Normal bir örnekten minimum sipariş istatistiği için beklenen değer

GÜNCELLEME 25 Ocak 2014: hata düzeltildi. Yüklenen görüntüde Beklenen Değerin hesaplanan değerlerini dikkate almayın - bunlar yanlış - Görüntüyü silmiyorum çünkü bu soruya bir cevap oluşturdu.

GÜNCELLEME 10 Ocak 2014: hata bulundu - kullanılan kaynaklardan birinde bir matematik yazım hatası. Düzeltme hazırlanıyor ...

Koleksiyonundan minimum sipariş istatistiğinin yoğunluğu ED sürekli rastgele değişkenler IID ve pdf olan $n$$F_X(x)$$f_X(x)$

$$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = nf_X(x_{(1)})\left[1-F_X(x_{(1)})\right]^{n-1} \qquad [1]$$

Bu rastgele değişkenler standart normalse,

$$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = n\phi(x_{(1)})\left[1-\Phi(x_{(1)})\right]^{n-1} = n\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}\qquad [2]$$ ve böylece beklenen değeri $$E\left(X_{(1)}\right) = n\int_{-\infty}^{\infty}x_{(1)}\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}dx_{(1)}\qquad [3]$$

Burada standart normalin simetrik özelliklerini kullandık. Gelen Owen 1980 ., P.402, eşdeğer [ N, 011 ] görürüz ki

$$\int_{-\infty}^{\infty}z\phi(z)\left[\Phi(az)\right]^m dz= \frac {am}{(\sqrt {a^2+1})(\sqrt {2\pi})}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(z)\left[\Phi\left(\frac {az}{\sqrt {a^2+1}}\right)\right]^{m-1}dz\qquad [4]$$

Eşitlikler ve arasında eşleşen parametreler ( , ) elde ediyoruz$[3]$$[4]$$a=-1$$m=n-1$

$$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x_{(1)})\left[\Phi\left(\frac {-x_{(1)}}{\sqrt 2}\right)\right]^{n-2}dx_{(1)}\qquad [5]$$

Yine Owen 1980'de, s. 409, eq [ n0,010.2 ] bunu buluyoruz

$$\int_{-\infty}^{\infty}\left[\prod_{i=1}^{m}\Phi\left(\frac{h_i-d_iz}{\sqrt {1-d_i^2}}\right)\right] \phi(z)dz= \mathcal Z_m(h_1,...,h_m;\{\rho_{ij}\})\qquad [6]$$

burada standart çok değişkenli normaldir, çift ​​yönlü korelasyon katsayıları ve .$\mathcal Z_m()$$\rho_{ij}=d_id_j,\; i\neq j$$-1\le d_i\le 1$

ve eşleşen , , ve $[5]$$[6]$$m=n-2$$h_i=0,\;\forall i$

$$\frac{d_i}{\sqrt {1-d_i^2}} = \frac 1{\sqrt 2} \Rightarrow d_i = \pm \frac 1{\sqrt 3} \forall i \Rightarrow \rho_{ij} = \rho = 1/3$$

Bu sonuçları kullanılarak, denk olur$[5]$

$$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)\qquad [7]$$

Denk korelasyonlu değişkenlerin hepsi çok sıfır olarak değerlendirilen bu çok değişkenli standart normal olasılık integrali, yeterli araştırma gördü ve yaklaşık ve hesaplamak için çeşitli yollar elde edildi. Kapsamlı bir gözden geçirme (genel olarak çok değişkenli normal olasılık integrallerinin hesaplanması ile ilgili olarak) Gupta'dır (1963) . Gupta, çeşitli korelasyon katsayıları ve en fazla 12 değişken için açık değerler sağlar (bu nedenle 14 değişkenlik bir koleksiyonu kapsar). Sonuçlar (SON KOLON YANLIŞ) :

Biz değeri ne kadar grafik Şimdi ise ile değiştiren , elde ederiz:$\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)$$n$

Bu yüzden üç sorum / isteğime varıyorum:
1) Birisi analitik olarak kontrol edebilir ve / veya simülasyonla beklenen değer için sonuçların doğru olduğunu doğrulayabilir mi (yani, denklemin geçerliliğini kontrol edebilir mi )?$[7]$

2) Yaklaşımın doğru olduğunu varsayarsak, biri sıfır olmayan ortalama ve üniter olmayan varyansa sahip normaller için çözüm verebilir mi? Tüm dönüşümlerle kendimi gerçekten başım dönüyor.

3) Olasılık integralinin değeri sorunsuz bir şekilde gelişiyor gibi görünmektedir. bazı fonksiyonlarıyla yaklaşmaya ne dersiniz ?$n$

Sonuçlarınız doğru görünmüyor. Herhangi bir hesaplama yapmadan bunu görmek kolaydır, çünkü tablonuzda örnek boyutuyla birlikte artar ; açıkça, örnek en az beklenen değeri gerekir küçülmekte numune boyutu (yani haline daha fazla negatif) daha büyük olur.$E[X_{(1)}]$ $n$$n$

Sorun kavramsal olarak oldukça kolaydır.

Kısaca: pdf ile ~ ise :$X$$N(0,1)$$f(x)$

... o zaman 1. derece istatistiğin pdf'si ( boyutunda bir örnekte ):$n$

... burada , destek etki alanında OrderStatişlev kullanılarak elde edilir mathStatica:

Daha sonra, , için kolayca şu şekilde elde edilebilir:$E[X_{(1)}]$$n = 1,2,3$

Tam durumu yaklaşık , bu da -1.06 ( 1. satırı) çalışmalarınızdan açıkça farklıdır, bu nedenle çalışmalarınızda bir şeylerin yanlış olduğu açıktır (veya belki de ne aradığınızı anlıyorum) .$n = 3$$-0.846284$

İçin , kapalı form çözümü elde edilmesi daha zor olmakla birlikte, sembolik entegrasyon zor olmaktadır bile (eğer istenirse rasgele hassas), her zaman, sayısal entegrasyonu kullanabilir. Bu gerçekten çok kolay ... örneğin, Mathematica kullanarak ila 14 örnek boyutu için :$n \ge 4$$E[X_{(1)}]$$n = 1$

 sol = Table[NIntegrate[x g, {x, -Infinity, Infinity}], {n, 1, 14}]

{0., -0.56419, -0.846284, -1.02938, -1.16296, -1.26721, -1.35218, -1.4236, -1.48501, -1.53875, -1.58644, -1.62923, -1.66799, -1.70338}

Hepsi tamam. Bu değerler tablonuzdakilerden çok farklıdır (sağ sütun).

Bir ebeveyninin daha genel durumunu göz önünde bulundurmak için , genel Normal pdf'den başlayarak tam olarak yukarıdaki gibi devam edin.$N(\mu, \sigma^2)$