Bu çok temel bir soru. Neden ki kare dağılımı kullanıyoruz? Bu dağılımın anlamı nedir? Bu dağılım neden varyans için bir güven aralığı oluşturmak için kullanılıyor?

Bir açıklama için Google'da gördüğüm her yer, chi'yi ne zaman kullanacağınızı açıklayan, ancak chi'yi neden kullandığını ve neden böyle göründüğünü açıklamıyor.

Beni doğru yöne yönlendirebilen herkese çok teşekkürler, yani - varyans için bir güven aralığı oluştururken neden chi kullandığımı gerçekten anlıyorum.

variance chi-squared

— nafrtiti
kaynak

Bunu kullanıyorsunuz çünkü - veriler normal olduğunda -

Q = (n - 1) \frac{s^{2}}{σ^{2}} \sim χ_{n - 1}^{2}

$Q = (n-1)\frac{s^2}{\sigma^2}\sim \chi^2_{n-1}$ . (Bu

Q

$Q$ önemli bir miktar olmasını sağlar)

— Glen_b-Monica'yı

Ayrıca bkz. Stats.stackexchange.com/questions/15711/… ve bağlantıları.

— Nick Cox

uygulamalarıyla ilgilenen veya daha fazla araştırma yapmak isteyenler için

("chi-squared") dağılımı ile

("chi") dağılımı ( şaşırtıcı bir şekilde

kare kökü ).

χ^{2}

$\chi^2$

χ^{2}

$\chi^2$

χ

$\chi$

χ^{2}

$\chi^2$

— whuber

Hızlı cevap

Bunun nedeni, verilerin iid ve olduğu ve $X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$ güven aralıkları oluştururken, numune varyansı ile ilişkili örnekleme dağılımı (, hatırlayın, rastgele bir değişken!) Ki-kare dağılımı (), örnek ortalamasıyla ilişkili örnekleme dağılımı standart normal dağılım olduğu gibi (

\begin{array}{rcl} \bar{X} & = & \sum^{N} \frac{X_{i}}{N} \\ S^{2} & = & \sum^{N} \frac{(\bar{X} - X_{i})^{2}}{N - 1} \end{array}

$\begin{eqnarray*} \bar{X}&=&\sum^N \frac{X_i}{N}\\ S^2 &=& \sum^{N} \frac{(\bar{X}-X_i)^2}{N-1} \end{eqnarray*}$

S^{2}

$S^2$

S^{2} (N - 1) / σ^{2} \sim χ_{n - 1}^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2 \sim \chi^2_{n-1}$

) varyansı bildiğinizde ve bilmediğinizde bir t öğrencisi ile (

(\bar{X} - μ) \sqrt{n} / σ \sim Z (0, 1)

$(\bar{X}-\mu)\sqrt{n}/\sigma \sim Z(0,1)$

(\bar{X} - μ) \sqrt{n} / S \sim T_{n - 1}

$(\bar{X}-\mu)\sqrt{n}/S \sim T_{n-1}$

Uzun cevap

Her şeyden önce, ile ki-kare dağılımını takip ettiğini kanıtlayacağız. $S^2(N-1)/\sigma^2$ $N-1$ serbestlik dereceli . Bundan sonra, varyansın güven aralıklarını elde ederken bu kanıtın nasıl yararlı olduğunu ve ki-kare dağılımının nasıl göründüğünü (ve neden bu kadar yararlı olduğunu!) Göreceğiz. Hadi başlayalım.

Kanıt

Bunun için belki de bu Wikipedia makalesinde ki-kare dağılımına alışmanız gerekir . Bu dağılımın sadece bir parametresi vardır: serbestlik derecesi, ve şu şekilde verilen bir Moment Üretme Fonksiyonuna (MGF) sahiptir: dağılımının bunun gibi bir moment üretme fonksiyonuna sahip olduğunu gösterebilirsek , ancak $\nu$

m_{χ_{ν}^{2}} (t) = (1 - 2 t)^{- ν / 2} .

$\begin{equation*} m_{\chi^2_\nu}(t)=(1-2t)^{-\nu/2}. \end{equation*}$

S^{2} (N - 1) / σ^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2$

, sonra

serbestlik derecesinesahip bir ki-kare dağılımını izlediğini gösterdik. Bunu göstermek için iki gerçeği not edin:

ν = N - 1

$\nu=N-1$

S^{2} (N - 1) / σ^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2$

N - 1

$N-1$

, burada, örneğin, standart normal rasgele değişkenler, momenti üreten fonksiyonile verilir
$Y = \sum \frac{(X_{i} - \bar{X})^{2}}{σ^{2}} = \sum Z_{i}^{2},$ $\begin{equation*} Y = \sum \frac{(X_i-\bar{X})^2}{\sigma^2} = \sum Z_i^2, \end{equation*}$ $Z_i\sim N(0,1)$ $Y$ Arasında MGFile verilir $\begin{array}{rcl} m_{Y} (t) & = & E [e^{t Y}] \\ = & E [e^{t Z_{1}^{2}}] \times E [e^{t Z_{2}^{2}}] \times . . . E [e^{t Z_{N}^{2}}] \\ = & m_{Z_{i}^{2}} (t) \times m_{Z_{2}^{2}} (t) \times . . . m_{Z_{N}^{2}} (t) . \end{array}$ $\begin{eqnarray*} m_Y(t) &=& \mathbb{E}[e^{tY}]\\ &=&\mathbb{E}[e^{tZ_1^2}]\times \mathbb{E}[e^{tZ_2^2}]\times ...\mathbb{E}[e^{tZ_N^2}]\\ &=&m_{Z_i^2}(t)\times m_{Z_2^2}(t)\times ...m_{Z_N^2}(t). \end{eqnarray*}$ $Z^2$ I, standart normal, PDF kullandık $\begin{array}{rcl} m_{Z^{2}} (t) & = & \int_{- \infty}^{\infty} f (z) \exp (t z^{2}) d z \\ = & (1 - 2 t)^{- 1 / 2}, \end{array}$ $\begin{eqnarray*} m_{Z^2}(t) &=& \int_{-\infty}^{\infty} f(z)\exp(tz^2)dz\\ &=&(1-2t)^{-1/2}, \end{eqnarray*}$ ve dolayısıyla budaserbestlik derecelibir ki-kare dağılımını izlediğini gösterir. $f(z)=e^{-z^2/2}/\sqrt{2\pi}$ $m_{Y} (t) = (1 - 2 t)^{- N / 2},$ $\begin{equation*} m_Y(t)=(1-2t)^{-N/2}, \end{equation*}$ $Y$ $N$
$Y_1$ $Y_2$ $\nu_1$ $\nu_2$ $W=Y_1+Y_2$ $\nu_1+\nu_2$ $W$

$N-1$

(N - 1) S^{2} = - n (\bar{X} - μ) + \sum (X_{i} - μ)^{2},

$\begin{equation*} (N-1)S^2 = -n(\bar{X}-\mu)+\sum(X_i-\mu)^2, \end{equation*}$

σ^{2}

$\sigma^2$

\frac{(N - 1) S^{2}}{σ^{2}} + \frac{(\bar{X} - μ)^{2}}{σ^{2} / N} = \sum \frac{(X_{i} - μ)^{2}}{σ^{2}} .

$\begin{equation*} \frac{(N-1)S^2}{\sigma^2}+\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2/N}=\sum \frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}. \end{equation*}$

N

$N$ $S^2(N-1)/\sigma^2$ $N-1$ .

Varyans için Güven Aralıkının hesaplanması.

$L_1$ $L_2$

P (L_{1} \leq σ^{2} \leq L_{2}) = 1 - α .

$\begin{equation*} \mathbb{P}\left(L_1\leq \sigma^2 \leq L_2\right) = 1-\alpha. \end{equation*}$

S^{2} (N - 1)

$S^2(N-1)$

\frac{L_{1}}{S^{2} (N - 1)} \leq \frac{σ^{2}}{S^{2} (N - 1)} \leq \frac{L_{2}}{S^{2} (N - 1)} .

$\begin{equation*} \frac{L_1}{S^2(N-1)}\leq \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} \leq \frac{L_2}{S^2(N-1)}. \end{equation*}$ And then remember two things: (1) the statistic

S^{2} (N - 1) / σ^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2$ has a chi-squared distribution with

N - 1

$N-1$ degrees of freedom and (2) the variances is always greather than zero, which implies that you can invert the inequalities, because

\begin{array}{rcl} \frac{L_{1}}{S^{2} (N - 1)} \leq \frac{σ^{2}}{S^{2} (N - 1)} & \Rightarrow & \frac{S^{2} (N - 1)}{σ^{2}} \leq \frac{S^{2} (N - 1)}{L_{1}}, \\ \frac{σ^{2}}{S^{2} (N - 1)} \leq \frac{L_{2}}{S^{2} (N - 1)} & \Rightarrow & \frac{S^{2} (N - 1)}{L_{2}} \leq \frac{S^{2} (N - 1)}{σ^{2}}, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \frac{L_1}{S^2(N-1)}\leq \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} &\Rightarrow& \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2}\leq \frac{S^2(N-1)}{L_1},\\ \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} \leq \frac{L_2}{S^2(N-1)} &\Rightarrow& \frac{S^2(N-1)}{L_2} \leq \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2},\\ \end{eqnarray*}$ hence, the probability we are looking for is:

P (\frac{S^{2} (N - 1)}{L_{2}} \leq \frac{S^{2} (N - 1)}{σ^{2}} \leq \frac{S^{2} (N - 1)}{L_{1}}) = 1 - α .

