İlişkisizlik hangi dağılımlar için bağımsızlık anlamına gelir?

İstatistikte bir zaman onur hatırlatma "uncorrelatedness yapmasıdır değil bağımsızlığı ima". Genellikle bu hatırlatma psikolojik yatıştırıcı (ve bilimsel olarak doğru) deyimi "yine iki değişken zaman, ile takviye edilir ortaklaşa normal dağılıma sahip , daha sonra uncorrelatedness bağımsızlığını ima yok".

Mutlu istisnaların sayısını birden ikiye çıkarabilirim: iki değişken Bernoulli'ye dağıtıldığında , o zaman yine, ilişkisizlik bağımsızlığı ima eder. Eğer ve iki Bermoulli RV vardır , burada ve benzer şekilde , bunların kovaryansı $X$ $Y$ $X \sim B(q_x),\; Y \sim B(q_y)$ $P(X=1) = E(X) = q_x$ $Y$

Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = \sum_{S_{X Y}} p (x, y) x y - q_{x} q_{y}

$\operatorname{Cov}(X,Y)= E(XY) - E(X)E(Y) = \sum_{S_{XY}}p(x,y)xy - q_xq_y$

= P (X = 1, Y = 1) - q_{x} q_{y} = P (X = 1 ∣ Y = 1) P (Y = 1) - q_{x} q_{y}

$= P(X=1,Y=1) - q_xq_y = P(X=1\mid Y=1)P(Y=1)-q_xq_y$

= (P (X = 1 ∣ Y = 1) - q_{x}) q_{y}

$= \Big(P(X=1\mid Y=1)-q_x\Big)q_y$

İlişkisizlik için kovaryansın sıfır olmasını isteriz.

Cov (X, Y) = 0 \Rightarrow P (X = 1 ∣ Y = 1) = P (X = 1)

$\operatorname{Cov}(X,Y) = 0 \Rightarrow P(X=1\mid Y=1) = P(X=1)$

\Rightarrow P (X = 1, Y = 1) = P (X = 1) P (Y = 1)

$\Rightarrow P(X=1,Y=1) = P(X=1)P(Y=1)$

bu da değişkenlerin bağımsız olması için gerekli olan koşuldur.

Yani sorum şu: İlişkisizliğin bağımsızlığı ima ettiği başka dağılımları (sürekli veya ayrık) biliyor musunuz?

Anlamı: Aynı dağılıma ait marjinal dağılımları olan (belki de ilgili dağıtım parametreleri için farklı değerlerle) olan iki rastgele değişken olduğunu varsayalım , fakat diyelim aynı destekle. iki üstel, iki üçgen, vb. denklemine yönelik tüm çözümler , ilgili dağıtım işlevlerinin biçimi / özellikleri nedeniyle bağımsızlığı da ima edecek şekilde mi? Normal marjinaller (iki değişkenli normal dağılıma sahip oldukları da göz önüne alındığında) ve Bernoulli marjinalleri için durum budur - başka vakalar var mı? $X,Y$ $\operatorname{Cov}(X,Y) = 0$

Buradaki motivasyon, bağımsızlığın geçerli olup olmadığını kontrol etmeye kıyasla, kovaryansın sıfır olup olmadığını kontrol etmenin genellikle daha kolay olmasıdır. Eğer teorik dağılım göz önüne alındığında, kovaryansı kontrol ederek bağımsızlığı da kontrol ediyorsanız (Bernoulli veya normal durumda olduğu gibi), o zaman bu bilmek yararlı olacaktır.
Normal marjinalleri olan iki rv'den iki örnek verilirse, örneklerden kovaryanslarının sıfır olduğu konusunda istatistiksel olarak sonuca varabilirsek, bağımsız olduklarını da söyleyebiliriz (ancak sadece normal marjinalleri olduğu için). İki rv'nin başka bir dağılıma ait marjinalleri olduğu durumlarda da aynı sonuca varıp varamayacağımızı bilmek faydalı olacaktır.

— Alecos Papadopoulos
kaynak

Mantıken, burada bir soru yok: herhangi bir bağımsız değişken çiftini dağıtım olarak kabul edin. İlişkili olsun ya da olmasın, fiat tarafından bağımsızdırlar ! "Dağıtım" ile ne demek istediğiniz ve ne tür cevaplar yararlı bulacağınız konusunda daha net olmanız gerekir.

— whuber

@whuber Yorumunuzu anlamıyorum. Ben başlatmak "Bu aynı zamanda bağımsız olduğunu ima ne zaman onlar ilintisiz ispat edebilirse," uncorrelatedness tarafından sormak? Soruda belirtilen iki sonuç, rv'nin belirli bir dağılıma (normal veya Bernoulli) sahip olduğuna bağlı olduğu için, "iki değişken takip ederse, bu sonuçların tutulduğu" bilinen başka bir dağılım var mı?

— Alecos Papadopoulos

Herhangi iki bağımsız değişkeni ve dağılımları olsun. , sorunuza geçerli bir cevaptır. Öncülünün gerçek değeri ne olursa olsun , tanım gereği sonuç ne zaman doğru olursa olsun doğru olan bir koşul kanıtlamak istediğinizi unutmayın . Böylece, temel mantık kurallarına göre , bağımsız değişkenlerin tüm dağılımları sorunuzun yanıtlarıdır.

X, Y

$X,Y$

F

$F$

F

$F$

— whuber

@ Whuber, açıkça haklısın. Bu sorunun motivasyonuyla ilgili bazı metinler ekledim, umarım motivasyonumun ne olduğunu açıklar.

— Alecos Papadopoulos

Bu kararı verirken hangi bilgilere başlıyorsunuz? Örneğinizin formülasyonundan, her değişken için marjinal pdf ve her bir değişken çiftinin ilişkisiz olduğu bilgisi verilmiş gibi görünüyor. Daha sonra onların bağımsız olup olmadığına siz karar verirsiniz. Bu doğru mu?

— probabilityislogic

"Bununla birlikte, iki değişken normal olarak dağılmışsa, ilişkisizlik bağımsızlık anlamına gelir" çok yaygın bir yanılgıdır .

Bu sadece normal olarak müştereken dağıtılmış olmaları durumunda geçerlidir .

En sık gördüğüm karşı örnek normal ve bağımsız Rademacher (yani her biri 0,5 olasılıkla 1 veya -1'dir); o zaman de normaldir (dağıtım işlevi göz önüne alındığında açık değildir), (buradaki problem örn. ve belirterek olan veya olasılık her biri 0.5) ile ve örn biliyorsam (değişkenler bağlıdır açık olan sonra ya ya da hakkında bilgi böylece $X \sim N(0,1)$ $Y$ $Z=XY$ $\operatorname{Cov}(X,Z)=0$ $\mathbb{E}(XZ)=0$ $Y$ $XZ$ $X^2$ $-X^2$ $X>2$ $Z>2$ $Z<-2$ $X$ bana hakkında bilgi verir ). $Z$

Marjinal dağılımların ortak dağılımı benzersiz bir şekilde belirlemediğini de akılda tutmak gerekir. Marjinal CDF ve ile herhangi iki gerçek RV ve ve alın . Sonra herhangi bir işlevi: $X$ $Y$ $F_X(x)$ $G_Y(y)$ $\alpha<1$

H_{X, Y} (x, y) = F_{X} (x) G_{Y} (y) (1 + α (1 - F_{X} (x)) (1 - F_{Y} (y)))

$H_{X,Y}(x,y)=F_X(x)G_Y(y)\left(1+\alpha\big(1-F_X(x)\big)\big(1-F_Y(y)\big)\right)$

iki değişkenli bir CDF olacaktır. ( dan marjinal elde etmek için sonsuza giderken sınırı alın , burada için tersi .) Açıkça farklı değerler seçerek arasında farklı eklem dağılımları elde edebilirsiniz! $F_X(x)$ $H_{X,Y}(x,y)$ $y$ $F_Y(y)=1$ $Y$ $\alpha$

— Gümüş Balık
kaynak

Aslında. "Ortak" ı unuttum.

— Alecos Papadopoulos

@Alecos Marjinal dağılımlar genel olarak ortak dağılımı belirlemediğinden (bunu açıklığa kavuşturmak için cevabımı düzenledim), bu sorunuzu nerede bırakıyor?

— Silverfish

@Alecos Sanırım şimdi sorunun özünü daha iyi anlıyorum: iki marjinal dağılım göz önüne alındığında, sonsuz sayıda olası ortak dağılım vardır. Hangi durumlarda sıfır kovaryans koşulunu uygulamak bizi bu ortak dağılımlardan sadece biriyle hala mümkün kılar, yani rasgele değişkenlerin bağımsız olduğu gibi?

— Silverfish

İki değişkenli duruma bağlı ortak MGF ve marjinal MGF'ler ve , soru şu olur: , ?

M_{X, Y} (s, t)

$M_{X,Y}(s,t)$

M_{X} (s) = M_{X, Y} (s, 0)

$M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$

M_{Y} (t) = M_{X, Y} (0, t)

$M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$

\frac{\partial^{2}}{\partial s \partial t} M_{X, Y} (s, t) |_{s = 0, t = 0} = \frac{\partial}{\partial s} M_{X, Y} (s, t) |_{s = 0, t = 0} \cdot \frac{\partial}{\partial t} M_{X, Y} (s, t) |_{s = 0, t = 0}

$\frac{\partial^2}{\partial s \partial t}M_{X,Y}(s,t)|_{s=0,t=0} = \frac{\partial}{\partial s} M_{X,Y}(s,t)|_{s=0,t=0} \cdot \frac{\partial}{\partial t} M_{X,Y}(s,t)|_{s=0,t=0}$

M_{X, Y} (s, t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0) \cdot M_{X,Y}(0,t)$

— Silverfish

@Silverman Bu sorunun moment üreten fonksiyonlar açısından formüle edilip edilemeyeceğini görmek için alt bağımlılık kavramını , en.wikipedia.org/wiki/Subindependence kontrol ederdim .

— Alecos Papadopoulos