Göstermek istediğim

10

Let olasılık uzayında rastgele değişken .show bu $X:\Omega \to \mathbb N$ $(\Omega,\mathcal B,P)$

E (X) = \sum_{n = 1}^{\infty} P (X \geq n) .

$E(X)=\sum_{n=1}^\infty P(X\ge n).$

dan eşittir $E(X)$

E (X) = \int_{Ω} X d P .

$E(X)=\int_\Omega X \, dP.$

Teşekkürler.

probability self-study expected-value

— puf ambagher
kaynak

Hmmm, belki o

eklemek istersiniz

X \geq 0

$X\geq 0$ ... hayır?

— Stat

@Stat: hayır,

.

doğaldır.

daima 2'ye eşit olduğunu düşünün .

.

P (X \geq 0) = 1

$P(X \ge 0) = 1$

X

$X$

X

$X$

E (X) = 2 = P (X \geq 1) + P (X \geq 2)

$E(X) = 2 = P(X\ge 1) + P(X\ge 2)$

— Ocak

Üzgünüz,

görmedim !

N

$N$

— Stat

1

İfade (biraz) yanlış:

içerdiğinden , toplama

yerine

başlamalıdır .

N

$\mathbb{N}$

0

$0$

0

$0$

1

$1$

— whuber

4

@whuber Hayır, toplam

başlamalıdır (

olduğunda durumu deneyin ).

n = 1

$n=1$

P [X = 42] = 1

$P[X=42]=1$

— mü

12

Tanımı $E(X)$ ayrık için $X$ olan $E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$ .

P (X \geq i) = P (X = i) + P (X = i + 1) + \dots

$P( X \ge i ) = P( X = i ) + P( X = i + 1 ) + \cdots$

Yani

\begin{aligned} \sum_{i} P (X \geq i) = P (X \geq 1) + P (X \geq 2) + \dots \\ = & P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + \dots + P (X = 2) + P (X = 3) + \dots \end{aligned}

$\begin{align} & \sum_i P( X \ge i ) = P( X \ge 1 ) + P( X \ge 2 ) + \cdots \\[8pt] = {} & P( X = 1 ) + P( X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots + P(X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots \end{align}$

(son ifadedeki terimleri yeniden düzenliyoruz)

\begin{aligned} = 1 \cdot P (X = 1) + 2 \cdot P (X = 2) + 3 \cdot P (X = 3) + \dots \\ = \sum_{i} i \cdot P (X = i) \end{aligned}

$\begin{align} & = 1 \cdot P( X = 1 ) + 2 \cdot P( X = 2 ) + 3 \cdot P( X = 3 ) + \cdots \\[8pt] & = \sum_i i \cdot P( X = i ) \end{align}$

qed

— Ocak
kaynak

4

Yanıtın tamamını değil, kendi kendine çalışma etiketleri için yararlı ipuçları sağlamanız gerekiyor. Ödevlerini çözmemek daha iyidir :)

— Stat

1

Toplamı neden yeniden sipariş edebileceğinizi açıklamanız gerekmez mi? titiz bir gösteri arıyorsanız bu önemli olacaktır.

— Manuel

@ Ocak'ta

sorusu rastgele değişkendir ,

ayrık veya Sürekli olduğunu söylemeyin .

X

$X$

X

$X$

— pual ambagher

1

Pual, evet

ilk satırda ayrık olduğunu belirttiniz : "ayrık" (mümkün olan en geniş anlamıyla), değişkenin olasılık

sahip olduğu aralık aralığının sayılabilir bir alt kümesi olduğu anlamına gelir ; çünkü

sayılabilir olduğunu da

ayrık olmalıdır.

X

$X$

1

$1$

N

$\mathbb{N}$

X

$X$

— whuber

Katılıyorum ve anladım. ve hepsinden teşekkür ederim.

— pual ambagher

11

Ocak ayının cevabını seviyorum. Diziyi yazmak için bir yol önerebilir miyim, böylece göz yeniden düzenlemeyi daha kolay yakalar (tahtaya yazmayı seviyorum)? (Yeniden düzenleme matematiksel olarak sağlamdır, çünkü bu birdizi olumlu terimdir.)

\begin{array}{rcl} \sum_{k = 1}^{\infty} P (X \geq k) & = & P (X \geq 1) = P (X = 1) & + & P (X = 2) & + & P (X = 3) & + & \dots \\ + & P (X \geq 2) & + & P (X = 2) & + & P (X = 3) & + & \dots \\ + & P (X \geq 3) & + & P (X = 3) & + & \dots \\ + & \dots & + & \dots \end{array}

$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty P(X\geq k) &=& \quad P(X\geq 1) \quad=\quad P(X=1)&+&P(X=2)&+&P(X=3) &+& \;\dots\\ &+& \quad P(X\geq 2) &+& P(X=2) &+&P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad P(X\geq 3) && &+& P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad\quad\;\; \dots && &&&+& \;\dots\\ \end{eqnarray}$

— Zen
kaynak

X'in ayrık olduğunu düşünüyor musunuz?

