Sürekli rasgele değişkenin sabit bir nokta alma olasılığı

Sürekli rasgele değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonunun olarak olarak tanımlandığı bir giriş istatistik sınıfındayım . integralinin anlıyorum ama bunu sürekli rastgele değişken sezgilerimle düzeltemiyorum. Diyelim ki X, trenin geldiği dakikadan bu yana geçen dakika sayısına rastgele bir değişkendir. Trenin tam olarak 5 dakika sonra gelme olasılığını nasıl hesaplayabilirim? Bu olasılık nasıl sıfır olabilir? Mümkün değil mi? Ne treni eğer yok o olasılık 0 olsaydı şimdi itibaren 5 dakika erken, nasıl meydana gelebilir?$P\left\{X\in B\right\}=\int_B f\left(x\right)dx$$\int\limits_a^af(x)dx=0$

Teşekkürler.

Sınırlı bir süre (sıfır olmayan bir olasılıkla) devam edecek şekilde 'bundan beş dakika' ile ilgili tuzağa düşüyor olabilirsiniz.

Sürekli değişken anlamda "bundan beş dakika sonra" gerçekten anlık.

Bir sonraki trenin gelişinin 8:00 ile 8:15 arasında eşit olarak dağıtıldığını düşünün. Ayrıca , bir trenin gelişini, trenin ön kısmının istasyon üzerinde belirli bir noktadan geçtiği anda tanımladığımızı hayal edin (belki de daha iyi bir yer işareti yoksa platformun orta noktası). Aşağıdaki olasılık sırasını göz önünde bulundurun:

a) Bir trenin 8:05 ve 8:10 arasında gelme olasılığı

b) Bir trenin 8:05 ve 8:06 arasında gelme olasılığı

c) bir trenin 8:05:00 ile 8:05:01 arasında gelme olasılığı

d) bir trenin 8:05:00 ile 8: 05: 00.01 arasında gelme olasılığı (yani saniyenin yüzde biri oranında)

e) Bir trenin saniyenin 8:05 ila milyarda biri arasında gelme olasılığı

f) bir trenin 8:05 ile saniyenin dörtte biri arasında gelme olasılığı

... ve bunun gibi

Tam olarak 8 : 05'te ulaşma olasılığı, bunun gibi bir olasılık dizisinin sınırlayıcı değeridir. Olasılık her daha küçüktür .$\epsilon>0$

Tren tam olarak 5 dakika sonra gelirse, 0 olasılığı varsa nasıl olabilir?

Olasılıklı bir ifade , bir olayın olasılığı / fizibilitesi hakkında bir ifade değildir . Sadece bunun gerçekleşmekte olduğu konusundaki belirsizliğimizi ölçmek için yaptığımız çabayı yansıtır. Dolayısıyla, bir fenomen sürekli olduğunda (veya bir olarak modellenmişse), o zaman araçlarımız ve mevcut bilgi durumumuz, onun hakkında belirli bir değer alarak olasılıklı bir açıklama yapmamıza izin vermez . Sadece bir dizi ile ilgili böyle bir açıklama yapabilirizdeğerlerin. Tabii ki, buradaki olağan numara, desteği tek tek değerlerden ziyade "küçük" aralıklarla dikkate almaktır. Sürekli rasgele değişkenler, ayrı rasgele değişkenlere kıyasla büyük faydalar ve esneklik sağladığı için, bunun, belki de dikkate almaya zorlandığımız aralıklar kadar küçük, ödenmesi oldukça küçük bir fiyat olduğu bulunmuştur.

Yukarıdakiler için biraz sezgi vermek için aşağıdaki (düşünce) denemeyi deneyin:

Bir cetvelle sıfır etrafında gerçek bir çizgi çizin. Şimdi keskin bir dart alın ve çizgiden rastgele düşmesine izin verin (diyelim ki her zaman çizgiyi vuracaksınız ve argüman uğruna sadece yanal konumlandırma önemlidir).

Ancak, dartın çizgiye rastgele düşmesine izin verdiğinizde, asla sıfır noktasına çarpmazsınız. Neden? Sıfır noktasının ne olduğunu düşünün, genişliğinin ne olduğunu düşünün. Genişliğinin 0 olduğunu fark ettikten sonra, yine de vurabileceğinizi düşünüyor musunuz?

1 veya 2 nolu puanı vurabilecek misiniz? Ya da bu konuda çizgide seçtiğiniz başka bir nokta var mı?

Matematiğe geri dönmek için, bu fiziksel dünya ile gerçek sayılar (örneğimdeki gerçek çizgiyle temsil edilen) gibi bir matematiksel kavram arasındaki farktır. Olasılık teorisi, olasılıkta dersinizde göreceğinizden biraz daha karmaşık bir tanımlamaya sahiptir. Olayların olasılığını ve sonuçlarının herhangi bir kombinasyonunu ölçmek için bir olasılık ölçüsüne ihtiyacınız vardır. Hem Borel ölçüsü hem de Lebesgue ölçüsü , gerçek satırdaki [a, b] aralığı için şu şekilde tanımlanır: Bu tanımdan, aralığı azaltırsanız olasılıkla neler olduğunu görebilirsiniz. bir sayıya ayarlayın (a = b ayarı).

Sonuç olarak şu anki olasılık teorisi tanımımıza dayanarak (Kolmogorov'a dayanan) bir olayın 0 olasılığa sahip olması, olayın gerçekleşemeyeceği anlamına gelmez.

Ve trenle ilgili örneğiniz ilerledikçe, son derece hassas bir saatiniz olacaksa, treniniz asla tam zamanında gelmez.

Olasılık dağılımının bir birlik alanına sahip olması gerekir. Eğer ölçüm sürekli ise, alabileceği sonsuz sayıda değer vardır (yani dağılımın x ekseni boyunca sonsuz sayıda değer). Olasılık dağılımının toplam alanının sonlu olabilmesinin tek yolu, sonsuz sayıda değerin her birindeki değerin sıfır olmasıdır. Biri sonsuza bölündü.

'Gerçek hayatta' sonsuz sayıda değer alan (burada çok önemli olmayan birkaç farklı felsefi argümanla) hiçbir önlem olamaz, bu yüzden hiçbir değerin tam olarak sıfır olma olasılığı yoktur. Yararlı pratik bir argüman, gerçek dünya ölçümlerinin sonlu hassasiyetine dayanır. Saniyenin onda biri ölçüsünde bir kronometre kullanırsanız, trende saniyenin onda biri “tam olarak” beş dakikaya varır.

Diğer insanlar olasılığın neden sıfır olduğunu (zamanı sürekli olarak yaklaşık olarak tahmin ederseniz , etkili değil , ama yine de ...) bu yüzden kısaca tekrarlayacağım. OP'nin sorduğu son soruyu cevaplamak için --- "0 olasılığı varsa nasıl ortaya çıkabilir?" --- olasılık sıfırları varsa birçok şey olabilir . Sıfır tüm olasılık kümesi, olabilecek olası şeylerin olduğu yerde, kümesinin yer kaplamadığıdır. Hepsi bu. Bundan daha anlamlı değil.$A$$A$

Umarım OP yorumlarda söyledi başka bir şey ele almak için yazıyorum:

"Asla sıfır noktasına vurmayacaksın" diyorsun, ama ilk dart atışımda vurduğum nokta hakkında ne söyleyebilirsin? Bıraktığım nokta 𝑥 olsun. Dartımı atmadan önce, "asla 𝑥 noktasına vurmayacaksın" diyecektin, ama ben sadece vurdum. Şimdi ne olacak?

Bu çok iyi bir soru ve olasılık hakkında öğrenmeye başladığımda mücadele ettiğim bir soru. Cevap: ilk başta sorduğunuz soruya eşdeğer değil! Yaptığınız, analize zaman kazandırmaktır ve bu da temel olasılık yapısının çok daha karmaşık hale geleceği anlamına gelir. İşte bilmen gereken. Bir olasılık uzayı üç şeyden oluşur: temel bir alan , örneğin veya ; üzerindeki tüm yarı açık aralıkların kümesi ve değerini karşılayan bir ölçü gibi bu alandaki tüm olası sonuçların kümesi$(\Omega, A, \mu)$$\Omega$$\mathbb{R}$$\mathbb{Z}$$\mathbb{R}$$\mu$$\mu(\Omega) = 1$. Orijinal sorununuz uzayda burada Lebesgue ölçüsüdür (bu ). Bu alanda, herhangi bir tek noktaya çarpma olasılığı, yukarıda tartışılan nedenlerden dolayı sıfırdır --- bence bunu temizledik. Ancak şimdi, yukarıda belirtilen alıntı gibi şeyler söylediğinizde , olarak yazacağımız filtrasyon adı verilen bir şey tanımlıyorsunuz . Genel olarak bir filtrasyon, tüm için karşılayan alt kümelerinin bir toplamıdır.$([a,b], \text{all half open intervals on $[a,b]$}, \nu)$$\nu$$\nu( [c,d) ) = \frac{1}{d - c}$$x \in [a,b]$$\mathcal{F} = \{\mathcal{F}_t\}_{t \geq 0}$$A$$\mathcal{F}_t \subseteq \mathcal{F}_s$$t < s$. Sizin durumunuzda, filtrasyonunu tanımlayabiliriz Şimdi, sonuç alanınızın bu yeni alt kümesinde, tahmin edin ne --- haklısınız! Vurdunuz ve ilk atışınızdan sonra , filtrasyon ile kısıtlandığında bu noktayı vurma olasılığınız 1'dir.