“Basit” bir ölçüm hatası modelini takma yöntemleri

"OLS" ölçüm hatası modelini tahmin etmek için kullanılabilecek yöntemler arıyorum.

y_{i} = Y_{i} + e_{y, i}

$y_{i}=Y_{i}+e_{y,i}$

x_{i} = X_{i} + e_{x, i}

$x_{i}=X_{i}+e_{x,i}$

Y_{i} = α + β X_{i}

$Y_{i}=\alpha + \beta X_{i}$

Hataların bağımsız olduğu ve bilinmeyen varyansların olduğu ve . "Standart" OLS bu durumda çalışmaz. $\sigma_{y}^{2}$ $\sigma_{x}^{2}$

Vikipedi'nin bazı cazip çözümleri yok - ikiniz "varyans oranını" veya " güvenilirlik oranı " bilinmektedir, burada , gerçek varyansıdır . Bundan memnun değilim, çünkü varyansları bilmeyen biri oranlarını nasıl bilebilir? $\delta=\frac{\sigma_{y}^{2}}{\sigma_{x}^{2}}$ $\lambda=\frac{\sigma_{X}^{2}}{\sigma_{x}^{2}+\sigma_{X}^{2}}$ $\sigma_{X}^2$ $X_i$

Her neyse, bu ikisinin yanı sıra parametreler hakkında hiçbir şey "bilmemi" gerektirmeyen başka çözümler var mı?

Sadece kesişme ve eğim için çözümler iyi.

regression estimation errors-in-variables

— probabilityislogic
kaynak

Wikipedia makalesinin kendisi size bu sorunun cevabını veriyor. "Gerçek" regresörün normalliğini varsayarsanız, hataların dağılımı hakkında daha fazla koşula ihtiyacınız vardır. Eğer gerçek regresör Gausscu değilse, biraz umudun var. Bakınız Reiersol (1950) .

— kardinal

ayrıca, "Sadece kesişme ve eğim için çözümler iyi" demekle ne demek istersiniz. Bunlar sadece iki parametreniz! Yoksa "gerçek" regresörü de geri çekmeyi mi umuyordunuz?

— kardinal

@cardinal - İki ölçek parametresini özellikle umursamadığımı ve söylediğiniz gibi "gerçek" regresör .

X_{i}

$X_{i}$

— probabilityislogic

Anlıyorum. Mantıklı.

— kardinal

JW Gillard tarafından her iki Değişkende Hatalı Doğrusal Regresyonun Tarihsel Görünümünde açıklanan bir dizi olasılık vardır

Bir yöntemi başka bir yöntemle seçmekle ilgili ayrıntılar veya nedenlerle ilgilenmiyorsanız, çizgiyi centroid ile eğim , yani gözlemlenen standart sapmaların oranı (eğim işaretini ve kovaryansının işareti ile aynı yapmak ); muhtemelen çalışabileceğiniz gibi, bu 'nın eksenine kesişme sağlar $(\bar{x},\bar{y})$ $\hat{\beta}=s_y/s_x$ $x$ $y$ $y$ $\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta}\bar{x}.$

Bu özel yaklaşımın esasları

Bu karşılaştırma, aynı hat verir karşı olarak karşı , $x$ $y$ $y$ $x$
ölçek değişmez, bu yüzden birimler hakkında endişelenmenize gerek yok,
iki sıradan lineer regresyon çizgisi arasında yer alır.
gözlemlerin merkezinde, birbirlerini geçtikleri yerden geçer ve
hesaplamak çok kolaydır.

Eğim, iki sıradan lineer regresyon eğiminin eğimlerinin geometrik ortalamasıdır. Ayrıca ve gözlemlerini standardize ederseniz , 45 ° 'de bir çizgi çizdiyseniz (veya negatif korelasyon varsa 135 °' de) ve daha sonra çizgiyi de standartlaştırırsanız elde edeceğiniz şey de budur . Ayrıca, iki hata kümesinin varyanslarının, iki gözlem kümesinin varyanslarıyla orantılı olduğu örtük bir varsayımın yapılmasına eşdeğer olarak görülebilir; anlayabildiğim kadarıyla bunun yanlış olduğunu bilmediğini iddia ediyorsun. $x$ $y$

Burada göstermek için bazı R kodudur: grafikte kırmızı çizgi OLS regresyonu ile , mavi çizgi OLS regresyonu ile ve yeşil çizgi, bu basit bir yöntemdir. Eğimin yaklaşık 5 olması gerektiğini unutmayın. $Y$ $X$ $X$ $Y$

X0 <- 1600:3600
Y0 <- 5*X0 + 700
X1 <- X0 + 400*rnorm(2001)
Y1 <- Y0 + 2000*rnorm(2001)
slopeOLSXY  <- lm(Y1 ~ X1)$coefficients[2]     #OLS slope of Y on X
slopeOLSYX  <- 1/lm(X1 ~ Y1)$coefficients[2]   #Inverse of OLS slope of X on Y
slopesimple <- sd(Y1)/sd(X1) *sign(cov(X1,Y1)) #Simple slope
c(slopeOLSXY, slopeOLSYX, slopesimple)         #Show the three slopes
plot(Y1~X1)
abline(mean(Y1) - slopeOLSXY  * mean(X1), slopeOLSXY,  col="red")
abline(mean(Y1) - slopeOLSYX  * mean(X1), slopeOLSYX,  col="blue")
abline(mean(Y1) - slopesimple * mean(X1), slopesimple, col="green")

— Henry
kaynak

@Henry, tanımınızın benim için bir anlamı yok. Bazı "şapkalar" eksik mi?

\hat{β}

$\hat{\beta}$

— kardinal

Bu, ın gözlemlenen standart sapmasının nin gözlenen standart sapmasına bölünmesi anlamına gelir . Ben değiştireceğiz için

{y_{i}}

$\{y_i\}$

{x_{i}}

$\{x_i\}$

σ

$\sigma$

s

$s$

— Henry

@ Henry, yorumlarınızdan bazılarını açıklayabilir misiniz? Şu anki açıklamanıza göre bir şey beni rahatsız ediyor. Let varsayarak eğimi olması tepkidir ve bir belirleyicisidir. Let eğim varsayarak olduğu tepki ve bir belirleyicisi. Sonra ve ; burada ve arasındaki örnek korelasyonudur . Bu nedenle, bu iki eğim tahmininin geometrik ortalaması sadece dır .

{\hat{β}}_{x y}

$\hat{\beta}_{xy}$

y

$y$

x

$x$

{\hat{β}}_{y x}

$\hat{\beta}_{yx}$

x

$x$

y

$y$

{\hat{β}}_{x y} = \hat{ρ} s_{y} / s_{x}

$\hat{\beta}_{xy} = \hat{\rho}s_y / s_x$

{\hat{β}}_{y x} = \hat{ρ} s_{x} / s_{y}

$\hat{\beta}_{yx} = \hat{\rho} s_x / s_y$

\hat{ρ}

$\hat{\rho}$

x

$x$

y

$y$

\hat{ρ}

$\hat{\rho}$

— kardinal

@cardinal: Hayır - gördüğümde eğim çünkü olarak yeniden yazılabilir . İki OLS çizgisini aynı grafik üzerinde gözlenen noktalarla (örneğin dikey eksende ve yatay eksende ile) çizmeye çalıştığınızda , eğimlerden birini ters çevirmeniz gerekir. Yani demek istediğim , sadece olan ve geometrik ortalamalarını . Ya da, ve her iki çizgi ve gözlenen noktalar için başka bir şekilde çizecek kadar geleneksel değilseniz, bunun tersini eğim olarak alırsınız.

x = b y + c

$x = by+c$

1 / b

$1/b$

y = x / b - c / b

$y=x/b-c/b$

y

$y$

x

$x$

\hat{ρ} s_{y} / s_{x}

$\hat{\rho}s_y/s_x$

s_{y} / \hat{ρ} s_{x}

$s_y/\hat{\rho}s_x$

s_{y} / s_{x}

$s_y/s_x$

y

$y$

x

$x$

— Henry

@Henry - bu oldukça ilginç bir cevap. Geçerliliğinden şüphe etmiyorum, ama beni şaşırtan bir şey, ve arasındaki korelasyon / kovaryansın cevapta tamamen yok olmasıdır. Şüphesiz bu olmalıdır cevap alakalı?

Y

$Y$

X

$X$

— probabilityislogic