— BCLC

@BCLC, formül yalnızca X pozitif tamsayılar alabildiğinde çalışır. Aslında, standart üniforma dağılımı için 1 verir, cevap ise 1/2'dir. Ya da, daha ayrık durum olduğunu düşünelim iki noktalı dağıtım

: ortalama değer 3/8 ise, formül, 0 verir.

P (X = 1 / 4) = P (X = 1 / 2) = 1 / 2

$P(X = 1/4) = P(X = 1/2) = 1/2$

— Artem Sobolev

3

Bence bunu yapmanın standart yolu yazmak

X = \sum_{n = 1}^{\infty} 1 (X \geq n)

$X =\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)$

E (X) = E (\sum_{n = 1}^{\infty} 1 (X \geq n))

$E(X) =E\left(\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)\right)$

ve daha sonra beklenti ve toplamın tersini (Tonelli teoremine göre)

— seanv507
kaynak

İlginç. Bunun

ayrık olduğunu varsaymadığını söylemek doğru mu? : O

X

$X$

— BCLC

1

@BCLC İlk satır yalnızca X doğal bir sayı ise doğrudur, bu yüzden doğru değildir ....

— seanv507

1

Buradaki diğer mükemmel cevaplardan biri ( seanv507'den ), bu beklenti kuralının, temelde rastgele değişkeni, gösterge değişkenlerinin sonsuz bir toplamı olarak ifade eden daha güçlü bir sonuçtan kaynaklandığını belirtti. Daha genel bir sonuç kanıtlamak mümkündür ve bu sorudaki beklenti kuralını elde etmek için kullanılabilir. $X: \Omega \rightarrow \mathbb{N}$ (bu nedenle desteği doğal sayılardan daha geniş değilse ), şu şekilde gösterilebilir (aşağıda kanıt):

X = \sum_{n = 1}^{max (X, m)} I (X ⩾ n) for all m \in N .

$X = \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \quad \quad \quad \text{for all } m \in \mathbb{N}.$

Daha sonra $m \rightarrow \infty$ almak faydalı bir sonuç verir:

X = \sum_{n = 1}^{\infty} I (X ⩾ n) .

$X = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{I}(X \geqslant n).$

Bu sonucun, sorudaki beklenti kuralından daha güçlü olduğunu belirtmek gerekir, çünkü sadece anını değil, temeldeki rastgele değişken için bir ayrışma sağlar. Diğer cevapta belirtildiği gibi, bu denklemin her iki tarafının beklentilerini almak ve Tonelli teoremini (toplam ve beklenti operatörlerinin sırasını değiştirmek için) uygulamak, sorudaki beklenti kuralını verir. Bu, negatif olmayan rastgele değişkenlerle uğraşırken kullanılan standart bir beklenti kuralıdır.

Yukarıdaki sonuç oldukça basit bir şekilde kanıtlanabilir. Bunu gözlemleyerek başlayın:

X = \underset{X times}{\underset{⏟}{1 + 1 + \dots + 1}} + \underset{countable times}{\underset{⏟}{0 + 0 + \dots + 0}} .

$X = \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \text{countable times}}.$

Bu nedenle herhangi bir $m \in \mathbb{N}$ için:

\begin{aligned} X & = \underset{X times}{\underset{⏟}{1 + 1 + \dots + 1}} + \underset{max (0, m - X) times}{\underset{⏟}{0 + 0 + \dots + 0}} \\ = \sum_{n = 1}^{X} I (X ⩾ n) + \sum_{n = 1}^{max (0, m - X)} I (X ⩾ X + n) \\ = \sum_{n = 1}^{X} I (X ⩾ n) + \sum_{n = X + 1}^{max (X, m)} I (X ⩾ n) \\ = \sum_{n = 1}^{max (X, m)} I (X ⩾ n) . \end{aligned} .

$\begin{equation} \begin{aligned} X &= \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \max(0,m-X) \text{ times}} \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=1}^{\max(0,m-X)} \mathbb{I}(X \geqslant X+ n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=X+1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) . \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}.$

— Ben - Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak