Scrabble'daki bir çanta harfinden belirli bir kelimeyi çizme olasılığı

Her biri üzerinde bir harf bulunan $n$ fayanslı bir çantanız olduğunu varsayalım . Orada $n_A$ 'A' harfi ile çinileri $n_B$ vb 'B' ile ve ve $n_*$'joker' karolar (Elimizdeki $n = n_A + n_B + \ldots + n_Z + n_*$). Sonlu sayıda kelimeden oluşan bir sözlüğünüz olduğunu varsayalım.

$k$ fayanslarını değiştirmeden çantadan alırsınız .

Nasıl sen uzunluğu belirli bir kelimeyi, oluşabilir olasılığını hesaplamak (veya tahmini) olur $l$ (1 <ile $l$ = < $k$ ) Verilen sözlükten $k$ karolar seçilmiş?

Scrabble ™ hakkında bilgi sahibi olmayanlar için joker karakter herhangi bir harfle eşleşmek için kullanılabilir. Böylece 'BOOT' kelimesi 'B', '*', 'O', 'T' çinileriyle 'hecelenebilir'. Harflerin çizilme sırası önemli değil.

Öneri: cevapların yazılmasını basitleştirmek için, sadece soruyu cevaplamak daha iyi olabilir: yeni bir çantadan 7 harf çizdikten sonra olası hareketleriniz arasında 'BOOT' kelimesine sahip olma olasılığı nedir.

(sorunun tanıtımı bu benzer sorudan kopyalanmıştır )

Bir formül isteniyor. Ne yazık ki, durum o kadar karmaşıktır ki, herhangi bir formül sadece tüm olasılıkları sıralamak için dolambaçlı bir yol olacaktır. Bunun yerine, bu cevap bir , (a) binom katsayılarının toplamlarını içeren bir formüle eşit algoritma ve (b) birçok platforma taşınabilir.

---

Böyle bir formül elde etmek için, olasılıkları karşılıklı olarak ayrık gruplara ayırın : rafta kelimede olmayan harflerin kaçına göre (bu $m$ ) ve kaç joker karakter (boşluk) seçildiğine göre ( bu $w$ ). Olduğunda $r=7$ rafa fayans, $N$ mevcut zemin, $M$ sözcüğün harfleri ile mevcut kiremit ve $W=2$ mevcut boşlukları, verilen olası seçim sayısı $(m,w)$ olduğu

$$\binom{M}{m}\binom{W}{w}\binom{N-M-W}{r-m-w}$$

çünkü kelime olmayan harflerin, boşlukların ve kelime harflerinin seçimleri bağımsız koşulludur $(m,w,r).$

Bu, kelimenin harfleri temsil eden çini sadece seçerken Bir kelimeyi yollarını sayısını bulma problemi azaltır verilen bu boşlukları edilebilir ve r - m - w çini seçilecektir. Durum dağınık ve kapalı formül mevcut değil. Örneğin, w = 0 boşluklar ve m = 3 sözcük dışı harfler çizildiğinde, "b", "o" ve "t" döşemelerinden çizilen "boot" kelimesini hecelemek için tam olarak dört harf kalır. . Verilen 2 "b" s, $w$$r-m-w$$w=0$$m=3$$2$$8$ "o" ve $6$Scrabble kiremit kümesinde "t", çizim (multisets) "bboo", "bbot", "bbtt", "booo", "boot", "bott", "bttt", "oooo "," ooot "," oott "," ottt "ve" tttt ", ancak bu büyülerden yalnızca biri" boot ". Ve bu kolay durumdu! Örneğin, rafın "o", "b" ve "t" döşemelerinden rastgele seçilen beş döşemeyi içerdiğini varsayarsak, her iki boşlukla birlikte "çizme" yi hecelemenin ve hecelememenin daha birçok yolu vardır. Örneğin, "önyükleme", "__boott" ve "__bbttt" ifadelerinden hecelenebilir, ancak "__ttttt" öğesinden değil.

