Bir Bayesian, sabit bir parametre değeri olduğunu kabul eder mi?

Bayesian veri analizinde, parametreler rastgele değişkenler olarak değerlendirilir. Bu, Bayesian'nin öznel olasılık kavramsallaştırmasından kaynaklanmaktadır. Fakat Bayesanlar teorik olarak 'gerçek dünyada' tek bir sabit parametre değerinin olduğunu kabul ediyor mu?

Açık bir cevap 'evet' gibi gözüküyor, çünkü parametreyi tahmin etmeye çalışmak neredeyse saçma olacak. Bu cevap için yapılan akademik bir alıntı büyük ölçüde takdir edilecektir.

IMHO "evet"! İşte Grönland'ın en sevdiğim alıntılarından biri (2006: 767):

Sık sık (yanlış) 'parametrelerin, frekansçı tarafından sabit, ancak Bayes tarafından rastgele olarak ele alındığı' söylenir. Hem sık sık hem de Bayesanlar için, bir parametrenin değeri başlangıçtan itibaren sabitlenmiş olabilir veya fiziksel olarak rastgele bir mekanizmadan üretilebilir. Her iki durumda da, ikisinin de bilmek istediğimiz sabit bir değere sahip olduğunu varsayalım. Bayesian, bu değer hakkındaki kişisel belirsizliği ifade etmek için resmi olasılık modellerini kullanıyor. Bu modellerde 'rastgelelik', parametrenin değeri hakkındaki kişisel belirsizliği temsil eder; parametrenin bir özelliği değildir (parametreyi üreten mekanizmaların özelliklerini tam olarak yansıtmasını ummamız gerekir)

Grönland, S. (2006). Epidemiyolojik araştırmalara yönelik Bayesyen perspektifler: I. Temeller ve temel yöntemler. Uluslararası Epidemiyoloji Dergisi , 35 (3), 765-774.

Bayesçi olasılık anlayışı mutlaka öznel değildir (Jaynes). Buradaki önemli ayrım, Bayesçenin, parametrenin değeri hakkındaki bilgi durumunu, bir önceki dağılımın makul değeri için bir miktar dağıtımda bazı gözlemlerde yer alan bilgileri özetleme olasılığı ile birleştirerek belirlemeye çalıştığıdır. Dolayısıyla, bir Bayesyen olarak, parametrenin tam olarak bilinmeyen bir gerçek değere sahip olduğu fikrinden memnun olduğumu ve bir posterior dağılımın amacının makul değerleri hakkında bildiklerimi özetlemek olduğunu söyleyebilirim. önceki varsayımlarıma ve gözlemlerime dayanarak.

Şimdi, bir model yaptığımda, model gerçeklik değil. Bu nedenle, bazı durumlarda söz konusu parametre gerçekte var olur (örneğin, bir wombat'ın ortalama ağırlığı) ve bazı sorularda yoktur (örneğin, bir regresyon parametresinin gerçek değeri - regresyon modeli sadece sonucun bir modelidir). sistemi yöneten, gerçekte tam olarak regresyon modeli tarafından ele geçirilemeyen fiziksel yasalar). Yani gerçek dünyada bir gerçek sabit parametre değerinin olduğunu söylemek kesinlikle doğru değil.

Kapak tarafında, çoğu frekans uzmanının istatistik için bir gerçek değer olduğunu söyleyeceğini söyleyebilirim, ancak ne olduğunu bilmiyorlar, ancak tahmin ediciler için tahmin ediciler var ve tahminlerinde güven aralıkları var (bir anlamda). ) farklı değerlerin makul olup olmadığına ilişkin belirsizliklerini ölçmektedir (ancak, sık sık bir olasılık anlayışı, bunları doğrudan ifade etmelerini engellemektedir).

Asıl amacınıza, Bayesian Veri Analizi'nde (3. baskı, 93), Gelman da yazıyor

Bayesian veri analizi perspektifinden, klasik nokta tahminlerini çoğu zaman örtük tam olasılık modeline dayanan kesin veya yaklaşık arka özetler olarak yorumlayabiliriz. Büyük örneklem büyüklüğü sınırında, aslında, klasik maksimum olabilirlik çıkarımı için teorik bir Bayesian gerekçesi oluşturmak için asimptotik teoriyi kullanabiliriz.

Bu yüzden belki de tek gerçek parametre değerleri olduğunu "itiraf etmesi gereken" Bayesliler değil, ancak tahmin prosedürlerini haklı çıkarmak için Bayesci istatistiklerine itiraz etmesi gereken sıkıcılar! (Bunu dil ile sıkıca yanağımda söylüyorum.)

$\Pr(\theta|y)$

Ancak, doğada veya sosyal sistemlerde tek parametreler olduğu fikri, basitleştirici bir varsayımdır. Gözlenebilir sonuçlar üreten bazı süslü süreçler olabilir, ancak sistemin inanılmaz derecede karmaşık olduğunu keşfetmek; Tek bir sabit parametre değerinin bulunduğunu varsayalım sorunu önemli ölçüde kolaylaştırır. Bunun, sorunun özünü kestiğini düşünüyorum: Bayesanlar, bu basitleştirmeyi Frequentist’lerin yapması gerekenden daha fazla yapmak için “kabul etmek” zorunda kalmamalı.

Süt içmenin çocuğun büyümesine katkısı gibi bir şey için tek bir "gerçek sabit parametre" olduğunu düşünüyor musunuz? Veya bir hastanın vücuduna enjekte ettiğiniz kimyasal X miktarına bağlı olarak bir tümörün boyutundaki azalma için mi? Aşina olduğunuz herhangi bir modeli seçin ve teoride bile her parametre için gerçek, evrensel, kesin ve sabit bir değer olduğuna gerçekten inanıp inanmadığınızı kendinize sorun.

Ölçüm hatasını göz ardı edin, tüm ölçümler tamamen doğru ve sonsuz bir şekilde kesinmiş gibi yapın. Modelinize bakıldığında, her parametrenin gerçekçi bir şekilde belirli bir puan değerine sahip olduğunu düşünüyor musunuz?

Bir modeliniz olduğu gerçeği, bazı ayrıntıları dışarıda bıraktığınızı gösterir. Modelinizde bir miktar kesinti olacaktır, çünkü bir model yapmak için bıraktığınız parametreler / değişkenler üzerinden ortalama değer alıyorsunuz - gerçekliğin basitleştirilmiş bir gösterimi. (Gezegenin 1: 1 haritasını yapmadığınız gibi, tüm ayrıntılarıyla birlikte değil, 1: 10000000 haritasının veya bu tür basitleştirmelerin tümü. Harita bir modeldir.)

Sol dış değişkenler arasında ortalama aldığınızdan dolayı, modelinize eklediğiniz değişkenlerin parametreleri nokta değerleri değil dağılımlar olacaktır.

Bu, Bayesian felsefesinin sadece bir parçası - teorik belirsizliği, ölçüm belirsizliğini, öncelikleri, vb. Görmezden geliyorum - ama bana göre, parametrelerinizin dağılımları olduğu fikrinin, açıklayıcı istatistiklerin sahip olduğu gibi sezgisel bir anlam ifade ettiği görünüyor. dağılımı.

Fakat Bayesanlar teorik olarak 'gerçek dünyada' tek bir sabit parametre değerinin olduğunu kabul ediyor mu?

Bence cevap evet. Parametrenin bilinmeyen bir değeri ve önceki dağıtım bu konudaki bilgimizi / belirsizliğimizi açıklar. Bayesian matematiksel modellemesinde, , önceki dağılımın ardından rastgele bir değişkenin gerçekleşmesi olarak kabul edilir.θ $\theta_0$$\theta_0$

Bayesianizme gidip deterministik bir evren ile bağlanırsak (içinde 'quantum' kelimesiyle herhangi bir şey söylemeden önce, beni mizah edin ve bunun fizik olmadığını hatırlayın).

Varsayımlarımızı açık hale getirmek:

1. Deterministik bir evrenin parçası olan ve gözlemleyen bir Bayesian ajanımız var.
2. Temsilcinin sınırlı hesaplama kaynakları var.

Şimdi, deterministik evren, atomların newtonyalı küçük bilardo topları olduğu yer olabilir. Tamamen kuantum olmayabilir. Diyelim ki öyle.

Ajan şimdi adil bir yazı tura getiriyor. Bunu bir saniye düşünün, adil bir jeton belirleyici bir evrende neyi oluşturur? 50/50 olasılık oranına sahip bir jeton mu?

Ama bu determinist! Yeterli hesaplama gücüyle, yalnızca aynı şekilde çevrilmiş bir madeni para modelini simüle ederek, madeni paranın tam olarak nasıl düşeceğini hesaplayabilirsiniz.

Deterministik bir evrende adil bir madeni para, aynı yoğunlukta bir metal disk olacaktır. Hiçbir güç, bir yüzü diğerinden daha az kapalıyken daha fazla zaman geçirmeye zorlamaz (zarların ne kadar ağır çalıştığını düşünün.)

Böylece ajan adil bir yazı tura getiriyor. Ancak, ajan yeterince güçlü değil. Madalyonun çevrildiğinde nasıl döndüğünü ölçmek için yeterince keskin göze sahip değil, görüyor ama bulanık.

Ve böylece "Bu madeni para% 50 olasılık ile bir kafa inecek" diyor. Bilgi eksikliği olasılıklara yol açar.

Bir madalyonun nasıl atıldığının aşama alanına bakabiliriz. Atma yönüne, atma kuvvetine, madalyonun dönüşüne, rüzgarın hızına ve yönüne ilişkin eksenleri olan büyük ve çok boyutlu bir koordinat sistemi. Bu alandaki tek bir nokta, olası bir tek coinflip'e karşılık gelir.

Ajandan koordinat sisteminde renk vermesini rica edersek, ajanın verilen her atış için kafaların atanma olasılığına karşılık gelen gri tonlu bir gradyanı varsa, her şey gri bir renk tonunu renklendirir.

Eğer kademeli olarak kafaların olasılığını hesaplayabilmek için ona daha güçlü bir iç bilgisayar veriyorsak, daha fazla ayırt edici renklendirme yapabilecektir. Sonunda en güçlü dahili bilgisayarı verdiğimizde, her şeyi bilene dönüştürürken, garip bir dama tahtası etkili bir şekilde boyanır.

Adil paralar olasılıklardan değil, metalden yapılır. Olasılıklar yalnızca hesaplama yapılarında var olur. Bayesian diyor.

Uygun olmayan öncelikler vardır, örneğin, Fishers Bilgi matrisi ile belirli bir ilişkisi olan Jeffreys. O zaman öznel değil.