İçin bir kapalı-formlu bir formül (veya bağlı bir tür) arasında EMD var ve ?
İçin bir kapalı-formlu bir formül (veya bağlı bir tür) arasında EMD var ve ?
Yanıtlar:
Toprak taşıyıcı mesafesi olarak yazılabilir infimum tüm ortak dağılımları üzerinden alınır, X ve Y marjinal ile x \ sim p , Y, \ sim Q . Bu, aynı zamanda, ilk olarak bilinen Wasserstein mesafe olduğu, ile aynı ilke.
Let , .
Alt sınır: Jensen eşitsizliğine göre, normlar dışbükey,
göre üst sınır :( E ‖ X - Y ‖ ) 2 ≤ E ‖X-Y ‖ 2 W 1 ≤ W 2 W 2 (P,Q ) 2 =‖ μ x - μ y ‖ 2 + t r ( Σ x + Σ y - 2 ( Σ x Σ y ) 1 / 2
Yine Jensen'in eşitsizliği,
. Böylece . Ancak Dowson ve Landau (1982) ,
üzerinde bir üst sınır
Daha sıkı bir üst sınır:
düşünün
Bu Knott ve Smith (1984) tarafından türetilen haritadır. , Optimal dağılım haritası üzerinde , Optimizasyon Teorisi ve Uygulamaları Dergisi, 43 (1) sayfa 39-49 , için optimum haritalama ; ayrıca bu blog gönderisine de bakın . Bunu not et
Mesafesi daha sonra artık
olan normal
Bu durumda üst giden olduğu . Ne yazık ki, bu beklenti için kapalı bir form, genel çok değişkenli normlar için yazmaktan şaşırtıcı derecede rahatsız edicidir: bu soruya ve ayrıca bakınız bu bir .
Varyansı Eğer biter küresel (örneğin eğer , , daha sonra varyans olur ), eski Soru genelleştirilmiş bir Laguerre polinomu açısından cevabı verir.
Genel olarak, üst giden bir basit olması Jensen eşitsizliğinin göre, ilk söz edilen, örneğin:
Bu eşitsizlik, dejenere olmadığı sürece , bu çoğu durumda .
Bir varsayım : Belki bu yakın üst sınır, , sıkıdır. Sonra yine, uzun zamandır burada, daha gevşek olan sıkı olduğunu düşündüğüm farklı bir üst sınır vardı , bu yüzden belki de bu varsayımı çok fazla güvenmemelisiniz. :)