E}(X_i/S_n)=k$ $1 \le i \le n$ $m$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = mk$

Doğru sonucu veren gibi görünüyor . Ama bunu nasıl kanıtlayabilirim? Biliyoruz $k=1/n$

$k=\mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right)=\mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right)=...=\mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$

Sadece bu aşamada üstüme geldi, bunları bir araya getirmeliyim, elde etmek için

$nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + \mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$ $\implies nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_n}{X_1 + .... + X_n}\right) = \mathbb{E}(1) = 1$

Bu yöntemin güzel yanı, sorunun iki bölümünün birliğini korumasıdır. Simetrinin kırılmasının nedeni, olduğunda ayarlama gerektirmesi , beklenti doğrusallığı uygulandıktan sonra sağ taraftaki terimlerin olup olmadığına bağlı olarak iki tür olmasıdır . (Daha önce olduğu gibi, her ikisi de paydada görünürse ve etiketlerini değiştirebilirim, çünkü bu sadece yeniden sıralar veya ikisi de toplamı açıkça değiştirmediği gibi yapmazsa, biri yaparsa ve biri yapmazsa için payda değişiklikleri şart ve artık toplamlarının .) için elimizdeki $m>n$ $X_i$ $X_i$ $X_j$ $S_n$ $S_n$ $i \le n$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=k$ ve için , diyelim. Önceki terimlerden , ikinci terimlerden elimizde olduğundan , $i>n$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=r$ $n$ $m-n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = nk + (m-n)r = 1 + (m-n)r$

Daha sonra bulma bağımsızlığını kullanılarak basittir ve için : $r$ $S_n^{-1}$ $X_i$ $i>n$ $r=\mathbb{E}(X_i S_n^{-1})=\mathbb{E}(X_i) \mathbb{E}(S_n^{-1})=\mu \mathbb{E}(S_n^{-1})$

Yani aynı "hile" her iki parça için de işe yarıyor, sadece ise iki durumla ilgilenmeyi içeriyor . Sorunun iki kısmının da bu sırada verildiğinden şüpheleniyorum. $m>n$

— Gümüş Balık
kaynak

Soru üzerinde çalışan düşünceleriniz üzerinde çok güzel bir açıklama ve nk adımını açık hale getiriyorsunuz (cevap sorta sadece 'açıkça eşit' diyor). Şerefe!

— Spy_Lord

İlk bölümün ipucu için whuber'a teşekkürler.

Düşünmek $nS_m/S_n$ Dava için $m<=n$

Sahibiz $\mathbb{E}(nS_m/S_n) = \mathbb{E}((nX_1 + . . . + nX_m)/(X_1 + . . . + X_n))$

$= \mathbb{E}(nX_1/X_1 + . . . + X_n) + . . . + \mathbb{E}(nX_m/X_1 + . . . + X_n)$

ve iid özelliğine göre, bu eşittir:

$m\mathbb{E}((X_1+ . .+ X_n)/(X_1+ . . . + X_n)) = m$

bu nedenle $\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$ için $m<=n$

— Spy_Lord
kaynak