Bu grafiği yapmak için, ortalama = 0 ve sd = 1 olan normal bir dağılımdan farklı büyüklükte rastgele örnekler ürettim. Güven aralıkları daha sonra t.test () işleviyle .001 ile .999 (kırmızı çizgi) arasında değişen alfa kesimleri kullanılarak hesaplandı, profil olasılığı, aşağıdaki notlarda bulduğum kod kullanılarak hesaplandı (I can ' t Şu anda bağlantıyı bul Düzenle: Bulundu ), bu mavi çizgilerle gösterilir. Yeşil çizgiler R yoğunluğu () işlevini kullanarak normalleştirilmiş yoğunluğu gösterir ve veriler her grafiğin altındaki kutu grafikler ile gösterilir. Sağda% 95 güven aralıklarının (kırmızı) ve maksimum olabilirlik aralıklarının 1 / 20'sinin (mavi) tırtıl grafiği.

Profil olasılığı için kullanılan R Kodu:

  #mn=mean(dat)
  muVals <- seq(low,high, length = 1000)
  likVals <- sapply(muVals,
                    function(mu){
                      (sum((dat - mu)^2) /
                         sum((dat - mn)^2)) ^ (-n/2)
                    }
  )

Benim özel sorum, bu iki aralık türü arasında bilinen bir ilişki olup olmadığı ve güven aralığının n = 3 dışındaki tüm durumlar için neden daha muhafazakar olduğu görünüyor. Hesaplamalarımın geçerli olup olmadığı (ve bunu yapmanın daha iyi bir yolu) ve bu iki aralık arasındaki genel ilişki hakkında yorum / cevaplar da istenmektedir.

R kodu:

samp.size=c(3,4,5,10,20,1000)
cnt2<-1
ints=matrix(nrow=length(samp.size),ncol=4)
layout(matrix(c(1,2,7,3,4,7,5,6,7),nrow=3,ncol=3, byrow=T))
par(mar=c(5.1,4.1,4.1,4.1))
for(j in samp.size){


  #set.seed(200)
  dat<-rnorm(j,0,1)
  vals<-seq(.001,.999, by=.001)
  cis<-matrix(nrow=length(vals),ncol=3)
  cnt<-1
  for(ci in vals){
    x<-t.test(dat,conf.level=ci)$conf.int[1:2]
    cis[cnt,]<-cbind(ci,x[1],x[2])
    cnt<-cnt+1
  }


  mn=mean(dat)
  n=length(dat)
  high<-max(c(dat,cis[970,3]), na.rm=T)
  low<-min(c(dat,cis[970,2]), na.rm=T)
  #high<-max(abs(c(dat,cis[970,2],cis[970,3])), na.rm=T)
  #low<--high


  muVals <- seq(low,high, length = 1000)
  likVals <- sapply(muVals,
                    function(mu){
                      (sum((dat - mu)^2) /
                         sum((dat - mn)^2)) ^ (-n/2)
                    }
  )


  plot(muVals, likVals, type = "l", lwd=3, col="Blue", xlim=c(low,high),
       ylim=c(-.1,1), ylab="Likelihood/Alpha", xlab="Values",
       main=c(paste("n=",n), 
              "True Mean=0 True sd=1", 
              paste("Sample Mean=", round(mn,2), "Sample sd=", round(sd(dat),2)))
  )
  axis(side=4,at=seq(0,1,length=6),
       labels=round(seq(0,max(density(dat)$y),length=6),2))
  mtext(4, text="Density", line=2.2,cex=.8)

  lines(density(dat)$x,density(dat)$y/max(density(dat)$y), lwd=2, col="Green")
  lines(range(muVals[likVals>1/20]), c(1/20,1/20), col="Blue", lwd=4)
  lines(cis[,2],1-cis[,1], lwd=3, col="Red")
  lines(cis[,3],1-cis[,1], lwd=3, col="Red")
  lines(cis[which(round(cis[,1],3)==.95),2:3],rep(.05,2), 
        lty=3, lwd=4, col="Red")
  abline(v=mn, lty=2, lwd=2)
  #abline(h=.05, lty=3, lwd=4, col="Red")
  abline(h=0, lty=1, lwd=3)
  abline(v=0, lty=3, lwd=1)

  boxplot(dat,at=-.1,add=T, horizontal=T, boxwex=.1, col="Green")
  stripchart(dat,at=-.1,add=T, pch=16, cex=1.1)