Sorunun kalbi olan bu sayım tekrar tekrar ele alınabilir. Bir örnekle anlatacağım. "Boşluk" yazımının "b", "o" ve "t" kutucuklarından oluşan bir boş ve dört kutucukla yazım yollarını saymak istediğimizi varsayalım (geri kalan iki kutucuk boş olmayan harfleri { "b", "o", "t"}). İlk harfi "b" düşünün:

1. Bir "b" çizilebilir mevcut iki "b" kiremit yolları. Bu, "o" ve "t" fayans koleksiyonundan hem boşlukları hem de sadece üç karo kullanarak "oot" sonekini yazmanın yollarını sayma sorununu azaltır.$\binom{2}{1}$

2. Bir boşluk "b" olarak tanımlanabilir. Bu, kalan boş ve "o" ve "t" fayans koleksiyonundan sadece üç karo kullanarak "oot" yazım yollarının sayısını sayma sorununu azaltır.

Genel olarak, ayrık olan ve dolayısıyla olasılık hesaplamalarına katkı sağlayan katkıda bulunan (1) ve (2) aşamaları, ilk harf için kullanılabilecek boşluk sayısının üzerinde bir döngü olarak uygulanabilir. Azalan problem özyinelemeli olarak çözülür. Temel durum, bir harf kaldı, bu harfin bulunduğu belirli sayıda karo olduğunda oluşur ve rafta da bazı boşluklar olabilir. Sadece raftaki boşluk sayısının ve mevcut döşemelerin sayısının son mektubun istenen miktarını elde etmek için yeterli olduğundan emin olmalıyız.

İşte Rözyinelemeli adım için kod. rackGenellikle eşittir , harfler (örneğin, ve sayıları bir dizisi olan ), bu harflerle mevcut kiremit numaraları veren benzer bir yapıdır, ve boşlukların sayısı rafa oluştuğu varsayılmaktadır.$7$wordc(b=1, o=2, t=1)alphabetwild

f <- function(rack, word, alphabet, wild) {
  if (length(word) == 1) {
    return(ifelse(word > rack+wild, 0, choose(alphabet, rack)))
  }
  n <- word[1]
  if (n <= 0) return(0)
  m <- alphabet[1]
  x <- sapply(max(0, n-wild):min(m, rack), 
              function(i) {
                choose(m, i) * f(rack-i, word[-1], alphabet[-1], wild-max(0, n-i))
              })
  return(sum(x))
}

Bu işleve yönelik bir arabirim standart Scrabble döşemelerini belirtir, belirli bir sözcüğü çok kümeli veri yapısına dönüştürür ve ve w üzerinde çift toplamı gerçekleştirir . İşte binom katsayıları ($m$$w$ ve ($\binom{M}{m}$ hesaplanır ve çoğaltılır.$\binom{W}{w}$

scrabble <- function(sword, n.wild=2, rack=7, 
              alphabet=c(a=9,b=2,c=2,d=4,e=12,f=2,g=3,h=2,i=9,j=1,k=1,l=4,m=2,
                         n=6,o=8,p=2,q=1,r=6,s=4,t=6,u=4,v=2,w=2,x=1,y=2,z=1),
              N=sum(alphabet)+n.wild) {
  word = sort(table(strsplit(sword, NULL))) # Sorting speeds things a little
  a <- sapply(names(word), function(s) alphabet[s])
  names(a) <- names(word)
  x <- sapply(0:n.wild, function(w) {
    sapply(sum(word):rack-w, 
           function(i) {
             f(i, word, a, wild=w) *
               choose(n.wild, w) * choose(N-n.wild-sum(a), rack-w-i)
           })
  })
  return(list(numerator = sum(x), denominator = choose(N, rack),
              value=sum(x) / choose(N, rack)))
}

---

Bu çözümü deneyelim ve giderken zamanlayalım. Aşağıdaki test @Rasmus Bååth tarafından yapılan simülasyonlarda kullanılan girişlerin aynısını kullanır :

system.time(x <- sapply(c("boot", "red", "axe", "zoology"), scrabble))