$\begin{equation*} \mathbb{P}\left(\frac{S^2(N-1)}{L_2} \leq \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2}\leq \frac{S^2(N-1)}{L_1}\right) = 1-\alpha. \end{equation*}$ Note that

S^{2} (N - 1) / σ^{2} \sim χ^{2} (N - 1)

$S^2(N-1)/\sigma^2 \sim \chi^2(N-1)$ . We want then,

\begin{array}{rcl} \int_{\frac{S^{2} (N - 1)}{L_{2}}}^{N - 1} p_{χ^{2}} (x) d x & = & (1 - α) / 2, \\ \int_{N - 1}^{\frac{S^{2} (N - 1)}{L_{1}}} p_{χ^{2}} (x) d x & = & (1 - α) / 2 \end{array}

$\begin{eqnarray*} \int_{\frac{S^2(N-1)}{L_2}}^{N-1}p_{\chi^2}(x)dx &=& (1-\alpha)/2\ \ \ ,\\ \int_{N-1}^{\frac{S^2(N-1)}{L_1}}p_{\chi^2}(x)dx &=& (1-\alpha)/2\ \ \, \end{eqnarray*}$ (we integrate up to

N - 1

$N-1$ because the expected value of a chi-squared random variable with

N - 1

$N-1$ degrees of freedom is

N - 1

$N-1$ ) or, equivalently,

\begin{array}{rcl} \int_{0}^{\frac{S^{2} (N - 1)}{L_{2}}} p_{χ^{2}} (x) d x = α / 2, \\ \int_{\frac{S^{2} (N - 1)}{L_{1}}}^{\infty} p_{χ^{2}} (x) d x = α / 2. \end{array}

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{S^2(N-1)}{L_2}}p_{\chi^2}(x)dx=\alpha/2,\\ \int_{\frac{S^2(N-1)}{L_1}}^{\infty}p_{\chi^2}(x)dx=\alpha/2. \end{eqnarray*}$ Calling

χ_{α / 2}^{2} = \frac{S^{2} (N - 1)}{L_{2}}

$\chi^2_{\alpha/2}=\frac{S^2(N-1)}{L_2}$ and

χ_{1 - α / 2}^{2} = \frac{S^{2} (N - 1)}{L_{1}}

$\chi^2_{1-\alpha/2}= \frac{S^2(N-1)}{L_1}$ , where the values

χ_{α / 2}^{2}

$\chi^2_{\alpha/2}$ and

χ_{1 - α / 2}^{2}

$\chi^2_{1-\alpha/2}$ can be found in chi-square tables (in computers mainly!) and solving for

L_{1}

$L_1$ and

L_{2}

$L_2$ ,

\begin{array}{rcl} L_{1} & = & \frac{S^{2} (N - 1)}{χ_{1 - α / 2}^{2}}, \\ L_{2} & = & \frac{S^{2} (N - 1)}{χ_{α / 2}^{2}} . \end{array}

$\begin{eqnarray*} L_1 &=& \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{1-\alpha/2}},\\ L_2 &=& \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{\alpha/2}}. \end{eqnarray*}$ Hence, your confidence interval for the variance is

C . I . = (\frac{S^{2} (N - 1)}{χ_{1 - α / 2}^{2}}, \frac{S^{2} (N - 1)}{χ_{α / 2}^{2}}) .

$\begin{equation*} C.I.=\left(\frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{1-\alpha/2}}, \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{\alpha/2}}\right). \end{equation*}$

— Néstor
kaynak

Simply because

S^{2}

$S^2$ does not follow a centered chi-square distribution, while

S^{2} (N - 1) / σ^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2$ does and, therefore, its easier to work with. Are you asking for a derivation for that? (i.e., you want someone to show you that

S^{2} (N - 1) / σ^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2$ follows a chi-square distribution with

N - 1

$N-1$ degrees of freedom?)

— Néstor

It would be helpful to modify this answer to include the very strong but unstated assumption that the sample variance follows a chi-squared distribution when the underlying data are independent and follow a normal distribution. Unlike the theory of the distribution of the sample mean, where in practice its sampling distribution will be approximately Normal to reasonable accuracy in many situations, this same asymptotic behavior tends not to happen with the sample variance (until sample sizes become extremely large).

— whuber

Oops. So, so true! This actually came from a problem solution that I handed out to some students, where I state on the question all these assumptions. I edited the answer now.

— Néstor

@user34756 The reason we don't use the distribution of

S^{2}

$S^2$ directly is that its distribution depends on the value of a parameter. You may find it useful to investigate the use of pivotal quantities in constructing confidence intervals.

— Glen_b -Reinstate Monica

Isn't

f (z) = e^{- z^{2} / 2}

$f(z) = e^{-z^2/2}$ instead of

f (z) = e^{- z^{2}}

$f(z) = e^{-z^2}$ ?

— Benoît Legat

Varyans için bir güven aralığı oluştururken neden ki kare kullanılıyor?

Hızlı cevap

Uzun cevap

Kanıt

Varyans için Güven Aralıkının hesaplanması.