  legend("topleft", legend=c("Likelihood"," Confidence Interval", "Sample Density"),
         col=c("Blue","Red", "Green"), lwd=3,bty="n")

  ints[cnt2,]<-cbind(range(muVals[likVals>1/20])[1],range(muVals[likVals>1/20])[2],
                     cis[which(round(cis[,1],3)==.95),2],cis[which(round(cis[,1],3)==.95),3])
  cnt2<-cnt2+1
}
par(mar=c(5.1,4.1,4.1,2.1))


plot(0,0, type="n", ylim=c(1,nrow(ints)+.5), xlim=c(min(ints),max(ints)), 
     yaxt="n", ylab="Sample Size", xlab="Values")
for(i in 1:nrow(ints)){
  segments(ints[i,1],i+.2,ints[i,2],i+.2, lwd=3, col="Blue")
  segments(ints[i,3],i+.3,ints[i,4],i+.3, lwd=3, col="Red")
}
axis(side=2, at=seq(1.25,nrow(ints)+.25,by=1), samp.size)

Tam bir cevap vermeyeceğim (tam olarak ne yaptığınızı anlamaya çalışırken zorlanıyorum), ancak profil olasılığının nasıl oluşturulduğunu açıklamaya çalışacağım. Cevabımı daha sonra tamamlayabilirim.

Boyutta Normal bir numune tam olabilirlik olan L ( μ , σ 2 ) = ( σ 2 ) - N / 2 exp ( - Σ ı ( x i - μ ) 2 / 2 σ 2 )$n$

$$L(\mu, \sigma^2) = \left( \sigma^2 \right)^{-n/2} \exp\left( - \sum_i (x_i-\mu)^2/2\sigma^2 \right).$$

Eğer ilgi parametredir ve σ 2 bir sıkıntı parametre, yalnızca yapmak çıkarsama bir çözüm u profil olabilirlik tanımlamaktır L P ( μ ) = L ( μ , ^ σ 2 ( μ ) ) ^ σ 2 ( μ ) μ sabit için MLE'dir : ^ σ 2 ( μ ) = argmax σ 2 L ( μ $\mu$$\sigma^2$$\mu$

$$L_P(\mu) = L\left(\mu, \widehat{\sigma^2}(\mu) \right)$$ $\widehat{\sigma^2}(\mu)$$\mu$ $$\widehat{\sigma^2}(\mu) = \text{argmax}_{\sigma^2} L(\mu, \sigma^2).$$

Biri olup olmadığını kontrol eder

$$\widehat{\sigma^2}(\mu) = {1\over n} \sum_k (x_k - \mu)^2.$$

$$L_P(\mu) = \left( {1\over n} \sum_k (x_k - \mu)^2 \right)^{-n/2} \exp( -n/2 ).$$

$\exp(-n/2)$

> data(sleep)
> difference <- sleep$extra[11:20]-sleep$extra[1:10]
> Lp <- function(mu, x) {n <- length(x); mean( (x-mu)**2 )**(-n/2) }
> mu <- seq(0,3, length=501)
> plot(mu, sapply(mu, Lp, x = difference), type="l")

Olasılıkla bağlantı Aşağıdaki grafikle olasılıkla bağlantıyı vurgulamaya çalışacağım.

İlk olarak olasılığı tanımlayın:

L <- function(mu,s2,x) {n <- length(x); s2**(-n/2)*exp( -sum((x-mu)**2)/2/s2 )}

Sonra bir kontur çizimi yapın:

sigma <- seq(0.5,4, length=501)
mu <- seq(0,3, length=501)

z <- matrix( nrow=length(mu), ncol=length(sigma))
for(i in 1:length(mu))
  for(j in 1:length(sigma))
    z[i,j] <- L(mu[i], sigma[j], difference)

# shorter version
# z <- outer(mu, sigma, Vectorize(function(a,b) L(a,b,difference)))

contour(mu, sigma, z, levels=c(1e-10,1e-6,2e-5,1e-4,2e-4,4e-4,6e-4,8e-4,1e-3,1.2e-3,1.4e-3))

$\widehat{\sigma^2}(\mu)$

hats2mu <- sapply(mu, function(mu0) mean( (difference-mu0)**2 ))
lines(mu, hats2mu, col="red", lwd=2)

Profil olasılığının değerleri, kırmızı parabol boyunca olabilirlik tarafından alınan değerlerdir.