Bu makine toplam geçen süreyi saniye olarak bildirir : oldukça hızlı. Sonuçlar?$0.05$

> x
            boot        red         axe         zoology     
numerator   114327888   1249373480  823897928   11840       
denominator 16007560800 16007560800 16007560800 16007560800 
value       0.007142118 0.07804896  0.0514693   7.396505e-07

Arasında "çizme" için olasılık tam değer eşittir 2381831 / 333.490.850 elde benim diğer yanıt (sembolik cebir hesaplama platformu gerektiren daha güçlü bir çerçeveye benzer bir yöntem ama kanepe bunu kullanır). Dört kelime olasılıkları (dolayı onun ihtimali olduğu için "zooloji" için doğru bir değer vermesi bekleniyor edilemedi makul yakın Baas simülasyonları için vardır 11840 / 16007560800 , az milyonda biri daha).$114327888/16007560800$$2381831/333490850$$11840/16007560800,$

Verilen yanıtlar başvurulan soruya doğrudan burada geçerli: Sadece hedef sözcüğü (ve olası joker yazımlar) oluşan bir sözlük oluşturmak rastgele raf hedefini oluşturmaktadır ve o çıkarma olamayacağını şans hesaplamak $1$ . Bu hesaplama hızlı.

Simülasyonlar (sonunda gösterilir) hesaplanan cevapları destekler.

---

ayrıntılar

Önceki cevapta olduğu gibi, Mathematica hesaplamaları yapmak için kullanılır.

1. Sorunu belirtin: kelime (veya isterseniz kelimeler), harfler, sayıları ve raf boyutu. Değil kelimenin tüm harfleri aynı hareket nedeniyle, büyük ölçüde tek bir sembolle hepsini yerine hesaplama hızları temsil "kelimesinde değil herhangi bir harf."$\chi$

   word = {b, o, o, t};
   letters = {b, o, t, \[Chi], \[Psi]};
   tileCounts = {2, 8, 6, 82, 2};
   rack = 7;

2. Bu kelimenin (veya kelimelerin) sözlüğünü oluşturun ve tüm olası joker karakter yazımlarını içerecek şekilde artırın.

   dict[words_, nWild_Integer] := Module[{wildcard, w},
      wildcard = {xx___, _, yy___} -> {xx, \[Psi], yy};
      w = Nest[Flatten[ReplaceList[#, wildcard] & /@ #, 1] &, words, nWild];
      Union[Times @@@ Join[w, Times @@@ words]]];
   dictionary = dict[{word}, 2]

   $\left\{b o^2 t, b o^2 \psi ,b o t \psi ,o^2 t \psi ,b o \psi ^2,o^2 \psi ^2,b t \psi ^2,o t \psi ^2\right\}$

3. Nonwords'ü hesaplayın:

   alphabet = Plus @@ letters;
   nonwords = Nest[PolynomialMod[# alphabet, dictionary] &, 1, rack]

   $b^7 + 7 b^6 o + 21 b^5 o^2 + \cdots +7 \chi \psi ^6+\psi ^7$

   ( Bu durumda kelime olmayan.)$185$

4. Şansı hesaplayın. Değiştirme ile örnekleme için, değişkenlerin karo sayısını değiştirin:

   chances = (Transpose[{letters, tileCounts/(Plus @@ tileCounts)}] /. {a_, b_} -> a -> b);
   q = nonwords /. chances;
   1 - q

   $\frac{207263413}{39062500000}$

   Bu değer yaklaşık $0.00756036.$

   Değiştirilmeden örnekleme için, güçler yerine faktöriyel güçleri kullanın:

   multiplicities = MapThread[Rule, {letters, tileCounts}];
   chance[m_] :=  (ReplaceRepeated[m , Power[xx_, n_] -> FactorialPower[xx, n]] 
                  /. multiplicities);
   histor = chance /@ MonomialList[nonwords];
   q0 = Plus @@ histor  / FactorialPower[Total[tiles], nn];
   1 - q0

   $\frac{2381831}{333490850}$

   Bu değer yaklaşık Hesaplamalar hemen gerçekleşti.$0.00714212.$

---

Simulasyon sonuçları

$10^6$

simulation = RandomChoice[tiles -> letters, {10^6, 7}];
u = Tally[Times @@@ simulation];
(p = Total[Cases[Join[{PolynomialMod[u[[All, 1]], dictionary]}\[Transpose], 
       u, 2], {0, _, a_} :> a]] / Length[simulation] ) // N

$0.007438$

Standart hataya göre hesaplanan değerle karşılaştırın:

(p - (1 - q)) / Sqrt[q (1 - q) / Length[simulation]] // N

$-1.41259$

Anlaşma gayet iyi, hesaplanan sonucu güçlü bir şekilde destekliyor.

$10^6$

tilesAll = Flatten[MapThread[ConstantArray[#1, #2] &, {letters, tiles}] ]
    (p - (1 - q)) / Sqrt[q (1 - q) / Length[simulation]] // N;
simulation = Table[RandomSample[tilesAll, 7], {i, 1, 10^6}];
u = Tally[Times @@@ simulation];
(p0 = Total[Cases[Join[{PolynomialMod[u[[All, 1]], dictionary]}\[Transpose], 
       u, 2], {0, _, a_} :> a]] / Length[simulation] ) // N

$0.00717$

Karşılaştırma yapın:

(p0 - (1 - q0)) / Sqrt[q0 (1 - q0) / Length[simulation]] // N

$0.331106$

Bu simülasyondaki anlaşma mükemmeldi.

$12$

Bu bir Monte Carlo çözümü, yani fayansları milyonlarca kez çizmeyi simüle edeceğiz ve sonra bu simüle edilen çekimlerin kaç tanesinin verilen kelimeyi oluşturabilmemize neden olduğunu hesaplayacağız. Çözümü R dilinde yazdım, ancak Python veya Ruby gibi başka bir programlama dili kullanabilirsiniz.

İlk önce bir çekilişin nasıl simüle edileceğini anlatacağım. Önce döşeme frekanslarını tanımlayalım.

# The tile frequency used in English Scrabble, using "_" for blank.
tile_freq <- c(2, 9 ,2 ,2 ,4 ,12,2 ,3 ,2 ,9 ,1 ,1 ,4 ,2 ,6 ,8 ,2 ,1 ,6 ,4 ,6 ,4 ,2 ,2 ,1 ,2 ,1)
tile_names <- as.factor(c("_", letters))
tiles <- rep(tile_names, tile_freq)
## [1] _ _ a a a a a a a a a b b c c d d d d e e e e e e
## [26] e e e e e e f f g g g h h i i i i i i i i i j k l
## [51] l l l m m n n n n n n o o o o o o o o p p q r r r
## [76] r r r s s s s t t t t t t u u u u v v w w x y y z
## 27 Levels: _ a b c d e f g h i j k l m n o p q r ... z

Sonra sözcüğü harf sayımlarının bir vektörü olarak kodlayın.

word <- "boot"
# A vector of the counts of the letters in the word
word_vector <- table( factor(strsplit(word, "")[[1]], levels=tile_names))
## _ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 
## 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 

Şimdi yedi karo örneği çizin ve bunları kelimeyle aynı şekilde kodlayın.

tile_sample <- table(sample(tiles, size=7))
## _ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 
## 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 

Sonunda, hangi harflerin eksik olduğunu hesaplayın ...

missing <- word_vector - tile_sample
missing <- ifelse(missing < 0, 0, missing)
## _ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 
## 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 

... ve eksik harflerin sayısını toplayın ve kullanılabilir boşlukların sayısını çıkarın. Sonuç sıfır veya daha azsa kelimeyi hecelemeyi başardık.

