Dirichlet dağılımında simpleksi üçgen yüzey olarak göstermenin anlamı nedir?

Dirchilet dağılımını tanıtan ve daha sonra onunla ilgili rakamlar sunan bir kitaptan okuyorum. Ama bu rakamları gerçekten anlayamadım. Figürü buraya altına iliştirdim. Anlamadığım şey üçgenlerin anlamları.

Normalde, bir kişi 2 değişkenli bir işlevi çizmek istediğinde, var1 ve va2 değerini alırsınız ve daha sonra bu iki değişkenin işlev değerinin değerini çizersiniz ... Bu, bir 3D boyutunda görselleştirme sağlar. Ancak burada işlev boyutu için 3 boyut ve bir değer daha vardır, bu nedenle 4D alanında bir görselleştirme yapar. Bu rakamları anlayamıyorum!

Umarım birisi onları açıklayabilir!

DÜZENLE: İşte şekil 2.14a'dan anlamadığım şey. Bu yüzden K = 3 dirichlet'inden (temelde bir vektör olan) bir teta örneğini çizdik: theta = [theta1, theta2, theta3]. Üçgen grafikleri [teta1, theta2, theta3]. Başlangıç ​​noktasından her teta_i'ye olan mesafe teta_i'nin değeridir. Daha sonra her teta_i için bir tepe noktası koydu ve üç köşeyi de bağladı ve bir üçgen yaptı. [Teta1, theta2, theta3] 'ü dir (theta | a)' ya takarsam, vektör teta'nın ortak olasılığı olan bir sayı alacağımı biliyorum. Ayrıca sürekli rasgele değişkenlerin olasılığının bir alanın ölçüsü olduğunu da anlıyorum. Ama burada 3 boyutumuz var, bu nedenle eklem olasılığı, pembe düzlemden ve altındaki ... yani piramidin uzayın hacminin ölçüsü olacak. Şimdi burada üçgenin rolünün ne olduğunu anlamıyorum.

Burada üçgenin rolünün ne olduğunu anlamıyorum. Ne iletişim kurmaya veya görselleştirmeye çalışıyor?

tüm noktalar iki kısıtlamayı karşılamalıdır: her boyutta sıfır ile bir arasında ( ) ve tümü bire kadar ( ) .$0 \leq \theta \leq 1$$\theta_0 + \theta_1 + \theta_2 = 1$

Sonunda bunu anlama şeklim şöyle:

Bu nedenle (a), koordinatlar olarak olan bir 3B boşluğu gösterir . Sadece 0 ile 1 arasında değişir.$\theta_{1, 2, 3}$

(B) 'de bir üçgen gösterilmiştir, bu bizim simpleksimizdir.

(c) ikinci kriterleri de yerine getiren (toplamları bire kadardır) simpleks üzerine "yatan" iki örnek noktasını gösterir.

(d) simpleks üzerinde başka bir örnek nokta gösterir, aynı kısıtlamalar geçerlidir

(E) 'de, daha önce gösterilen tüm örnek noktalarla simpleks bir 2-B üçgene izdüşümü göstermeye çalıştım.

Şimdi daha mantıklı umuyoruz :)

Grafik 2.14 (a), her eksende üç köşe tarafından yapılan bir düzlemi göstermektedir. Bir tepe noktasının başlangıç ​​noktasından uzaklığı ve sınıflarından birine karşılık gelir . Pembe düzlemle çevrelenen bölge ve eksenlerin düzlemleri (vektör) olasılığıdır.$\theta_i$$k=3$$\theta$. Şimdi, bu düzlemi eğdiğinizi varsayalım ki, pembe düzleme sahip bir piramidiniz olacak, okuyucuya en yakın yüz, sayfaya düz olarak yerleştirilmiş. Ardından, sayfanın "dışarı çıkması" için üçüncü boyutu bastırın ve üçgeni, tabandan bir yüzeye daha uzun bir mesafeye sahip daha yüksek yoğunluklu bölgenin daha kırmızı olması için renklendirin. 2.14 (b) ve 2.14 (c) grafikleri bunu gösterir. Kırmızı bir tepe noktasına ne kadar yoğunlaşırsa, o tepe noktasıyla ilişkili sınıf o kadar olasıdır. Benzer şekilde, kırmızı bölge herhangi bir tepe noktasına çok yakın değilse, bir olayın herhangi bir sınıfta daha yüksek üyelik olasılığına sahip olması özellikle muhtemel değildir.

Bununla birlikte, bu piramit, Dirichlet dağılımının tek bir gerçekleşmesi olarak mantıklıdır. Aynı dağılımdan tekrar çizmek , köşelerin her birine farklı uzunluklarda ile farklı bir piramit verebilir. (A) ve (b) / (c) arasındaki temel fark, (a) grafik vektörü bir beraberlik olasılığını gösterir olan . Grafikler (b) ve (c) 'değerleri için olasılık yoğunluk göstermektedir de , bunlar tüm değerler için olasılık yoğunluk fonksiyonu mevcut çalışıyorsanız olan simplex,$\theta$$\theta$$\theta$$k=3$$\theta$destek. (B) ve (c) hakkında düşünmenin bir yolu, düz pembe düzlem ile piramidin yüzeyi arasındaki ortalama yüksekliğe göre, .$\theta\sim\text{Dir}(\alpha)$