$\hat\mu$

$\widehat{\sigma^2}(\mu)$

Örneğin, profil testlerini oluşturmak için profil olasılığını da kullanabilirsiniz.

Genel bir çerçevede, profil olabilirlik aralıkları yaklaşık güven aralıklarıdır. Bu sonucun kanıtı, olasılık oranı istatistiğinin (asimptotik olarak) yaklaşık olarak bir$\chi^2_k$

$0.147$$95\%$

Bunlar klasik sonuçlardır ve bu nedenle sadece bu konuda bazı referanslar vereceğim:

http://www.jstor.org/stable/2347496

http://www.stata-journal.com/sjpdf.html?articlenum=st0132

http://www.unc.edu/courses/2010fall/ecol/563/001/docs/lectures/lecture11.htm

http://en.wikipedia.org/wiki/Likelihood-ratio_test

http://en.wikipedia.org/wiki/Likelihood_function#Profile_likelihood

Aşağıdaki R kodu, küçük örnekler için bile, her iki yaklaşımla da elde edilen aralıkların benzer olduğunu gösterir (Elvis örneğini yeniden kullanıyorum):

Normalleştirilmiş profil olasılığını kullanmanız gerektiğini unutmayın.

data(sleep)
x <- sleep$extra[11:20]-sleep$extra[1:10]
n <- length(x)
Rp <- function(mu) {mean( (x-mean(x))^2 )^(n/2)/mean( (x-mu)^2 )^(n/2) }
Rp(mean(x))

mu <- seq(0,3, length=501)
plot(mu, sapply(mu, Rp), type="l")


Rpt<- function(mu) Rp(mu)-0.147 # Just an instrumental function

# Likelihood-confidence interval of 95% level

c(uniroot(Rpt,c(0.5,1.5))$root,uniroot(Rpt,c(1.51,3))$root)

# t confidence interval

t.test(x,conf.level=0.95)$conf.int

Daha büyük bir örnek boyutu kullanırsak, güven aralıkları daha da yakındır:

set.seed(123)
x <- rnorm(100)
n <- length(x)
Rp <- function(mu) {mean( (x-mean(x))^2 )^(n/2)/mean( (x-mu)^2 )^(n/2) }
Rp(mean(x))

mu <- seq(-0.5,0.5, length=501)
plot(mu, sapply(mu, Rp), type="l")


Rpt<- function(mu) Rp(mu)-0.147 # Just an instrumental function

# Likelihood-confidence interval of 95% level

c(uniroot(Rpt,c(-0.4,0))$root,uniroot(Rpt,c(0,0.4))$root)

# t confidence interval

t.test(x,conf.level=0.95)$conf.int

ÖNEMLİ BİR NOKTA:

Belirli numuneler için farklı türlerdeki güven aralıklarının uzunlukları veya konumları açısından farklılık gösterebileceğini, bunların asıl önemli olan kapsamı olduğunu unutmayın. Uzun vadede, hepsi belirli numuneler için ne kadar farklılık gösterdiklerinden bağımsız olarak aynı kapsamı sağlamalıdır.

$\chi^2$$normalized$

1. Profil günlüğü olasılığı yaklaşık ikinci dereceden
2. Profil günlüğü olasılığını yaklaşık karesel yapan bir parametre dönüşümü vardır.

İkinci dereceden önemlidir, çünkü log ölçeğinde normal bir dağılım tanımlar. Ne kadar karesel olursa yaklaşım ve sonuçta ortaya çıkan CI'ler o kadar iyi olur. Olabilirlik aralıkları için 1/20. Kesme seçiminiz, asimptotik sınırdaki% 95 CI'den fazladır, bu nedenle mavi aralıklar genellikle kırmızı olanlardan daha uzundur.

Şimdi, dikkat edilmesi gereken profil olasılığı ile ilgili başka bir sorun var. Profil oluşturduğunuz çok sayıda değişkeniniz varsa, boyut başına veri noktası sayısı düşükse, profil olasılığı çok taraflı ve iyimser olabilir. Bu yanlılığı azaltmak için marjinal, koşullu ve değiştirilmiş profil olasılıkları kullanılır.

Yani, sorunuzun cevabı EVET ... bağlantı, olasılık oranının ki kare dağılımında gösterildiği gibi, en fazla olabilirlik tahmin edicilerinin asimtotik normallikidir.