Neden rand () ^ 2 dağılımı rand () * rand () 'den farklıdır?

Libre Office Calc'ta, rand()tekdüze bir dağılımdan 0 ile 1 arasında rastgele bir değer seçen işlev kullanılabilir. Olasılığımda biraz paslıyım, bu yüzden aşağıdaki davranışı gördüğümde şaşkındım:

A = 200x1 sütun rand()^2

B = 200x1 sütun rand()*rand()

mean(A) = 1/3

mean(B) = 1/4

Neden mean(A)! = 1/4?

expected-value random-generation uniform

— Jefftopia
kaynak

Çünkü rastgele bir değişkenin karesinin beklentisi, beklentisinin karesine eşit değildir.

— Michael M

rand()Diğer benzer operatörler gibi çalışırsa , A aynı rasgele sayı karesidir ve B iki rasgele sayıdır, çarpılır.

— Peter Flom - Monica'yı eski durumuna döndürün

Anlıyorum. Ben matematik yazıldığını görebiliyordu, ya da bunu yapan bir kaynak bağlı olsa çok yararlı olacaktır.

— Jefftopia

Durumu basitleştirmek konuyu görmenize yardımcı olabilir. Farz edelim ki Rand(), Int(2*Rand())bu eşit olasılıklarla

değerlerini alır . Karesi için iki olasılık ve iki (bağımsız) değerin ürünü için dört olasılık vardır: beklentilerini çözdüğünüzde ne olur?

0

$0$

1

$1$

— whuber

Yanıtlar:

Dikdörtgenleri düşünmek yardımcı olabilir. Ücretsiz arazi edinme şansınız olduğunu düşünün. Arazinin büyüklüğü (a) rastgele değişkenin bir gerçekleştirilmesi veya (b) aynı rastgele değişkenin iki gerçekleştirilmesi ile belirlenecektir. İlk durumda (a), alan, kenar uzunluğu örneklenen değere eşit olacak şekilde bir kare olacaktır. İkinci durumda (b), örneklenen iki değer bir dikdörtgenin genişliğini ve uzunluğunu temsil edecektir. Hangi alternatifi seçiyorsunuz?

pozitif bir rastgele değişkenin gerçekleşmesi olsun . $\mathbf{U}$

a) Bir gerçekleştirme beklenen değeri eşittir kare alanı belirler . Ortalama olarak, alanın büyüklüğü $\mathbf{U}$ $\mathbf{U}^2$

E [U^{2}]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$

b) iki bağımsız gerçekleşmeleri varsa ve , alan olacak . Ortalama olarak, her iki gerçekleşme de aynı dağılımdan ve bağımsız olduğundan boyut eşittir . $\mathbf{U}_1$ $\mathbf{U}_2$ $\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2$

E [U_{1} \cdot U_{2}] = E^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2] = \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

A) ve b) alanlarının büyüklüğü arasındaki farkı hesapladığımızda,

E [U^{2}] - E^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

$\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}]$ $0$

Bu genel durum için geçerlidir.

$\mathcal{U}(0,1)$

E [U] = \frac{1}{2}

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{2}$

E^{2} [U] = \frac{1}{4}

$\mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}] = \frac{1}{4}$

V a r [U] = \frac{1}{12}

$\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{12}$

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] + \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

E [U^{2}] = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$

Bu değerler analitik olarak türetildi, ancak rastgele sayı üreteci ile elde ettiğiniz değerlerle eşleşiyorlar.

— Sven Hohenstein
kaynak

a

$a$

b

$b$

\frac{a^{2} + a b + b^{2}}{3}

$\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}$

Bu akıllıca bir varyans kullanımıdır. Ve burada doğrudan matematiği patlatmak üzereydim.

— Afin

Bu bana mantıklı geliyor. Her şey varyansın negatif olmamasına bağlıdır. John'un cevabını nasıl aldığını da merak ediyorum.

— Jefftopia

Temel olarak Sven'in yaptıklarını takip ettiler, ancak daha genel bir düzgün dağılım için formüllerle değiştirdiler.

— John

E [U^{2}] - E [U^{2}]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$

E [U^{2}] - E^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

Sven'in mükemmel cevabından yoksun bir şey olduğunu öne sürmemek için değil, ancak soruyu nispeten temel bir şekilde ele almak istedim.

Eklem dağılımının çok farklı olduğunu görmek için her bir ürünün iki bileşenini çizmeyi düşünün.

u1 vs u2 ve u1 vs u1

Ürünün, her iki bileşen de büyük olduğunda yalnızca büyük (1'e yakın) olma eğiliminde olduğuna dikkat edin; bu, iki bileşen bağımsız olmak yerine mükemmel bir şekilde ilişkilendirildiğinde çok daha kolay olur.

$1-\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon/2$ $U^2$ $U_1\times U_2$ $\epsilon^2/2$

Oldukça büyük bir fark!

Yukarıdaki gibi grafikler üzerinde iso-ürün konturları çizmeye yardımcı olabilir - yani, xy = 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9 gibi değerler için sabit olan eğriler. Daha büyük ve daha büyük değerlere gittikçe, konturun üstündeki ve sağındaki noktaların oranı, bağımsız durum için çok daha hızlı bir şekilde azalır.

— Glen_b-Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak