İki Gauss'lu Arasındaki Earth Mover's Distance (EMD)


26

İçin bir kapalı-formlu bir formül (veya bağlı bir tür) arasında EMD var x1N(μ1,Σ1) ve x2N(μ2,Σ2) ?


2
Göre en.wikipedia.org/wiki/Earth_mover%27s_distance bunu Googlin deneyebilirsiniz EMD, Mallows veya Wasserstein mesafesi aynıdır.
kjetil b halvorsen

2
Bu makaleyi yararlı bulabilirsiniz: vldb.org/pvldb/vol5/p205_brianeruttenberg_vldb2012.pdf
jojer

Yanıtlar:


27

Toprak taşıyıcı mesafesi olarak yazılabilir infimum tüm ortak dağılımları üzerinden alınır, X ve Y marjinal ile x \ sim p , Y, \ sim Q . Bu, aynı zamanda, ilk olarak bilinen Wasserstein mesafe olduğu,EMD(P,Q)=infEXYXYXPYQWp=inf(EXYp)1/p ile aynı ilke.

Let XP=N(μx,Σx) ,YQ=N(μy,Σy) .

Alt sınır: Jensen eşitsizliğine göre, normlar dışbükey,

EXYE(XY)=μxμy,
böylece EMD her zaman en azından araçlar arasındaki mesafe (herhangi bir dağılım için).

göre üst sınır :W2( EX - Y ) 2 EX-Y2 W 1 W 2 W 2 (P,Q ) 2 = μ x - μ y 2 + t r ( Σ x + Σ y - 2 ( Σ x Σ y ) 1 / 2 Yine Jensen'in eşitsizliği, . Böylece . Ancak Dowson ve Landau (1982) , üzerinde bir üst sınır(EXY)2EXY2W1W2

W2(P,Q)2=μxμy2+tr(Σx+Σy2(ΣxΣy)1/2),
EMD=W1 .

Daha sıkı bir üst sınır: düşünün Bu Knott ve Smith (1984) tarafından türetilen haritadır. , Optimal dağılım haritası üzerinde , Optimizasyon Teorisi ve Uygulamaları Dergisi, 43 (1) sayfa 39-49 , için optimum haritalama ; ayrıca bu blog gönderisine de bakın . Bunu not et

XN(μx,Σx)Y=μy+Σx12(Σx12ΣyΣx12)12Σx12A(Xμx).
W2W2A=AT ve
EY=μy+A(EXμx)=μyVarY=AΣxAT=Σx12(Σx12ΣyΣx12)12Σx12ΣxΣx12(Σx12ΣyΣx12)12Σx12=Σx12(Σx12ΣyΣx12)Σx12=Σy,
böylece eşleşme geçerlidir.

Mesafesi daha sonra artık olan normal XYD

D=XY=XμyA(Xμx)=(IA)Xμy+Aμx,
ED=μxμyVarD=(IA)Σx(IA)T=Σx+AΣxAAΣxΣxA=Σx+ΣyΣx12(Σx12ΣyΣx12)12Σx12Σx12(Σx12ΣyΣx12)12Σx12.

Bu durumda üst giden olduğu . Ne yazık ki, bu beklenti için kapalı bir form, genel çok değişkenli normlar için yazmaktan şaşırtıcı derecede rahatsız edicidir: bu soruya ve ayrıca bakınızW1(P,Q)ED bu bir .

Varyansı Eğer biter küresel (örneğin eğer , , daha sonra varyans olurDΣx=σx2IΣy=σy2ID(σxσy)2I ), eski Soru genelleştirilmiş bir Laguerre polinomu açısından cevabı verir.

Genel olarak, üst giden bir basit olması Jensen eşitsizliğinin göre, ilk söz edilen, örneğin: ED

(ED)2ED2=μxμy2+tr(Σx+ΣyAΣxΣxA)=μxμy2+tr(Σx)+tr(Σy)2tr(Σx12(Σx12ΣyΣx12)12Σx12)=μxμy2+tr(Σx)+tr(Σy)2tr((Σx12ΣyΣx12)12)=W2(P,Q)2.
Sonunda eşitlik, matrislerin ve benzer olmalarıdır Böylece aynı özdeğerlere sahiptirler ve böylece karekökleri aynı ize sahiptir.ΣxΣyΣx12ΣyΣx12=Σx12(ΣxΣy)Σx12

Bu eşitsizlik, dejenere olmadığı sürece , bu çoğu durumda .DΣxΣy

Bir varsayım : Belki bu yakın üst sınır, , sıkıdır. Sonra yine, uzun zamandır burada, daha gevşek olan sıkı olduğunu düşündüğüm farklı bir üst sınır vardı , bu yüzden belki de bu varsayımı çok fazla güvenmemelisiniz. :)EDW2

Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.