T-dağıtılmış rasgele değişkenlerin karelerinin toplamının dağılımı

Kuyruk üssü ile T dağıtılmış rastgele değişkenlerin karelerinin toplamının dağılımına bakıyorum . X, rv olduğunda, , için Fourier dönüşümü bana önceki kare için bir çözüm verir . $\alpha$$X^2$$\mathscr{F}(t)$$\mathscr{F}(t)^n$

$$\mathscr{F}(t)=\int_0^{\infty } \exp \left(i\, t\, x^2\right)\left(\frac{\left(\frac{\alpha }{\alpha +x^2}\right)^{\frac{\alpha +1}{2}} }{\sqrt{\alpha }\ B\left(\frac{\alpha }{2},\frac{1}{2}\right)}\right) \, \mathrm{d}x$$

İle , çözelti için Fourier ters bir yapılacak ters mümkün ama hantal ve imkansız . Yani soru şudur: T-dağılımlı rastgele değişkenlerin örnek varyansının dağılımı veya standart sapması üzerinde çalışmalar yapıldı mı? (Ki-kare Gauss için ne olur? Teşekkür ederim.$\alpha=3$$\mathscr{F}(t)^n$

(Olası Çözüm) Fisher dağıtılmış olduğunu anladım , bu nedenle Fisher dağıtılan değişkenlerin toplamına bakacağım.$X^2$$F(1,\alpha)$

Ortalama Karakteristik Fonksiyonlar kaynaktan (olası çözüm) özetlenebilir , bir aynı ilk iki anlar vardır zaman dağıtım bu mevcuttur. Bu nedenle u kare kökü ile ve bir olasılık dağılımı içinde bir değişken değişikliği yapmakla birlikte, n-örnek T değişkenlerinin standart sapmasının yoğunluğu yaklaşık olarak şu değerlere yakınlaştırılabilir: X, 2 F ( n , α ) g ( u ) = 2 α α / 2 N N / 2 u , n - 1 ( α + n u 2 ) - $n-$$X^2$$F(n,\alpha)$

$$g(u)=\frac{2 \alpha ^{\alpha /2} n^{n/2} u^{n-1} \left(\alpha +n u^2\right)^{-\frac{\alpha }{2}-\frac{n}{2}}}{B\left(\frac{n}{2},\frac{\alpha }{2}\right)}$$

Sorunuzla ilgili bir açıklama (bana iki ilişkili, ancak farklı bölüm var gibi görünüyor): (1) bağımsız kare toplamı rasgele değişkenlerin toplamını ve (2) örneklemeyi arıyorsunuz dağılımından çizilen rastgele bir örneğin varyansının (veya ilgili standart sapmanın) dağılımı (muhtemelen (1) hakkında soru sorma nedeniniz).t α t $n$ $t_{\alpha }$$t_{\alpha }$

Bağımsız Kare Toplamı Değişkenlerinin Dağılımı$t_{\alpha }$

Eğer (bağımsız) rasgele değişkenler df, o zaman yanlış olduğunu (ki ikinci "olası çözümünüzde" iddia ettiğiniz şeydir). Bu, her birinin ilk anı dikkate alınarak kolayca doğrulanır (ikincisinin ilk anı, ilk anın katıdır). $T_i\sim t_{\alpha }$$t$$\alpha$$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim F(n,\alpha )$$n$

İlk "olası çözümünüzdeki" hak talebi doğru: . Karakteristik fonksiyonlara başvurmak yerine, dağılımının karakterizasyonu, standart normal değişken olduğu oranının dağılımı olarak nitelendirilirken daha şeffaf olduğunu düşünüyorum. ve , bağımsız olarak serbestlik derecelerine sahip ki-kare bir değişkendir . Bu oranın karesi daha sonra kendi serbestlik derecelerine göre ölçeklendirilmiş iki bağımsız ki kare değişkeninin oranıdır, yani ile$T_i^2\sim F(1,\alpha)$$t$$\frac{Z}{\sqrt{U/\alpha}}$$Z$$U$$\alpha$$Z$$\frac{V/1}{U/\alpha}$$V=Z^2$bir dağılımının standart karakterizasyonu (pay df 1'e eşittir ve payda df alfa'ya eşittir ).$F(1,\alpha)$$\alpha$

Yukarıdaki ilk paragrafta ilk anlarda yaptığım not düşünüldüğünde, [ Burada dağıtım için aynı ifadeyi ve bu dağılıma sahip rastgele bir değişkeni kullanarak gösterimi biraz kötüye kullandım.]. İlk momentler eşleşirken, ikinci merkezi momentler ( için ilk ifadenin varyansı, ikinci ifadenin varyansından daha azdır) - bu nedenle bu iddia da yanlıştır. [Bununla birlikte, kare toplanırken beklediğimiz sonuç olan gözlemlemek ilginçtir (standart). normal değişir.]$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim n F(n,\alpha )$$\alpha>4$$\lim_{\alpha \to \infty } \, n F(n,\alpha)= \chi _n^2$

Dağıtımından Örnekleme Yaparken Varyansın Örnekleme Dağılımı$t_{\alpha }$

Yukarıda yazdıklarım dikkate alındığında, "n-örnek T değişkenlerinin standart sapmasının yoğunluğu" için elde ettiğiniz ifade yanlıştır. Bununla birlikte, doğru dağılım olsa bile , standart sapma sadece kareler toplamının kare kökü değildir ( yoğunluğunuza varmış gibi göründüğünüz gibi ). Bunun yerine (ölçeklendirilmiş) örnekleme dağılımını . Normal durumda, bu ifadenin LHS'si kare normal değişkenlerin toplamı olarak yeniden yazılabilir (karenin içindeki terim, normalde dağıtılan normal değişkenlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak yeniden yazılabilir). tanıdık$F(n,\alpha)$$g(u)$χ 2 t $\sum _{i=1}^n \left(T_i-\bar{T}\right){}^2=\sum _{i=1}^n T_i^2-n \bar{T}^2$$\chi^2$ dağıtımı. Ne yazık ki, değişkenlerinin doğrusal bir kombinasyonu (aynı serbestlik derecelerinde bile) olarak dağıtılmaz , bu nedenle benzer bir yaklaşım kullanılamaz.$t$$t$

Belki ne göstermek istediğinizi yeniden düşünmelisiniz? Örneğin bazı simülasyonları kullanarak hedefe ulaşmak mümkün olabilir. Ancak, sadece ilk anının sonlu olduğu bir durum olan olan bir örnek belirtirsiniz , bu nedenle simülasyon bu tür hesaplamalarda yardımcı olmaz. F ( 1 , α $\alpha=3$$F(1,\alpha)$

Hotelling'in T dağıtımını kontrol etmek isteyebilirsiniz ( http://en.wikipedia.org/wiki/Hotelling's_T-squared_distribution ). dağıtımı olmasıyla ilgili ilişkiler var ( http://en.wikipedia.org/wiki/F-distribution#Related_distributions_and_properties ), ama tam olarak istediğin şey olduğundan emin değilim. $T^2$$F$