sum(missing) - tile_sample["blank"] <= 0
## FALSE

Bu özel durumda biz yapmadık ... Şimdi bunu birçok kez tekrarlamamız ve başarılı berabere yüzdesini hesaplamamız gerekiyor. Bütün bunlar aşağıdaki R fonksiyonu ile yapılır:

word_prob <- function(word, reps = 50000) {
  tile_freq <- c(2, 9 ,2 ,2 ,4 ,12,2 ,3 ,2 ,9 ,1 ,1 ,4 ,2 ,6 ,8 ,2 ,1 ,6 ,4 ,6 ,4 ,2 ,2 ,1 ,2 ,1)
  tile_names <- as.factor(c("_", letters))
  tiles <- rep(tile_names, tile_freq)
  word_vector <- table( factor(strsplit(word, "")[[1]], levels=tile_names))
  successful_draws <- replicate(reps, {
    tile_sample <- table(sample(tiles, size=7))
    missing <- word_vector - tile_sample
    missing <- ifelse(missing < 0, 0, missing)
    sum(missing) - tile_sample["_"] <= 0
  })
  mean(successful_draws)
}

İşte repsçizer simüle sayısıdır. Şimdi bunu birkaç farklı kelime üzerinde deneyebiliriz.

> word_prob("boot")
[1] 0.0072
> word_prob("red")
[1] 0.07716
> word_prob("axe")
[1] 0.05088
> word_prob("zoology")
[1] 2e-05

$$p_0=\frac{\binom{n_b}{1}\binom{n_o}{2}\binom{n_t}{1}\binom{n-4}{3}}{\binom{n}{7}}$$ With wildcards, it becomes more tedious. Let $p_k$ indicate the probability of being able to play "BOOT" with $k$ wildcards: $$\begin{eqnarray*} p_0&=&\frac{\binom{n_b}{1}\binom{n_o}{2}\binom{n_t}{1}\binom{n-4}{3}}{\binom{n}{7}} \\ p_1&=&p_0 +\frac{\binom{n_*}{1}\binom{n_o}{2}\binom{n_t}{1}\binom{n-4}{3}}{\binom{n}{7}} + \frac{\binom{n_b}{1}\binom{n_o}{1}\binom{n_*}{1}\binom{n_t}{1}\binom{n-4}{3}}{\binom{n}{7}} + \frac{\binom{n_b}{1}\binom{n_o}{2}\binom{n_*}{1}\binom{n-4}{3}}{\binom{n}{7}}\\ &=&p_0 +\frac{\binom{n_*}{1}\binom{n-4}{3}}{\binom{n}{7}}(\binom{n_o}{2}\binom{n_t}{1} + \binom{n_b}{1}\binom{n_o}{1}\binom{n_t}{1} + \binom{n_b}{1}\binom{n_o}{2})\\ p_2&=&p_1 + \frac{\binom{n_*}{2}\binom{n-4}{3}}{\binom{n}{7}}(\binom{n_b}{1}\binom{n_o}{1} + \binom{n_b}{1}\binom{n_t}{1} + \binom{n_o}{2} + \binom{n_o}{1}\binom{n_t}{1})\\ p_3&=&p_2 + \frac{\binom{n_*}{3}\binom{n-4}{3}}{\binom{n}{7}}(\binom{n_b}{1} + \binom{n_o}{1} + \binom{n_t}{1})\\ p_4&=&p_3 + \frac{\binom{n_*}{4}\binom{n-4}{3}}{\binom{n}{7}}\\ p_i&=&p_4, i\ge4 \end{eqnarray*}$$

Meh.

$$\frac{\partial \gamma}{\partial c} = b_0x^c ln(x) \sum_{r=0}^{\infty}\frac{(c+y-1)(c+\alpha)_r(c+\beta)_r}{(c+1)_r(c+\gamma)_r}x^r+$$

$$+b_0x^c\sum_{r=0}^{\infty}\frac{(c+\gamma-1)(c+\alpha)_r(c+\beta)_r}{(c+1)_r(c+\gamma)_r}(\frac{1}{c+\gamma-1}+$$

$$+\sum_{k=0}^{r-1}(\frac{1}{c+\alpha+\kappa}+\frac{1}{c+\beta+\kappa}+\frac{1}{c+1+\kappa}-\frac{1}{c+\gamma+\kappa}))x^r$$

$$=b_0x^c\sum_{r=0}^{\infty}\frac{(c+\gamma-1)(c+\alpha)_r(c+\beta)_r}{(c+1)_r(c+\gamma)_r}(ln \ x+\frac{1}{c+\gamma-1}+$$

$$+\sum_{k=0}^{r-1}(\frac{1}{c+\alpha+\kappa}+\frac{1}{c+\beta+\kappa}-\frac{1}{c+1+\kappa}-\frac{1}{c+\gamma+\kappa}))x^r$$ .

It's been a while since I looked at how I built my project. And my math may be entirely incorrect below, or correct. I may have it backwards. Honestly, I forget. BUT! Using only binomial combination, without taking into account blank tiles which throws the entire thing out of whack. The simple combination solution without wild.

I asked these questions myself, and built my own scrabble words probability dictionary because of it. You don't need a dictionary of possible words pulled out, only the math behind it and available letters based on letters in tile bag. The array of English rules is below. I spent weeks developing the math just to answer this question for all English words that can be used in a game, including words that can not be used in a game. It may all be incorrect.

The probability of drawing a given word from a bag of letters in Scrabble, requires how many letters are available in the bag, for each letter ( A-Z ) and, whether we're using the wild card as an addition to the math. The blank tiles are included in this math - assuming 100 tiles, 2 of which are blank. Also, how many tiles are available differs based on language of the game, and game rules from around the world. English scrabble differs from Arabic scrabble, obviously. Just alter the available letters, and the math should do the work.

If anyone finds errors, I will be sure to update and resolve them.

Boot: The probability of Boot in a game of scrabble is 0.000386% which is a chance of 67 out of 173,758 hands as shown on the word page for boot.

English Tiles

all is the array of letters in the bag. count is the array of available tiles for that letter, and point is the point value of the letter.

// All arranged by letter, number of letters in scrabble game, and point for the letter.
$all = array("a", "b", "c", "d", "e", "f", "g", "h", "i", "j", "k", "l", "m", "n", "o", "p", "q", "r", "s", "t", "u", "v", "w", "x", "y", "z");
    $count = array("9", "2", "2", "4", "12", "2", "3", "2", "9", "1", "1", "4", "2", "6", "8", "2", "1", "6", "4", "6", "4", "2", "2", "1", "2", "1");
$point = array("1", "3", "3", "2", "1", "4", "2", "4", "1", "8", "5", "1", "3", "1", "1", "3", "10", "1", "1", "1", "1", "4", "4", "8", "4", "10");

There are 100 tiles in an English scrabble game (i.e., the sum of $count). It does not matter how the tiles are pulled, so it's not a permutation.

The Math I Used Determine how many letters are in the word and what letters are in the word, how many of those letters are available in the tile bag ( count for each letter, unique and allchars ). Binomial coefficient of each, divided by binomial coefficient of length word.

Determine the binomial combinations available

let C(n,r) be binomial coefficient: n!/[n!(n-r)!], or 0 if r > n

Foreach letter, what is the binomial coefficient.

There is 1 "B". There are 2 available, a 2% chance of pulling the b.
There is 2 "O". There are 8 available, a 8% chance of pulling the o.
There is 1 "T". There are 6 available, a 6% chance of pulling the t.
BOOT is a 4 letter word, being taken from a 100 tile set with blanks, 98 without.

n = 98. The number of tiles without blank in the English set

$B = {2 \choose 1} = \frac{2!}{2!(2-1)!}$
$O = {8 \choose 2} = \frac{8!}{8!(8-2)!}$
$T = {6 \choose 1} = \frac{6!}{6!(6-1)!}$

${B \times O \times T}$ divided by the binomial coefficient of tilecount $\frac{98!}{98!(98-{\rm length})!}$