Verilen ortalama ve standart sapmanın pozitif sürekli değişkeni için maksimum entropi olasılık yoğunluk fonksiyonu nedir?

13

Birinci ve ikinci anları göz önüne alındığında, pozitif bir sürekli değişken için maksimum entropi dağılımı nedir ?

Örneğin, bir Gauss dağılımı, ortalama ve standart sapması göz önüne alındığında sınırsız bir değişken için maksimum entropi dağılımıdır ve Gamma dağılımı, ortalama değeri ve logaritmasının ortalama değeri göz önüne alındığında, pozitif bir değişken için maksimum entropi dağılımıdır.

— Becko
kaynak

13

Sadece işaret ettiğiniz Wikipedia makalesinde Boltzmann teoremini kullanabilirsiniz .

Ortalamayı ve varyansı belirtmenin ilk iki ham anı belirtmeye eşdeğer olduğunu unutmayın - her biri diğerini belirler (teoremi doğrudan ortalamaya ve varyansa uygulayabileceğimiz için bunu çağırmak gerekli değildir), bu şekilde biraz daha basittir ).

Teorem daha sonra yoğunluğun aşağıdaki gibi olması gerektiğini belirler:

f (x) = c \exp (λ_{1} x + λ_{2} x^{2}) for all x \geq 0

$f(x)=c \exp\left(\lambda_1 x + \lambda_2 x^2 \right)\quad \mbox{ for all } x \geq 0$

$\lambda_2$ $\leq 0$ $\lambda$

Şaşırtıcı bir şekilde (bu cevabı başlattığımda beklemeyeceğimden beri), bu bizi normal bir dağılımla terk ediyor gibi görünüyor.

Olduğu gibi, bu teoremi daha önce kullandığımı sanmıyorum, bu yüzden dikkate almadığım veya dışarıda bıraktığım herhangi bir şeyle ilgili eleştiriler veya yararlı öneriler memnuniyetle karşılanacaktır.

— Glen_b-Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak

- \infty

$-\infty$

\infty

$\infty$

x

$x$

1 / x

$1/x$

Bu temel ölçü ile ortaya çıkan dağılım ile orantılıdır.

\frac{1}{x} \exp (- α x - β x^{2})

$\frac{1}{x}\exp(-\alpha x- \beta x^2)$

7

@ Glen_b'in cevabını daha açık hale getirmek istiyorum, burada bir yorum olarak uymayacağı için ekstra bir cevap var.

f (x) \propto N (x | - 1 / 2 λ_{1} / λ_{2}, - 1 / (2 λ_{2}))

$f(x) \propto \mathcal{N}(x | -1/2 \lambda_1/\lambda_2, -1/(2\lambda_2))$

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2}

$\lambda_2$

a_{1}, a_{2}

$a_1, a_2$

a_{1} = μ, a_{2} = μ^{2} + σ^{2}

$a_1=\mu, a_2=\mu^2 + \sigma^2$

λ_{1} = μ / σ^{2}, λ_{2} = - 0.5 σ^{2}

$\lambda_1=\mu/\sigma^2, \lambda_2=-0.5 \sigma^2$

N (x | μ, σ^{2})

$\mathcal{N}(x|\mu, \sigma^2)$

$x>x_{min}$ $\lambda_{1,2}$ $1/c$ $\mu$ $\sigma^2$ $x_{min}=0$ $x_{min} \to -\infty$

$a_1, a_2$ $\lambda_{1,2}$ $\lambda_{1,2}$

Bu soru /math/598608/what-is-the-maximum-entropy-distribution-for-a-continuous-random-variable-on-0 kopyası

— Fred Schoen
kaynak